Investigación Operativa Tema 1: Programación Lineal

Resolución gráfica x2 z z* x1 Solución óptima Región factible Solución básica x1

Casos especiales Óptimos alternativos Solución infactible Restricciones redundantes No acotado

Forma estándar Matricialmente, Min CTX s.a. AX=b x  0

Adaptación de formulaciones Maximización a minimización Max z es igual a Min -z Variables de holgura o superávit Para convertir las desigualdades en igualdades Variables no restringidas (pueden ser negativas) xnr = xnr+ - xnr- ; xnr+, xnr-  0

Ejemplo nº2 Encontrar la dieta más barata que asegure las necesidades diarias de una persona, en función de las características siguientes:

Geometría de la P.L. Región Punto extremo Dirección Dirección extrema Intersección de un número finito de semiespacios cerrados. También se llama poliedro Si está acotado: Politopo Siempre es convexo: si cualquier c.l. de sus puntos también pertenece al conjunto Punto extremo No se puede expresar como c.l. de cualesquiera otros puntos Existe un número finito de ellos en un conjunto convexo Dirección Dirección extrema No puede expresarse como c.l. de dos direcciones distintas

Teorema de representación Cualquier punto X perteneciente a la región S={X / AX=b, X  0} se puede expresar como: Entonces, S es convexo: tiene un número finito de puntos extremos

Aplicación al problema de P.L. Min CTX s.a. AX=b x  0 X1, ... , Xk : puntos extremos d1, ... , dk: direcciones extremas Existe solución óptima finita si y sólo si CTdj>=0, para todo j Entonces, existe un punto extremo que resuelve el problema

Álgebra de la P.L. Base: Conjunto de m vectores de A linealmente independientes, donde m es el rango de A. Se representa por B. Variable básica: Variables de decisión asociadas a los m vectores de la base. Se representan por XB. El resto se llaman variables no básicas o secundarias, XN. Solución básica: La que corresponde a XB=B-1b, con XN=0. Existe un número finito de ellas. Para cada solución básica factible, existe un punto extremo Solución básica degenerada: Si alguno de los componentes de XB tiene valor nulo.

Teorema fundamental de la P.L. Dado el problema: Min CTX s.a. AX=b x  0 Si admite una solución factible, admite al menos una solución básica factible Si admite una solución óptima finita, admite al menos una solución básica óptima

El Simplex Procedimiento iterativo Calcula en cada paso una solución básica mejor que la anterior, hasta llegar a la óptima Número de iteraciones: máximo: (nm) generalmente, entre 1,5 y 3m

Notación del Simplex

Interpretación de los criterios zj-cj (vector de criterios del Simplex, coste reducido, coste marginal): es lo que se reduce la función objetivo cuando se empieza a desarrollar la actividad xj a nivel unitario yij (tasa de sustitución): disminución que es necesario consentir en el nivel de realización de la actividad i para desarrollar la j a nivel unitario

Teoremas del Simplex (I) No acotamiento Dada una solución básica factible asociada a B, si para un kN se tiene que zj-cj>0 y yk0, entonces no existe solución óptima finita Mejora de la solución Dada una solución básica factible asociada a B, si para un kN se tiene que zj-cj0 y si para algún sB, ysk>0, entonces la solución básica asociada a B’, donde B’ es igual a B pero entrando el vector ak a sustituir a al de modo que es una nueva solución básica factible que da a z un valor La mejora será efectiva si es no degenerado (xl>0) y si zk-ck>0

Teoremas del Simplex (II) Optimalidad Dada una solución básica factible asociada a B, una condición necesaria y suficiente para que sea óptima es que para todo jN, zj-cj  0 Una condición suficiente para que una solución básica sea la única óptima es que para todo jN, zj-cj < 0

Casos particulares Solución infactible Solución no acotada Solución con óptimos alternativos

Algoritmo del Simplex 1- Determinar una solución básica factible inicial B 2- Calcular la matriz Y y el vector de criterios zj-cj 3- Si zj-cj0 para todo j : SOLUCIÓN ÓPTIMA 4- Si no, comprobar yj para los j t.q. zj-cj>0 Si yj  0 para algún j: SOLUCIÓN NO ACOTADA 5- REGLA DE ENTRADA: Escoger k=Max (zj-cj) 6- REGLA DE SALIDA: Escoger l t.q. 7- Pasar de B a B’=B-{al}U{ak} 8- Repetir el algoritmo

Cambio de base

Ejemplo nº3 Min z = x1-3x2-x3 s.a. x1+4x2+3x3 = 12 x1+2x2 - x3 = 4

Tabla del Simplex

Variables artificiales Sirven para encontrar una base factible inicial Pero deben desaparecer de la solución final, si no el problema es infactible La manera de eliminarlas es penalizándolas en la función objetivo, para que sea el propio algoritmo el que las saque de la base

Método de las penalizaciones Consiste en penalizar las variables artificiales en la función objetivo con un término M lo suficientemente grande, de tal forma que sea el propio algoritmo quien las elimine Posibles resultados: No hay variables artificiales en la base Hay variables artificiales en la base a nivel nulo si se pueden cambiar por otras reales: BASE DEGENERADA si no se pueden cambiar: RESTRICCIONES REDUNDANTES a nivel no nulo: PROBLEMA INFACTIBLE El problema es determinar el valor de M

Método de las dos fases Fase 1: Minimizar la suma de las variables artificiales Fase 2: Eliminar las variables artificiales y resolver el problema original (con la solución anterior como solución factible inicial) Posibles situaciones: Min z = 0: V. artif. nulas: se eliminan las v.a., y se sigue resolviendo el problema (hay que recalcular zj-cj y z) V. artif. no nulas: se cambian las v.a. por variables originales (pivotando, siempre que yij  0) Min z  0: PROBLEMA INFACTIBLE

Simplex revisado Tiene los mismos pasos que el Simplex “básico” Pero requiere un menor número de operaciones Ocupa menos memoria de ordenador Es más fácil controlar los posibles errores de redondeo Puede inducir a más errores que el “básico” cuando se hace de forma manual

Algoritmo revisado w z w = CBB-1 xB = B-1b xB B-1 zk-ck w z zj - cj = waj - cj yk = B-1ak yk w’ (B’)-1 x’B z’ (zj - cj)’ = w’aj - cj y’k = (B’)-1ak

Ejemplo nº 4 Min -x1-2x2+x3-x4-4x5+2x6 s.a. x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 =6 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ,x7,x8,x9 0

Degeneración y ciclado Una solución es degenerada si alguna de las variables básicas es nula Indica la existencia de restricciones redundantes Posibles razones: Existe un componente de b nulo Empate en el criterio de salida Posibilidad de caer en un ciclo Puede haber degeneraciones temporales

Óptimos alternativos Coste reducido de variables no básicas: Negativo (<0): SOLUCIÓN ÓPTIMA ÚNICA Nulo (=0) para xk: Entra xk, sale xl xl=0: Cambio de base, pero solución óptima única xl>0: Soluciones múltiples Entonces, son soluciones óptimas todas las combinaciones lineales convexas de las soluciones múltiples obtenidas

Ejemplo nº5 Max 3x1 + 2x2 s.a. 6x1 + 4x2  24 10x1 + 3x2  30