Interpolación diferencia-finita (newton)

Newton Nació el 25 de diciembre de 1642 (según el calendario juliano vigente entonces; el 4 de enero de 1643, según el calendario gregoriano vigente en la actualidad), en Woolsthorpe, Lincolnshire. matemático y físico británico, considerado uno de los más grandes científicos de la historia, que hizo importantes aportaciones en muchos campos de la ciencia. Sus descubrimientos y teorías sirvieron de base a la mayor parte de los avances científicos desarrollados desde su época.

INTERPOLACIÓN-NEWTON Cuando los datos están tabulados de forma que la diferencia entre dos valores consecutivos del vector de abscisas es constante, o sea, sus valores son equidistantes. Quiere decir cuando la distancia h entre dos argumentos consecutivos cualesquiera, es la misma a lo largo de la tabla, el polinomio de Newton en diferencias divididas puede expresarse con mas sencillez.

Aproximación polinomio de Newton, el cual se expresa como: Para este propósito se introduce un parámetro , “s” definido en: 𝑥= 𝑥 0 +𝑠ℎ ; 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑠𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎 𝑒𝑙 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎. 𝑖=0 𝑘−1 𝑥− 𝑥 𝑖 Aproximación polinomio de Newton, el cual se expresa como: 𝑝 𝑛 𝑥 = 𝑖=0 𝑛 𝑎 𝑖 𝑖=0 𝑘−1 (𝑥− 𝑥 𝑖 )

¿Cómo saber que es Interpolación De Newton Finitas? Cuando la distancia h entre dos argumentos ( 𝑋 𝑖 − 𝑋 𝑖−1 ) consecutivos cualesquiera, es la misma a lo largo de la tabla

Análisis de ecuación

Interpolación de Newton en diferencias finitas =𝑓 𝑥 0 +𝑠𝛥𝑓 𝑥 0 + 𝑠(𝑠−1) 2! 𝛥 2 𝑓 𝑥 0 +… + 𝑠 𝑠−1 𝑠−2 …(𝑠− 𝑛−1 ) 𝑛! 𝛥 𝑛 𝑓 𝑥 0

DEMOSTRACION DE LA ECUACION La ecuación de polinomios de forma general lineal es: Luego dependiendo del orden cada uno de los coeficientes y las incógnitas se hacen cero 0: En donde las evaluaciones de la función entre corchetes son diferencias divididas finitas. Por ejemplo, la primera diferencia dividida finita se representa generalmente como:

La segunda diferencia dividida finita, que representa la diferencia de dos primeras diferencias divididas finitas, se expresa generalmente como: De manera similar, la n-ésima diferencia dividida finita es: Estas diferencias se usan para evaluar los coeficientes de la ecuación (12), los cuales se sustituyen en la ecuación (11), para obtener el polinomio de interpolación:

𝐷𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑓 𝑥 𝑖 , 𝑥 𝑗 = ∆ 𝑛−1 𝑏 De forma general con el delta obtenemos ∆ 𝑛 𝑏= ∆ 𝑛−1 𝑏 𝑓[2]= ∆ 2 𝑏 ℎ 2 2! Para dos índices De forma general para cada indice 𝑓 𝑥 𝑖 , 𝑥 𝑗 ,.. 𝑦 𝑛 = ∆ 𝑛 𝑦 0 ℎ 𝑛 𝑛!

𝑝= 𝑦 0! ℎ 0 + 𝝙𝑦(𝑋− 𝑥 1 ) 1! ℎ 1 + 𝝙 2 𝑦(𝑋− 𝑥 1 )(𝑋− 𝑥 2 ) 2! ℎ 2 +… La formula general es: 𝑝= 𝑦 0! ℎ 0 + 𝝙𝑦(𝑋− 𝑥 1 ) 1! ℎ 1 + 𝝙 2 𝑦(𝑋− 𝑥 1 )(𝑋− 𝑥 2 ) 2! ℎ 2 +… ….. + 𝝙 𝑛 𝑦 𝑋− 𝑥 1 𝑋− 𝑥 2 …(𝑋− 𝑥 𝑛 ) 𝑛! ℎ 𝑛

Tabla de calculo de cada uno de los índices

Aplicando la formula General

Programa Diferencias Finitas (Newton) Estructura y Algoritmo del Programa

Construcción de la tabla x y 60 0.63 40 1.36 80 2.18 … X 𝐷𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑀𝐴𝑇𝐿𝐴𝐵 𝑙𝑜𝑠 𝑦 𝑖 , 𝑥 𝑖 ;𝑖=1,2,3,… MATLAB Tabla

y ∆ 2 𝑦 ∆ 3 𝑦 ∆ 4 𝑦 … ∆ 𝑛 𝑦 0.63 0.73 0.09 -0.09 0.2 1.36 0.82 0.11 1.14 2.18 1.26 -2.53 …. x X Tabla Delta MATLAB

INTERFAZ GRAFICA MATLAB NEWTON (FINITAS)