Correlación Decimos que dos variables, X e Y, están correlacionadas cuando hay una relación cuantitativa entre ellas. X suele ser la variable independiente e Y la dependiente (Y “depende” de X). Altura y peso de niños. Peso = f(Altura) Velocidad máxima que alcanza un coche y potencia de su motor. Velocidad = f(Potencia) Presupuesto para adquisiciones y número de libros que puede adquirir una biblioteca. Libros = f(Presupuesto) Si se hace una lista ordenando las palabras según su frecuencia de aparición en un texto extenso, se encuentra que hay una correlación entre frecuencia y posición o rango en esa lista. Frecuencia = f(Rango) =>(Ley de Zipf) La relación puede ser claramente causal o no. La potencia del motor de un coche es la causa de que alcance una mayor velocidad, así como un mayor presupuesto el que se puedan comprar más libros. (X es la “causa” de Y) En cambio, el rango de una distribución tipo Zipf no es la causa de la frecuencia; en todo caso, la frecuencia es la causa del rango. (Y es la “causa” de X) La relación altura – peso tiene parte de causalidad, pero también existen otros factores. (X y otros factores son la causa de Y) Cuando se hacen correlaciones hay que analizar bien el fenómeno para no caer en errores (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España)

Correlaciones espúreas Hay que evitar las denominadas correlaciones espúreas o espurias, es decir, que llevan a conclusiones erróneas. Ocurren cuando dos variables, X e Y, son realmente independientes entre sí, pero dependientes ambas de una misma causa común, Z. X Y Z Ejemplo de correlación espúrea: Cierto biólogo inglés publicó un estudio en el que se comprueba que en los pueblos y ciudades con más cigüeñas en los campanarios, X, nacen más niños, Y. Llegó a la conclusión de que “los niños los trae la cigüeña”. Lo cierto es que tanto el número de cigüeñas, X, como el de niños, Y, dependen de la causa común, Z, que es el tamaño del pueblo o ciudad. En las poblaciones grandes hay siempre más cigüeñas y más niños. Tanto cigüeñas como niños están correlacionados con el tamaño de la población, pero no entre ellos mismos. (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España)

Nubes de Puntos No hay correlación Correlación positiva Sea un conjunto de pares de valores de las variables X e Y. Si los representamos en un diagrama de dispersión obtendremos una “nube de puntos” que nos dará una idea gráfica de la posible correlación entre ambas variables. No hay correlación Correlación positiva Correlación negativa Y Y Y X X X (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España)

Algunos tipos de correlaciones Modelo Lineal Correlación lineal positiva Correlación lineal negativa Potencial Logarítmica Otros tipos Potencial inversa Exponencial negativa Otros tipos Potencial Exponencial positiva Otros tipos (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España)

Ecuación Explícita de la Recta Modelos Lineales Ecuación Explícita de la Recta y y = a + bx Los valores de “y” se calculan multiplicando “x” por la pendiente, b, y sumándole la ordenada en el origen, a b a x a .- Ordenada en el orígen. Punto de corte con el eje de ordenadas o “eje y”. En este punto x está en el “origen” es decir x=0 b .- Pendiente. Grado de inclinación de la recta. Si es positiva, la recta es creciente. Si es negativa es decreciente. Es el cociente entre el incremento que se produce en la variable dependiente, Y, cuando se incrementa la variable independiente, X. (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España)

Ejemplos de Rectas Recta decreciente, ya que la pendiente es negativa La recta decrece una unidad de y por cada unidad de x, es decir b=-1 Cuando x=0, y=4. La ordenada en el origen, a, vale 4 Recta creciente, ya que la pendiente es positiva La recta crece dos unidades de y por cada unidad de x, es decir b=2 Cuando x=0, y=1. La ordenada en el origen, a, vale 1 (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España)

Recta de Regresión Mínimo-Cuadrática La recta de regresión es la que se obtiene a partir de la nube de puntos y es la que representa mejor la distribución de esos puntos como modelo lineal. Se suele emplear el método de los Mínimos Cuadrados, que consiste en encontrar aquella recta tal que la suma de los cuadrados de las distancias, di, de los puntos a la recta sea la mínima posible. d1 d2 d3 d4 d5 d6 d8 d9 d10 y Bajo esta condición se puede demostrar que la pendiente, b, y la ordenada en el origen, a, se determinan mediante: x (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España)

Ejemplo 1. Regresión Lineal (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España)

Covarianza Recordemos que... En una distribución bidimensional puede ocurrir que las dos variables guarden algún tipo de relación entre si. Por ejemplo, si se analiza la estatura y el peso de los alumnos de una clase es muy posible que exista relación entre ambas variables: mientras más alto sea el alumno, mayor será su peso. El coeficiente de correlación lineal mide el grado de intensidad de esta posible relación entre las variables. Este coeficiente se aplica cuando la relación que puede existir entre las varables es lineal (es decir, si representaramos en un gáfico los pares de valores de las dos variables la nube de puntos se aproximaría a una recta). No obstante, puede que exista una relación que no sea lineal, sino exponencial, parabólica, etc. En estos casos, el coeficiente de correlación lineal mediría mal la intensidad de la relación las variables, por lo que convendría utilizar otro tipo de coeficiente más apropiado. Para ver, por tanto, si se puede utilizar el coeficiente de correlación lineal, lo mejor es representar los pares de valores en un gráfico y ver que forma describen. El coeficiente de correlación lineal se calcula aplicando la siguiente fórmula: Es decir: Numerador: se denomina covarianza y se calcula de la siguiente manera: en cada par de valores (x,y) se multiplica la "x" menos su media, por la "y" menos su media. Se suma el resultado obtenido de todos los pares de valores y este resultado se divide por el tamaño de la muestra. Denominador se calcula el produto de las varianzas de "x" y de "y", y a este produto se le calcula la raíz cuadrada. Los valores que puede tomar el coeficiente de correlación "r" son: -1 < r < 1 Si "r" > 0, la correlación lineal es positiva (si sube el valor de una variable sube el de la otra). La correlación es tanto más fuerte cuanto más se aproxime a 1. Por ejemplo: altura y peso: los alumnos más altos suelen pesar más. Si "r" < 0, la correlación lineal es negativa (si sube el valor de una variable disminuye el de la otra). La correlación negativa es tanto más fuerte cuanto más se aproxime a -1. Por ejemplo: peso y velocidad: los alumnos más gordos suelen correr menos. Si "r" = 0, no existe correlación lineal entre las variables. Aunque podría existir otro tipo de correlación (parabólica, exponencial, etc.) De todos modos, aunque el valor de "r" fuera próximo a 1 o -1, tampoco esto quiere decir obligatoriamente que existe una relación de causa-efecto entre las dos variables, ya que este resultado podría haberse debido al puro azar. El coeficiente de correlación lineal mide el grado de intensidad de esta posible relación entre las variables. Este coeficiente se aplica cuando la relación que puede existir entre las varables es lineal (es decir, si representaramos en un gáfico los pares de valores de las dos variables la nube de puntos se aproximaría a una recta). Covarianza Recordemos que... Media aritmética: Suma de los valores que toma una variable dividida entre el número total, n, de valores sumados. Varianza: Es una medida de lo que se dispersan los valores de una muestra respecto de su media. Se determina con cualquiera de las formulas equivalentes siguientes: La varianza, V, es también el cuadrado de la desviación típica, S. Cuando se trata de una distribución bidimensional... Covarianza: Es una medida de lo que se dispersan los valores de una muestra bidimensional tanto del valor medio de la x como del valor medio de la y. Se determina mediante la expresión: (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España)

Coeficiente de Correlación de Pearson, r Bondad de los ajustes El coeficiente de correlación de Pearson, r, nos permite saber si el ajuste de la nube de puntos a la recta de regresión obtenida es satisfactorio. Se define como el cociente entre la covarianza y el producto de las desviaciones típicas (raiz cuadrada de las varianzas) Teniendo en cuenta el valor de la covarianza y las varianzas, se puede evaluar mediante cualquiera de las dos expresiones siguientes: (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España)

Grado de Correlación Correlación lineal positiva El coeficiente de correlación, r, presenta valores entre –1 y +1. Cuando r es próximo a 0, no hay correlación lineal entre las variables. La nube de puntos está muy dispersa o bien no forma una línea recta. No se puede trazar una recta de regresión. Cuando r es cercano a +1, hay una buena correlación positiva entre las variables según un modelo lineal y la recta de regresión que se determine tendrá pendiente positiva, será creciente. Cuando r es cercano a -1, hay una buena correlación negativa entre las variables según un modelo lineal y la recta de regresión que se determine tendrá pendiente negativa: es decreciente. Correlación lineal positiva Correlación lineal negativa No hay correlación Hay correlación no lineal (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España)

Coeficiente de Determinación, R2 Para estimar la bondad de un ajuste frecuentemente se prefiere utilizar el Coeficiente de Determinación, R2, que es el Coeficiente de Correlación elevado al cuadrado. Se determina mediante cualquiera de las dos expresiones siguientes: Su valor oscila entre 0 y +1. Cuando hay una buena correlación lineal, R2 es muy cercano a +1. Normalmente se acepta para valores de R2 >= 0’99. Cuando no hay correlación o bien ésta no es lineal, R2 es bajo e incluso cercano a cero (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España)

Ejemplo 2: Regresión lineal (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España)

Ejemplo 3: Citroën Saxo Correlación Potencia - Velocidad Conclusiones: Potencia y velocidad son dos variables correlacionadas según un modelo lineal, cuya ecuación es: El ajuste es excelente. La correlación es positiva, ya que la pendiente también lo es. Por cada CV de potencia, la velocidad máxima se incrementa en 0’75 Km/h Es posible predecir qué velocidad se podría alcanzar a partir de una potencia determinada o bien a la inversa, determinar qué potencia se necesita para alcanzar una velocidad. Estas predicciones se pueden realizar sin restricciones dentro del rango analizado (Interpolación). En cambio, fuera del rango sólo son posibles si no nos alejamos excesivamente de él (Extrapolación) 1.6i 16V VTS V = 0’75 P + 117 R2 = 0’9915 1.6i VTS 1,4i SX 1.1i SX 1.5D SX Furio (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España)

Interpolación y Extrapolación Ecuación: (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España) Modelo Citroën Saxo P (CV) V (Km/h) V (Km/h) calculada % Error 1.5D SX Furio 58 158 58x0’75+117 = 160 (160-158)/158*100 = 1’3% 1.1i SX 60 162 0% 1.4i SX 75 175 173 -1’1% 1.6i VTS 100 193 192 -0.5% 1.6i 16V VTS 120 205 207 1% “Nuevo Modelo Intermedio” 90 ------ 184 Este caso es una interpolación y como el ajuste es muy bueno, el resultado es correcto. “Nuevo Modelo muy Potente” 150 229 Resultado razonable. La extrapolación es también razonable. “Nuevo Modelo poco Potente” 10 124 ¿? Demasiada velocidad para tan poca potencia. Se ha hecho una extrapolación excesiva

Ejemplo 4: Relación Profesores/Alumnos en las Universidades Españolas Trazar la gráfica de la distribución Calcular parámetros de la distribución ¿ Cuál es la Universidad con mejor proporción profesor/alumno? ¿Qué Universidad tiene la peor ratio y cuántos profesores necesitaría para equilibrarla? Calcular los valores teóricos de profesores de la Universidad de Granada si ésta tenía 55123 alumnos en el curso 1994-95. Calcular los valores de la FBD si ésta tenía 1100 alumnos R2=0.998 b=0.0515 a=-17 (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España)

Ejemplo 4: Gráfica de distribución Relación Profesores/Alumnos en Universidades (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España)

Modelos No Lineales Modelo Potencial Exponencial Logarítmico Ecuación Antes de proceder a la regresión, hay que transformar la ecuación no lineal, y = f(x), en otra del tipo Y = A + BX, donde Y, X, A y B son funciones de y, x, a y b respectivamente. Modelo Potencial Exponencial Logarítmico Ecuación Ecuación Linealizada ---------- Gráfica Y Log y Ln y y X Log x x A Log a Ln a a B b Log y Log x Ln y x y Log x (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España)

Ejemplo 5: El Péndulo de Galileo Una de las principales aportaciones de Galileo Galilei (1564-1642), fue encontrar la relación entre el tiempo o periodo de oscilación de un péndulo y su longitud. Esto permitió construir por primera vez en la historia relojes de gran precisión basados en péndulos. Dicen que la idea de correlacionar estas variables se le ocurrió en la iglesia de su ciudad natal, Pisa, mientras, absorto, observaba cómo oscilaban las lámparas del techo... Estos datos podrían corresponder a un hipotético experimento realizado por Galileo... (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España)

Las deducciones de Galileo Para encontrar el modelo que relaciona periodo de oscilación, T, con la longitud del péndulo, L, Galileo bien pudo hacer las siguientes deducciones... No es lineal No es exponencial Tampoco es logarítmica Es potencial (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España)

Cálculos de la Regresión Potencial para el Péndulo de Galileo Como vamos a ajustar a un modelo potencial, hacemos el cambio de variables: X = log x e Y = log y. Por lo demás se procede exactamente igual a una regresión lineal, ajustando a una expresión del tipo Y = A + BX. Por último, de B y A calculados se despejan b y a respectivamente. (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España)

Ley del Péndulo Generalizando... Se deduce que... (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España) Ley del Péndulo Generalizando... Se deduce que... El periodo de oscilación de un péndulo es proporcional a la raíz cuadrada de su longitud

Ejemplo 6: Regresión Exponencial Ejemplo 6: Regresión Exponencial. Método del C14 para datación arqueológica A partir de los datos adjuntos en los que se dan valores de carbono 14 residual respecto del tiempo transcurrido, determina: Parámetros de la distribución de %C14-Tiempo, sabiendo que es exponencial negativa Cuánto C14 quedará en el hueso que llevo en la mano si ambos tenemos 12.000 años. Se observa que la nube de puntos se alinea cuando se toman logaritmos en la “y”. Por tanto, el modelo es exponencial, y como decrece, es exponencial negativo. Solución: (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España)

Cálculo de la Regresión Exponencial para el C14 Como se está ajustando un MODELO EXPONENCIAL hacemos el cambio de variable Y =LN(y), quedando x igual (X = x). En este caso A = Ln(a) y B = b. (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España)

LOS MODELOS EN BIBLIOMETRÍA La Bibliometría está fundamentada en un conjunto de “leyes empíricas”. Estas leyes se han establecido gracias a estudios cuantitativos en los que interviene el recuento de nº de artículos, nº de revistas, nº de autores, etcétera. Las distribuciones que correlacionan estas variables se ajustan mediante regresión lineal por el método de los mínimos cuadrados. Las principales leyes y el tipo de modelo al que corresponden son las siguientes: Ley Bibliométrica Ecuación Modelo Gráfico Ley de Price del crecimiento exponencial de la Ciencia Exponencial positivo Ley de Lotka de la productividad de los autores Potencial inverso Ley de Bradford de las revistas y su dispersión Logarítmico (En la zona periférica al núcleo) Ley de Zipf de la distribución de palabras en los textos Ley de Brookes del envejecimiento de la información Exponencial negativo (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España)