Momentos Daniel Bolaño Asenjo José Juan Corpas Martos Oscar D. Fernández Martínez Javier Gutiérrez Segura

Tabla de contenidos - Momentos Geométricos - Momentos de Legendre

Momentos Geométricos Introducción Momentos Simples Momentos Centrales Centroide Momentos Normalizados Momentos Orden 0 Momentos Orden 1 Momentos Orden 2 Matriz Rotación Angulo Rotación Excentricidad Momentos Orden 3 Momentos Invariantes

Introducción Los momentos son propiedades numéricas que se pueden obtener de una determinada imagen. Tienen en cuenta todos los píxeles de la imagen, no solo los bordes. Clasificación de los momentos: Momentos Simples Momentos Centrales Momentos Centrales Normalizados

Momentos Simples Se emplean para obtener otros momentos, pero también dan información por sí mismos. Para una función continua f(x,y), el momento de orden (p+q) se define como: En discreto obtenemos lo siguiente:

Momentos Centrales Permiten reconocer figuras dentro de una imagen independientemente de su posición. Continuo Discreto x y (0,0)

Centroide Centro de masas de la figura. Viene representado por los momentos de orden 0 y 1 El área de la figura que queda a la derecha e izquierda del punto X es la misma. Igual para el área que queda por encima y por debajo del punto Y X = M(1,0) / M(0,0) Y = M(0,1) / M(0,0)

Momentos Centrales Normalizados Permiten reconocer figuras dentro de una imagen independientemente de su tamaño. Se normalizan los momentos centrales con el momento de orden 0, obteniendo así figuras independientes de la escala.

Momento de Orden 0 El momento simple de orden 0 representa el área de la figura en imágenes binarias y la superficie en imágenes en escala de grises. Es la suma de los valores de todos los píxeles.

Momentos Orden 1. [(p+q) = 1] Momentos simples de Orden 1 (M(1,0),M(0,1)): Se emplean para hallar el centro de masas de una figura. Momentos Centrales de Orden 1 (MC(1,0),MC(0,1)): Estos momentos son 0 por definición.

Momentos Orden 1. [(p+q) = 1] Momentos Centrales Normalizados de Orden 1 (MCN(1,0),MCN(0,1)): Estos momentos son 0 por definición.

Momentos Orden 2. [(p+q) = 2] Son importantes para el calculo de los momentos centrales. La densidad de la figura se multiplica por distancias al cuadrado desde el centro de masas o centroide (Inercia). x y x y x y

Matriz de rotación Los tres momentos centrales de 2º orden forman las componentes del tensor de inercia o matriz de rotación. A partir de estas componentes se podrán obtener: El ángulo de rotación de la figura alrededor de su centro de masas La excentricidad de la figura

Angulo rotación La orientación o ángulo de rotación de la figura se define como el ángulo entre el eje de abscisas y el eje alrededor del cual la figura puede rotar con mínima inercia.

Excentricidad x´ y y´  x centroide focos excentricidad

Momentos Orden 3. [(p+q) = 3] Sirven para calcular los momentos invariantes.

Momentos Invariantes A partir de los momentos centrales normalizados de orden 2 y 3 se obtienen los siete momentos invariantes. Estos conjunto de momentos es invariante a la traslación y cambio de escala de una figura.

Momentos Invariantes

Ejemplo Estrella Estrella Ampliada Estrella Girada Forma Forma Ampliada Forma Centrada

Conclusiones La resolución de las imágenes y la propia naturaleza digital de los datos, producen una serie de errores en los cálculos. Se han usado imágenes en blanco y negro y de un tamaño determinado (150 x 150). Posibles mejoras: Tener en cuenta las distintas gamas de colores. Eliminar ruidos. Aplicaciones: Construir una base de datos de momentos geométricos y emplearla como patrones para el reconocimiento de formas.

Momentos de Legendre Motivación Definición Aproximación Versión Computable Función de reconstrucción Condiciones de las pruebas Resultados experimentales Conclusiones de las pruebas Conclusiones finales

Motivación Reconstrucción mediante momentos geométricos muy costosa y propensa a errores. Cómo reconstruir la imagen con un conjunto finito de momentos.

Definición El momento de Legendre de orden (p, q) viene dado por: Donde el polinomio de Legendre de orden (p) se define como:

Aproximación Al igual que en el caso de los momentos geométricos, los momentos de Legendre pueden aproximarse por: donde:

Versión computable Esta es la fórmula empleada para el cálculo computacional de los momentos de Legendre: El valor de estará comprendido entre [0,255]. El valor de x e y estará comprendido en un cuadrado [-1,1] x [-1,1] (cambio de variable).

Función de reconstrucción Podemos escribir la función como expansión de series infinitas. Emplearemos una versión truncada:

Condiciones de las pruebas Imágenes en blanco y negro de 150x150 píxeles Cálculo de momentos hasta orden 20 Precisión de coma flotante: 28 decimales Procesador a 1.5 Ghz – 384 Mb RAM Duración media del cálculo de momentos hasta el orden 20: 1’20” Duración media de la reconstrucción: 1’20”

Resultados experimentales Simulación desde momento de orden 0 a 20

Resultados experimentales Simulación desde momento de orden 0 a 20

Conclusiones de las pruebas Mejores resultados con: Tamaños mayores de la imagen Un mayor número de píxeles negros Líneas más rectas Condiciones necesarias para un mejor resultado: Máquina/s de gran potencia de cálculo Aumentar el número de momentos Trabajar con aritmética de grandes números Utilizar el máximo posible de lugares decimales

Conclusiones generales Los momentos de Legendre son una herramienta eficaz para la reconstrucción de imágenes mediante sus características numéricas. El proceso de reconstrucción se comporta de mejor forma para imágenes grandes. Conforme crece el número de momentos, resulta muy costoso reconstruir una imagen.

Herramientas Utilizadas Microsoft Visual Studio Visual Basic Visual C++ CVIP Tools (manipulado de imágenes) Microsoft Access

Referencias Image Description using moments (Dr. S. Belkasim). On image analisis by moments (Liao-Pawlak) Image analysis with moment descriptor (Liao-Pawlak). On the reconstruction aspects of moments descriptors (Pawlak). On image analysis by the methods of moments (Cho-Huak, Chin). Orthogonal Legendre moments and their calculation (Shen-Shen). Image characterization by fast calculation of low-order Legendre moments (Shen-Shen).