Solucion de la ecuacion de estado Sistemas dinamicos Solucion de la ecuacion de estado

Contenido Valores y vectores propios Solucion a un caso escalar Solucion al caso homogeneo Solucion al caso general Respuesta impulsiva Solucion en el dominio de laplace Transformacion de coordenadas Similaridad y diagonalizabilidad

Valores y vectores propios

Valores y vectores propios Valor propio Vector propio A：una matriz cuadrada ( nn ) ：un escalar x： un vector en Rn diferente de cero Interpretacion geometrica, l real

Interpretacion geometrica direccion de v1 Direccion de v2

Espacio de un valor propio Sea A una matriz nn con un valor propio  El conjunto de todos los vectores propios de  junto con el vector cero es un subespacio de Rn Este subespacio es denominado el espacio propio de  Es decir, es un vector propio de 

Polinomio caracteristico Para un valor y su vector propio correspondiente, x pertenece al espacio nulo de (A – l I) tiene solucion no nula si y solo si Polinomio caracteristico de AMnn: Los valores propios son las raices del polinomio caracteristico de la matriz

Ecuacion caracteristica Los valores propios son las raices del polinomio caracteristico de la matriz Del teorema fundamental del algebra implica que para una matriz nn hay exactamente n valores propios (pero pueden repetirse y ser complejos)

Espectro de una matriz Definicion: El espectro de A es el conjunto de todos los valores propios (distintos) de A Definicion: El radio espectral de A: (A) = {1, … , n} r (A) = max {|l|: l in l(A)}

Vectores de valores propios diferentes Vectores propios v1, v2,…, vk que corresponden a valores propios distintos, todos diferentes, son linealmente independientes. Prueba: Asuma que son linealmente dependientes, pero que los primeros r son linealmente independientes Multiplicando por la izquierda por implica que, para todo i, ci = 0

Valores propios repetidos Si k es un valor propio de la matriz A nn : El número de veces que ( – k) aparece como un factor en el polinomio característico es denominado la multiplicidad algebraica de k .

Multiplicidad geometrica Si k es un valor propio de la matriz A nn : El número de las soluciones de es decir, el número de vectores propios independientes es denominada la multiplicidad geométrica de k La multiplicidad geométrica es menor o igual a la multiplicidad algebraica

Solucion a un caso escalar

Ejemplo: trayectoria de un sistema escalar ¿Cuál es la trayectoria del estado del sistema escalar mostrado? La solucion involucra un proceso de integracion

Ejemplo: trayectoria de un sistema escalar Calculo de la respuesta usando series

Ejemplo: trayectoria de un sistema escalar Calculo de la respuesta usando series Respuesta de entrada cero

Trayectoria de un sistema escalar ¿Cuál es la trayectoria del estado del sistema escalar mostrado? Premultiplicando por , despues de algunas manipulaciones se puede resolver

Trayectoria de un sistema escalar Trayectoria del estado del sistema escalar Respuesta de estado cero Respuesta de entrada cero Este resultado era de esperarse ya que el sistema es lineal

Salida del sistema escalar Si el sistema escalar tiene una salida escalar y(t) definida por la relacion algebraica Se obtiene,

Solucion al caso homogeneo

Respuesta de entrada cero Consideremos inicialmente el sistema homogeneo Derivando la ecuacion de estado k veces

Respuesta de entrada cero La solucion se puede expresar utilizando Taylor

La matriz exponencial Por analogia con el caso escalar, podemos definir la matriz exponencial

eAt en terminos de una serie finita El teorema de Cayley-Hamilton establece que la matriz A satisface su propia ecuacion caracteristica Del teorema de Cayley-Hamilton, la serie infinita de la matriz exponencial se puede reducir a una serie finita, con , escalares

Respuesta de entrada cero Finalmente, la trayectoria del estado, Matriz de transicion de estado

Ejemplo: A diagonal Considere la matriz diagonal n × n Que satisface donde l es un valor propio de la matriz A

Ejemplo: A diagonal

Ejemplo: A diagonal Cada estado sigue una trayectoria independiente que solo depende del valor propio l correspondiente Ejercicio: Dibuje la respuesta para diferentes valores de l

Comportamiento del estado para valores de l Valor propio correspondiente Tiende acero Permanece acotado Tiende a infinito Re(l) Im(l )

Algunas propiedades de eAt La matriz exponencial es la unica matriz que satisface Para todo tiempo Ademas, es invertible

Algunas propiedades de eAt La multiplicacion de A y eAt es conmutativa Tambien Ademas, si AB = BA, entonces

Ejemplo: una solucion particular para eAt Del teorema de Cayley-Hamilton, la serie infinita de la matriz exponencial se puede reducir a una serie finita, con , escalares derivando

Ejemplo: una solucion particular para eAt derivando Del teorema de Cayley-Hamilton

Ejemplo: una solucion particular para eAt del resultado Igualando coeficientes

Ejemplo: una solucion particular para eAt Usando eA·0 = I , obtenemos los valores iniciales α0(0) = 1 y α1(0) = … = αn-1(0) = 0. entonces La solución para esta ecuación de estado lineal homogénea con el estado inicial especificado, da como resultado las funciones de los coeficientes que establecen la representacion en la serie finita de potencias de la matriz exponencial

Solucion al caso general

La trayectoria del estado u escalar (0, 0, 0) t = 0 t = 2 t = 3 t = 4 State variable 1 (x1) State variable 2 x2 State variable 3 x3 State vectors at different times State trajectory

Solucion al caso general Para el caso general forzado Definamos, x n y p u m luego,

Solucion al caso general Derivando z Aplicando el teorema fundamental del calculo

Solucion al caso general Recobrando la solucion en x

Solucion al caso general La solucion completa, es Respuesta de estado cero Respuesta de entrada cero Este resultado era de esperarse ya que el sistema es lineal

Solucion al caso general La respuesta de salida es, Respuesta de estado cero Respuesta de entrada cero

Respuesta impulsiva

Respuesta impulsiva u m Asumiendo, sin perdida de generalidad que t0 = 0, haciendo x(0) = 0, nos enfocamos en la respuesta de estado cero Particionando B y D como u m

Respuesta impulsiva Denotando, la base estandar en Con una entrada impulsiva en la entrada i-esima Conduce a la respuesta

Respuesta impulsiva Aplicando linealidad, considerando las m entradas impulsivas, i = 1,2, … , m, La matriz de la respuesta impulsiva, es la matriz p × m, y p

La respuesta de estado cero La respuesta de estado cero es Que en terminos de la respuesta impulsiva conduce la conocida integral de convolucion,

Solucion en el dominio de laplace

Transformada de la ecuacion de estado Tomando la transformada de Laplace de la ecuacion de estado, asumiendo que t0 = 0, y x(0) = x0 Respuesta de estado cero

La transformada de Laplace de eAt Observando el resultado en Laplace y comparando con la solucion en el tiempo, se ve que Forman un par para la transformada de Laplace Esta relacion sugiere una aproximacion para calcular la matriz exponencial

Solucion en el dominio de laplace: ejemplo En el siguiente ejemplo, encontrar la trayectoria del estado usando Laplace

Solucion en el dominio de laplace: ejemplo Para invertir una matriz 2x2: Intercambiar diagonales Cambiar de signo los elementos fuera de la diagonal Dividir por el determinante

Solucion en el dominio de laplace: ejemplo Finalmente, la trayectoria del estado

Solucion para la salida en el dominio s Consideramos ahora la relacion de entrada salida. Resolviendo para la salida, La funcion de transferencia del sistema, que relaciona la entrada con la salida, condiciones iniciales nulas:

Solucion para la salida en el dominio s Resolviendo para la salida, con condiciones iniciales nulas Resultado acorde con la propiedad de la convolucion de la transformada de Laplace que indica que

Realizacion de una funcion de transferencia En general, se dice que una realizacion en espacio de estado de la conducta de entrada-salida del sistema, satisface, dada por la relacion Y(s) = H(s)U(s) en el dominio de Laplace o por la ecuacion diferencial asociada que relaciona y(t) con u(t) en el dominio del tiempo (para condiciones iniciales cero), La conducta de entrada-salida de un sistema tiene multiples realizaciones en espacio de estado

Conversion entre tipos de modelos La conducta de entrada-salida de un sistema tiene multiples realizaciones en espacio de estado Modelo en espacio de estado Modelo en funcion de transferencia Transformada de Laplace Realizacion multiples unica Se puede demostrar a partir de los resultados de la proxima seccion

Transformacion de coordenadas

Transformación de coordenadas Cualquier matriz no singular T, n × n, define una transformación de coordenadas vía Matrices del sistema transformado

Transformacion de silimilaridad Las ecuaciones del sistema transformado Matrices del sistema transformado El sistema original y el sistema “transformado” representan el mismo sistema dinamico. Las matrices de estado comparten algunas propiedades, por lo que trasformacion es denominada una transformacion de silimilaridad

Similaridad y diagonalizabilidad

Matrices similares Definition: Se dice que las matrices A,B ∈ Cn×n son similares si existe una matriz no singular T ∈ C, n×n, para la cual Si las matrices A y B son similares entonces tienen los mismos valores propios Una matriz diagonal necesariamente muestra sus valores propios en la diagonal principal

Propiedades de la similaridad La similaridad tiene las siguientes propiedades: A es similar a A Si B es similar a A, entonces A similar a B Si A similar a B y B es similar a C, entonces A similar a C Es decir la similaridad es una relacion de equivalencia

Diagonalizabilidad Definicion: Se dice que una matriz es diagonalizable (o puede ser diagonalizada) si es similar a una matriz diagonal. Si A es una matriz n × n con n vectores propios linealmente independientes, entonces A es diagonalizable. La matriz A es diagonalizable si y solamente si la multiplicidad geometrica es igual a la multiplicidad algebraica para cada valor propio

Diagonalizabilidad Si i , con i = 1,..., k, son los valores propios distintos de la matriz A nn, con multiplicidad geometrica ni , entonces habra vectores propios independientes Si V es la matriz cuyas columas son los vectores propios independientes

Diagonalizabilidad En el evento de que Las matrices V y L son ambas nn, , ademas V es no singular, en consecuencia, La matriz V n × n cuyas columas son los n vectores propios independientes de A es una transformacion de similaridad que diagonaliza a A

Propiedades de la transformacion La transformación de coordenadas propuesta tiene las siguientes propiedades:

La forma canónica diagonal Cualquier sistema en espacio de estado con una matriz A diagonalizable puede ser transformado a la forma canónica diagonal La forma canónica diagonal se caracteriza por una matriz A diagonal, donde los elementos de la diagonal son los valores propios λi asociados con los vectores propios vi, i = 1, 2, . . . , n.

Bibliografia A. D. Lewis, A Mathematical Approach to Classical Control, 2003, on line acces http://www.mast.queensu.ca/~andrew/teaching/math332/notes.shtml Robert L., Williams, Douglas A. Lawrence “Linear State-Space Control Systems”, Wiley, 2007

FIN