Fase Provincial 22 de marzo de 2014 Málaga Provincia olímpica Cerrando puertas Fase Provincial 22 de marzo de 2014 S.A.E.M THALES 1

CERRANDO PUERTAS: Solución Menú El matemático Fermathales Junior va a visitar a su padre, también matemático, para enseñarle los planos de su nueva vivienda. Le cuenta que cada noche, al llegar a casa, va atravesando y cerrando con llave cada una de las puertas por donde pasa, sin volver a abrir ninguna de las puertas que ha cerrado, hasta llegar a su dormitorio, después de haber pasado por todas las puertas, donde queda encerrado con todas las llaves. Viendo este plano de la casa del hijo, ¿podrías ayudar al matemático a encontrar el dormitorio de su hijo? ¿Podría cambiar su hijo el dormitorio de lugar cumpliéndose las mismas condiciones? El padre, una vez descubierto el dormitorio de Fermathales Junior, se pregunta, mirando ahora el plano de su vivienda, si podría hacer lo mismo en su casa. ¿Crees que podría? En caso que no pudiera, ¿qué pequeña modificación tendría que realizar en su casa para poder hacerlo? Razona las respuestas. Menú Solución 2 2

Solución: Enunciado Menú Comprobamos que una posible solución del dormitorio de Fermathales Junior puede ser la siguiente: DORMITORIO FERMATHALES JUNIOR Enunciado Menú 3 3

2 2 6 4 4 5 2 4 2 Solución: Enunciado Menú Tendríamos que tomar en cuenta que si entra en una habitación por una puerta y la cierra con llave y sale por otra puerta, que también cierra, una habitación con 2 puertas quedaría cerrada. Un razonamiento análogo puede aplicarse al caso de 4 y 6 puertas sólo que entonces entraría dos y tres veces respectivamente en la habitación. Este razonamiento puede generalizarse para el caso de un número par de puertas. Para quedarse encerrado con todas las llaves en el dormitorio, éste debe tener un NÚMERO IMPAR DE PUERTAS. Por dicho motivo no podría cambiar su dormitorio de habitación. Efectivamente: 2 2 6 DORMITORIO FERMATHALES JUNIOR 4 4 5 2 4 2 Enunciado Menú 4 4

Solución: Enunciado Menú El padre, una vez descubierto el dormitorio de Fermathales Junior, se pregunta, mirando ahora el plano de su vivienda, si podría hacer lo mismo en su casa. ¿Crees que podría? En caso que no pudiera, ¿qué pequeña modificación tendría que realizar en su casa para poder hacerlo? Razona las respuestas. Enunciado Menú 5 5

2 2 4 4 3 3 3 2 2 Solución: Enunciado Menú En la casa de Fermathales padre, el dormitorio solamente puede estar en una habitación con un número impar de puertas ya que al entrar y salir obliga a dejar cerradas todas las puertas de 2 en 2. 2 2 4 4 3 3 3 2 2 Enunciado Menú 6 6

DORMITORIO de FERMATHALES PADRE Solución: Por lo tanto el padre no podría hacer lo mismo que su hijo. Para poder hacerlo tendría que realizar una de estas dos pequeñas modificaciones: 1ª) Abrir una puerta en las habitaciones contiguas de número impar puertas, quedando por tanto un número par de puertas en todas las habitaciones salvo en el dormitorio. 2 2 4 4 4 4 3 2 2 DORMITORIO de FERMATHALES PADRE Enunciado Menú 7 7

DORMITORIO de FERMATHALES PADRE Solución: 2ª) Poner un tabique para eliminar la puerta que comparten las habitaciones contiguas de 3 puertas. De esta forma pasarían a tener dos puertas cada una y en la casa se quedaría solamente una habitación con un número impar de puertas, la que tiene 3, que pasaría a ser el dormitorio, aunque fuese la entrada de la casa. 2 2 4 DORMITORIO de FERMATHALES PADRE 2 4 3 2 2 2 Enunciado Menú 8 8

Solución: Enunciado Menú Puesto que el padre es matemático se ha dado cuenta de que no puede hacer en su casa un recorrido en las mismas condiciones que su hijo ya que hay tres habitaciones con un número impar de puertas. Sin embargo debemos hacer una observación y es que no es habitual que la habitación de entrada, el vestíbulo, sea el dormitorio, pero hacer un recorrido euleriano en tu propia casa todos los días, bien merece una pequeña reforma y la alteración de las costumbres al uso. Seguramente esa sería la reflexión que hizo nuestro matemático. HEMOS ENCONTRADO LAS SOLUCIONES... … pero ¿habrá más formas de calcularlas? Enunciado Menú 9 9