CALCULO DE PROBABILIDADES DÍA 60 * 1º BAD CT CALCULO DE PROBABILIDADES

NÚMEROS COMBINATORIOS Los llamados números combinatorios son una extensión de las Combinaciones. Así por ejemplo, no podemos formar combinaciones de 0 elementos, vemos que es absurdo. Pero en la práctica la fórmula o modo de obtenerles es la misma : m m! C m,n = ( ) = ---------------- n n!.(m – n)! Se determina que: 1! = 1 y que 0! = 1 m m Propiedades: A) ( ) = ( ) n m – n m m m + 1 B) ( ) + ( ) = ( ) n n + 1 n + 1

Ejemplos 5 5 Propiedades: A) ( ) = ( ) 3 2 5 5 Propiedades: A) ( ) = ( ) 3 2 5! / 3!.2! = 5! / 2!.3!  10 = 10 7 7 3 4 7! / 3!.4! = 7! / 4!.3!  35 = 35 10 10 7 3 10! / 7!.3! = 10! / 3!.7!  120 = 120 Esta propiedad está presente en las distribuciones binomiales.

Ejemplos 5 5 6 Propiedad B) ( ) + ( ) = ( ) 2 3 3 5 5 6 Propiedad B) ( ) + ( ) = ( ) 2 3 3 5! / 3!.2! + 5! / 2!.3! = 6! / 3!.3!  10 + 10 = 720 / 36  20 = 20 7 7 8 B) ( ) + ( ) = ( ) 0 1 1 7! / 0!.7! + 7! / 1!.6! = 8! / 1!.7!  1 + 7 = 8.7! / 7!  8 = 8 15 15 16 B) ( ) + ( ) = ( ) 14 15 15 15! / 14!.1! + 15! / 15!.0! = 16! / 15!.1!  15 + 1 = 16  16 = 16

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Supongamos una distribución de probabilidad discreta que hemos reducido a binomial. B(n, p) Hay dos únicos sucesos posibles, éxito (E) y fracaso (F). Se realizan n ensayos del experimento, independientes unos de otros. La probabilidad de éxito es constante a lo largo de las n pruebas y vale p. P(E) = p La probabilidad de fracaso también es constante e igual a 1-p = q. La variable aleatoria X cuenta el número r de éxitos en las n pruebas: r = 0, 1, 2, ..., n ¿Cuántas subconjuntos de r elementos tiene un conjunto de n elementos?. El número combinatorio n sobre r. En otras palabras: Si se repite el experimento 20 veces (n = 20), ¿en cuántas ocasiones nos van a salir 7 veces el resultado deseado (r = 7)?. Pues el número combinatorio 20 sobre 7. 20 ( ) = 20! / 7!.(20-7)! 7

Probabilidad de r éxitos En general: r n-r P(X = r)= k.p . q El parámetro k sabiendo que es un número combinatorio. n k = ( ) = n! / r! . (n-r)! r En el ejemplo: 5 2 3 P(X=2) = ( ).0,5 . 0,5 = 2 = 10.0,25.0,125 = 0,3125 Ejemplo visual: Lanzamos una moneda 5 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que nos salgan dos caras?. CCXXX CXCXX CXXCX CXXXC XCCXX XCXCX XCXXC XXCCX XXCXC XXXCC Vemos que 10 veces.

Ejemplo Lanzamos una moneda al aire 20 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que nos salgan 7 caras? RESOLUCIÓN: n=20, pues se repite el lanzamiento 20 veces r=7 , pues se trata de ver la probabilidad de tener 7 exitos. p=0,5 , que es la probabilidad de éxito ( salir cara ). Luego, aplicando la fórmula obtenida: r n-r P(X = r)= k.p . q 7 20-7 P(x =7) = k. (1/2) . (1 – ½) 7 7 20-7 7 13 P(x =7) = C . (1/2) . (1 – ½) = [ 20! / 7!.(20-7)! ]. 0,5 . 0,5 = 20 = 77.520 0,00000095 = 0,074

Otro Ejemplo Lanzamos un dado al aire 20 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que nos salgan 7 seises? RESOLUCIÓN: n=20, pues se repite el lanzamiento 20 veces r=7 , pues se trata de ver la probabilidad de tener 7 exitos. p=0,167 , pues la probabilidad de éxito ( salir un seis ) es p = 1/6 = 0,167 Luego, aplicando la fórmula obtenida: r n-r P(X = r)= k.p . q 7 20-7 P(x =7) = k. (1/6) . (1 – 1/6) 7 7 20-7 7 13 P(x =7) = C . (1/6) . (5/6) = [ 20! / 7!.(20-7)! ]. 0,167 . 0,833 = 20 = 77520 0,000000334 = 0,026

MEDIDAS ESTADÍSTICAS de una distribución binomial MEDIA μ = n.p En nuestros ejemplos: μ = n.p = 20.0,5 = 10 para la moneda μ = n.p = 20.0,167 = 3,34 para el dado DESVIACIÓN TÍPICA σ = √(n.p.q) σ = √(n.p.q) = √ 20.0,5.0,5 = √5 = 2,24 para la moneda σ = √(n.p.q) = √ 20.0,167.0,833 = √2,77 = 1,67 para el dado

Ejemplo El 15% de las bombillas que produce una máquina dura menos de 100 horas. Se toman 4 bombillas al azar y se dejan encendidas. ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo 3 se fundan antes de 100 horas?. RESOLUCIÓN: n=4, pues se toman 4 bombillas. r=0 U r=1 U r=2 U r=3 , o también 1 – las 4 fundidas Luego, aplicando la fórmula obtenida: r n-r 1 – P(X = r) = k.p . q 4 0 4 1 – P(x =4) = 1 – C . (0,15) . (1 – 0,15) 4 1 – P (x =4) = 1 – 1.1.0,854 = 1 – 0,5220 = 0,4780

Otro Ejemplo Una encuesta revela que el 80% de los usuarios del transporte público están satisfechos. Se eligen 10 ciudadanos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la mitad de ellos estén descontentos?. RESOLUCIÓN: n=10, pues se toman 10 personas. r=5 , con p = 0,80 Luego, aplicando la fórmula obtenida: r n-r P(X = r) = k.p . q 5 5 5 P(x =5) = C . (0,80) . (1 – 0,80) 10 P (x =5) = (10.9.8.7.6/5.4.3.2).0,85 .0,25 = 36.0,32768.0,00032 = 0,003775

Y otro Ejemplo Un examen tipo test consta de 10 preguntas, y cada pregunta tiene 3 posibles respuestas, de las que sólo una es correcta. Un alumno contesta al azar.¿Cuál es la probabilidad de que apruebe?. RESOLUCIÓN: n=10, pues se contestan las 10 preguntas. p = 1 / 3 , pues una de cada tres es la correcta. Luego, aplicando la fórmula de la binomial B(10, 1/3): P(X ≥ 5) = P(X = 5) + P(X = 6) + P(X =7) + P(X = 8) + P(X = 9) + p(X = 10) También P(X ≥ 5) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X =2) + P(X = 3) + P(X = 4)] P(X ≥ 5) = 1 – C10,0 . (1/3)0.(2/3)10 – C10,1 . (1/3)1.(2/3)9 – C10,2 . (1/3)2.(2/3)8 – – C10,3 . (1/3)3.(2/3)7 – C10,4 . (1/3)4.(2/3)6 = 1 – (2/3)10 – 10.(1/3)1.(2/3)9 – – 45. (1/3)2.(2/3)8 – 120.(1/3)3.(2/3)7 – 210. (1/3)4.(2/3)6 = = 1 – 0,017341 – 0,086707 – 0,195092 – 0,261229 – 0,227608 = 0,212023