EJEMPLO DE OBSERVABILIDAD Dado el siguiente sistema no lineal de ecuaciones: e1: x1 + x4 – x6 = 0 e2: x22 * x3 * x4 – x5 – x7 = 0 e3: x1 * x21.7 * (x4 – 5) – x8 = 0 e4: x4 – 3x1 – x7 = 0 e5: x1 * x3 – x5 + x7 = 0 e6: 3x2 - x9 + 4x6 + 3x10 = 0 Ecuaciones: e1, e2, e3, e4, e5, e6. Total: 6 Variables: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10 Total: 10

La matriz de incidencia que corresponde a este sistema es: x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 e1 x x x e2 x x x x x e3 x x x x e4 x x x e5 x x x x e6 x x x x

x1 x2 x3 x4 x5 x9 x10 e1 x x e2 x x x x e3 x x x e4 x x e5 x x x Si se decide medir las variables x6, x7 y x8, obteniéndose los valores: x6: 10 x7: 6 x8: 8 La nueva matriz de incidencia tendrá ahora la forma: e1 x x e2 x x x x e3 x x x e4 x x e5 x x x e6 x x x x1 x2 x3 x4 x5 x9 x10

x1 x4 x2 x3 x5 x9 x10 e1 x x e4 x x e3 x x x e5 x x x e2 x x x x Aplicando un algoritmo de observabilidad de detección de componentes fuertes a la matriz resultante, se obtiene la siguiente matriz permutada : e1 x x e4 x x e3 x x x e5 x x x e2 x x x x e6 x x x x1 x4 x2 x3 x5 x9 x10

Ahora se cuenta con 4 subsistemas, 3 de los cuales son cuadrados y pueden ser resueltos con algún solver adecuado siguiendo el orden encontrado por el algoritmo de observabilidad. Los subsistemas obtenidos son: 1) x1 + x4 – 10 = 0 x1,x4 x4 – 3x1 – 6 = 0 2) x1 * x21.7 * (x4 – 5) – 8 = 0 x2 3) x22 * x3 * x4 – x5 – 6 = 0 x3,x5 x1 * x3 – x5 + 6 = 0 4) 3x2 - x9 + 40 + 3x10 = 0

Variables Medidas: x6, x7, x8 Las variables del problema se pueden agrupar entonces de la siguiente manera: Variables Medidas: x6, x7, x8 Variables Observables: x1, x2, x3, x4, x5 Variables No Observables: x9, x10 Si una variable crítica es no observable, exigir un sensor Si se descubre que una variable crítica es observable, se puede incorporar al observatorio como DD

EJEMPLO DE BLOQUES PROHIBIDOS Se cuenta con un mixer que consta de dos corrientes de entrada y una de salida. Cada una de las corrientes contiene 3 componentes :

BMG F1 + F2 – F3 = 0 BMC1 F1*x1,s1 + F2* x1,s2 – F3* x1,s3 = 0 Generalmente los subconjuntos prohibidos están formados por el balance de masa global y para todos los componentes de la mezcla, sumados a la normalización de las corrientes. Esto produce que una ecuación sea combinación lineal de las restantes, lo cual deriva en subsistemas sin solución única, como los siguientes: BMG F1 + F2 – F3 = 0 BMC1 F1*x1,s1 + F2* x1,s2 – F3* x1,s3 = 0 BMC2 F1* x2,s1 + F2* x2,s2 – F3* x2,s3 = 0 BMC3 F1* x3,s1 + F2* x3,s2 – F3* x3,s3 = 0 NORM-S1 x1,s1 + x2,s1 + x3,s1 = 1 NORM-S2 x1,s2 + x2,s2 + x3,s2 = 1 NORM-S3 x1,s3 + x2,s3 + x3,s3 = 1

EJEMPLO DE REDUNDANCIA Continuando con el ejemplo anterior, ahora se desea calcular la corriente F3 (caudal y composición) a partir del modelo matemático del equipo y mediciones realizadas a las corrientes F1 y F2:

Uno de los bloques de ecuaciones que permitiría calcular la corriente de salida está dado por el siguiente sistema de ecuaciones: BMG F1 + F2 – F3 = 0 BMC1 F1*x1,s1 + F2* x1,s2 – F3* x1,s3 = 0 BMC2 F1* x2,s1 + F2* x2,s2 – F3* x2,s3 = 0 NORM-S1 x1,s1 + x2,s1 + x3,s1 = 1 NORM-S2 x1,s2 + x2,s2 + x3,s2 = 1 NORM-S3 x1,s3 + x2,s3 + x3,s3 = 1 A este sistema, se debe agregar el siguiente set de mediciones para que las variables pertenecientes a la corriente de salida resulten observables: F1,F2 x1,s1, x1,s2 x2,s1, x2,s2

Si el ingeniero de procesos decide agregar al set de mediciones la siguiente medición: F3 La variable F3 pasará ahora a ser una variable “redundante”, ya que su valor puede ser obtenido mediante observabilidad, pero también ha sido medido por la instalación de un caudalímetro. La ecuación BMG se denomina redundante. Entonces esto sirve para corroborar errores de medición.

BMG F1 + F2 – F3 = 0 BMC1 F1*x1,s1 + F2* x1,s2 – F3* x1,s3 = 0 BMC2 F1* x2,s1 + F2* x2,s2 – F3* x2,s3 = 0 NORM-S1 x1,s1 + x2,s1 + x3,s1 = 1 NORM-S2 x1,s2 + x2,s2 + x3,s2 = 1 NORM-S3 x1,s3 + x2,s3 + x3,s3 = 1