Tratabilidad y NP-Completitud

Antonio Fernández, GSyC Clases de problemas Muchos problemas se resuelven con algoritmos polinómicos (O(nk)): problemas tratables Hay problemas que no se pueden resolver: problema de la parada. Hay problemas que no se pueden resolver en tiempo polinónico ((nk)): problemas intratables Curso 2004-05 Antonio Fernández, GSyC

Antonio Fernández, GSyC Problema de la parada No existe ningún algoritmo que diga si un programa va a parar en tiempo finito con una entrada dada: Supongamos que hay una función H(P,I) que lo resuelve. Construimos D(P): If H(P,P) then loop forever else stop ¿Qué debe hacer D(D)? Curso 2004-05 Antonio Fernández, GSyC

Problemas NP-completos Hay una clase de problemas que no se sabe si son tratables: problemas NP-completos Nadie ha encontrado algoritmos polinómicos para ninguno de ellos. Algunos muy parecidos a problemas tratables: Ciclos eulerianos y hamiltonianos. Satisfabilidad de 2-FNC y 3-FNC Curso 2004-05 Antonio Fernández, GSyC

Antonio Fernández, GSyC Clases P, NP y NPC La clase P contiene todos los problemas tratables. La clase NP contiene todos los problemas que se pueden “verificar” en tiempo polinómico. Claramente PNP. La clase NPC contiene todos los problemas NP-completos Curso 2004-05 Antonio Fernández, GSyC

Antonio Fernández, GSyC Definicion NPC Un problema es NP-Completo si: Pertenece a NP. Es tan “duro” como cualquier otro problema en NP (es NP-duro). Un problema es NP-duro si el que haya un algoritmo polimómico para él implica que lo hay para todos los problemas en NP. Curso 2004-05 Antonio Fernández, GSyC

Antonio Fernández, GSyC P=NP? Observa que si hubiera un algoritmo polinómico para cualquier problema en NPC entonces P=NP. La hipótesis más aceptada es que P≠NP. En general, si os encontráis un problema NPC mejor buscáis alternativas (simplificaciones, aproximaciones, etc.). Curso 2004-05 Antonio Fernández, GSyC

Antonio Fernández, GSyC Demostraciones de NPC Se suelen usar problemas de decisión, cuya respuesta en SI o NO. Se demuestra que el problema están en NP. Se “reduce” un problema que se sabe está en NPC a este problema. Curso 2004-05 Antonio Fernández, GSyC

Antonio Fernández, GSyC Reducción polinómica Demuestra que un problema en NP-duro. Se parte de un problema p conocido en NPC. Se construye un algoritmo polinómico que transforma p en nuestro problema. Se concluye que si podemos resolver el nuestro en tiempo polinómico, p se resuelve en tiempo polinómico. Curso 2004-05 Antonio Fernández, GSyC

Antonio Fernández, GSyC Consejo Si te encuentras con un problema que no eres capaz de resolver de manera eficiente, sospecha que puede ser NP-duro. Intenta demostrar que lo es. Si lo es, busca alternativas, porque mucha gente inteligente ha intentado diseñar algoritmos eficientes y no lo ha logrado. Curso 2004-05 Antonio Fernández, GSyC