Trabajo y energía Unidad 15

Contenidos (1) 1.- El trabajo. Interpretación gráfica. Hacia la idea de integral. 2.- Trabajo de una fuerza variable: trabajo elástico. 3.- Energía y su degradación. 4.- Teorema de conservación de la energía. 5.- Trabajo y energía cinética.

Contenidos (2) 6.- Trabajo y energía potencial. 7.- Teorema de conservación de la energía mecánica. 8.- Choques. Pérdida de energía. 9. Potencia.

Trabajo (W).     W = F · r =|F|·|r| · cos  En el caso de que la fuerza sea constante  W es el producto escalar de la fuerza (F)  por el vector desplazamiento (r). Es por tanto un escalar (un número).     W = F · r =|F|·|r| · cos  siendo “” el ángulo que forman ambos vectores.   Si F y r tienen la misma dirección y sentido, entonces W = F ·r

Trabajo y unidades En el caso de que la fuerza se aplique en la dirección y sentido del desplazamiento, cos  = 1   De donde W = |F| ·|r|   En cambio, si F y r son perpendiculares cos  = 0 y el trabajo es nulo. La unidad de trabajo en el Sistema Internacional es: Julio (J) = N · m = kg · m2/s2

Ejemplo: Se tira de una vagoneta de 20 kg con una cuerda horizontal que forma un ángulo de 30º con la dirección de la vía, ejerciendo una fuerza F de 50 N a lo largo de una distancia de 50 m. La fuerza de rozamiento entre la vía y las ruedas es una décima parte del peso. Calcular el trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan sobre la vagoneta. W = F · x ·cos 30º = 50 N · 50 m · 0,866 = 2165 J WR = FR ·x ·cos 180º = 19,6 N ·50 m ·(–1) = –980 J WP = P · x ·cos 270º = 196 N · 50 m · (0) = 0 WN = N · x ·cos 90º = 196 N · 50 m · (0) = 0 Wtotal = 2165 J – 980 J = 1185 J

Significado gráfico del trabajo con fuerza constante F (N) Si representamos “F” en ordenadas y “x” en abscisas, podemos comprobar que “W” es el área del paralelogramo cuya base es “x” y cuya altura es la “F” constante. W F x x0 x x (m)

Definición integral del trabajo.  x En el caso de que la fuerza no sea constante (p.e. fuerzas elásticas), la definición del trabajo es más compleja. Habría que considerar el trabajo como una suma de mucho trabajos en los que se pudiera considerar que al ser el desplazamiento muy pequeño F sería constante.     W =  r0 F · r =  F · dr F x x0 El trabajo puede obte-nerse calculando el área comprendido entre la curva y el eje de abscisas, y las ordenadas que delimitan el desplazamiento.

Trabajo elástico Supongamos que el muelle actúa en la dirección del eje “x” con lo que habrá que realizar una fuerza igual y de sentido contrario a la fuerza elástica para estirar el muelle (– k · x) :   F = k · x   F depende, pues. de “x” y no es constante.     W =  F · dx =  k · x dx = ½ k · x2

Significado gráfico del trabajo elástico F (N) Si representamos “F” en ordenadas y “x” en abscisas, podemos comprobar que “W” es el área del triángulo cuya base es “x” y cuya altura es la “Fmáx”. W = ½ Fmáx· x x Fmáx W x x (m)

Potencia Se llama potencia al cociente entre la energía transferida y el tiempo empleado en el proceso. Si toda la energía transferida se transforma en trabajo:   W |F| ·| r|·cos    P = — = ———————— = |F|·|v|·cos  t t   P = F · v La unidad de potencia es el W (watio)= J/s

Rendimiento de una máquina. Normalmente, la potencia que tiene que desarrollar una máquina (o nosotros mismos) es mayor que el trabajo útil realizado, ya que parte de la misma se emplea en realizar trabajo de rozamiento. Se llama rendimiento () a: Wútil W Wútil = —— · 100  P = — = ——— · 100 W t  · t

Potencia efectiva. Si llamamos potencia efectiva a: Wútil Pefectiva = —— t Wútil Pefectiva P = ——— · 100  P = ——— · 100 t ·  

Ejemplo: Calcula la potencia que debe poseer un motor para llenar de agua una piscina de 100 m3 de capacidad en 5 horas, sacando agua de un pozo a 6 metros por debajo de la entrada a la piscina, si el rendimiento es del 80 %. m = V · d = 100 m3 ·1000 kg/m3 = 105 kg Wútil = F · e = m·g·h = 105 kg ·9,8 m/s2 . 6 m = = 5,88 ·106 J Wútil 5,88 ·106 J Pef = —— = ———————— = 326,7 W t 5 h · 3600 s/h Pef 326,7 W P = —— ·100 = ———— ·100 = 409 W  80

Energía Es la capacidad que tiene un cuerpo para realizar un trabajo (u otra transformación). A su vez, el trabajo es capaz de aumentar la energía de un sistema. Se considera W>0 aquel que aumente la energía del sistema. Se considera W<0 aquel que disminuye la energía del sistema.

Tipos de energía Mecánica: Térmica. Eléctrica. Nuclear. Química. Cinética. Potencial. Térmica. Eléctrica. Nuclear. Química. Luminosa. ...

Trabajo y energía cinética. Imaginemos que tiramos de una caja con una fuerza F constante que forma una ángulo “” con el suelo. Como consecuencia de la misma la caja experimenta una aceleración. F Fx Fy Fr P    F = m · a Fx – Fr = m · ax N + Fy – P = 0; ay =0

Trabajo y energía cinética (cont). Como el desplazamiento sucede en el eje x   W =  F · x = (Fx – Fr )·(x – x0) = m·a·(x – x0) Aplicando las ecuaciones x=f(t) y v= f(t) en el MRUA: x –x0 = (v0 +½ a ·t) ·t ; a = (v – v0) / t (v – v0) (v – v0) W = m · ———— · v0 + ———— ·t ·t = t 2 t W = m · (v – v0) · [v0 +½ (v – v0)] = ½ m · (v – v0) · (v + v0) = ½ m v2 –½ m v02

Trabajo y energía cinética (cont). A la expresión ½ m v2 la llamaremos “energía cinética” (Ec), con lo que el trabajo realizado se ha invertido en aumentar energía cinética del sistema. W = ½ m v2 – ½ m v02 = Ec– Eco = Ec que también se conoce como “Teorema de las fuerzas vivas”

Ejemplo: Un jugador de hockey lanza el tejo de 200 g con una velocidad de 10 m/s. Si después de recorrer 25 m la velocidad disminuye un 10 %, calcular: a) el trabajo de rozamiento; b) el coeficiente de rozamiento; c) el tiempo que tarda en detenerse; d) el espacio que recorre hasta pararse. a) WR = EC = ½ m v2 – ½ m v02 = ½ · 0,2 kg · (9 m/s)2 – ½ · 0,2 kg · (10 m/s)2 = 8,1 J – 10 J = –1,9 J b) WR = – FR · x = – d · N · x –1,9 J d = ———————— = 0,039 –1,96 N · 25 m c) FR = –d ·m · g = m · a  a = – d · g = = – 0,039 ·9,8 m/s2 = – 0,38 m/s2

Ejemplo: Un jugador de hockey lanza el tejo de 200 g con una velocidad de 10 m/s. Si después de recorrer 25 m la velocidad disminuye un 10 %, calcular: a) el trabajo de rozamiento; b) el coeficiente de rozamiento; c) el tiempo que tarda en detenerse; d) el espacio que recorre hasta pararse. c) a = – 0,38 m/s2 v 0 – 10 m/s t = —— = —————— = 26,3 s a – 0,38 m/s2 d) e = v0 · t + ½ a · t2 = = 10 m/s · 26,3 s – ½ 0,38 m/s2 · (26,3 s)2 e = 131,6 m

Trabajo y energía potencial gravitatoria. El trabajo producido por algunos tipos de fuerza se emplea en variar otro tipo de energía llamada “energía potencial gravitatoria” o simplemente “energía potencial” . Si subimos una caja al piso de arriba aplicamos una fuerza igual en módulo al peso de la misma. Como  F= 0 no se produce aceleración pero al realizar un trabajo se ha aumentado la energía del sistema.

Trabajo y energía potencial (cont).   W=|F|·|y| · cos 0º = m· g ·(h – h0) A la expresión “m g h” se llama “energía potencial” (Ep). W = m · g · h – m · g · h0 = Ep– Ep0 = Ep Al soltar la caja la energía acumulada en forma de energía potencial se transforma en cinética.

Ejemplo: Tenemos un cuerpo en lo alto de un plano inclinado Ejemplo: Tenemos un cuerpo en lo alto de un plano inclinado. Comprueba que el trabajo que realiza el peso es el mismo cuando el cuerpo cae verticalmente que cuando cae deslizándose sin rozamiento a lo largo del plano inclinado.   WPa = |P|·|y| · cos 0º = m·g ·h   WPb = |P|· |l| ·cos (90º – ) Como: h cos (90º – ) = — l WPb = m ·g ·h con lo que: WPa = WPb 90º -  l h 

Energía potencial elástica (Epe) El trabajo realizado al estirar un muelle (½ k · x2) se almacena en forma de energía potencial elástica cuyo valor es precisamente: Epe = ½ k · x2 siendo “x” lo que se ha estirado el muelle.

Ejemplo: Colocamos un muelle cuya constante vale 49 N/m horizontalmente y lo comprimimos 5 cm. Si apoyamos una esfera de 25 g y soltamos, calcular la velocidad con que será lanzada suponiendo que toda su energía potencial elástica se transforma en energía cinética. Epe = ½ k ·x2 = ½ (49 N/m)·(0,05 m)2 = 0,061 J Como la Epe se transforma en EC: EC = ½ m·v2 = 0,061 J Despejando “v”:

Trabajo de rozamiento. Energía perdida. ¿Qué ocurre si arrastramos un objeto por una superficie con velocidad constante?    Si v= cte  a = 0   F = 0 de donde se deduce que la fuerza aplicada es igual a la de rozamiento pero de sentido opuesto. WR = – d · m · g · cos  · r La Eperdida = |WR|

Energía mecánica. Principio de conservación. Se llama “energía mecánica” (EM) a la suma de las energía cinética y potencial. EM = Ec + Ep = ½ m v2 + m g h Principio de conservación de la energía mecánica: “Si no se aplica ninguna fuerza exterior y no hay rozamiento la energía mecánica se conserva”. Lógicamente, si hay rozamiento: EMfinal = EM0– Eperdida

Demostración del principio de conservación de la EM. Dejemos caer un objeto desde una altura “h0”. La única fuerza existente es el peso. Inicialmente, v0 = 0  Ec0 = 0 altura = h0  Ep0 = m g h0 EM0 = Ec0 + Ep0 = m g h0 Al cabo de un tiempo “t” el objeto habrá caído con MRUA y se encontrará a una altura “h” y llevará una velocidad “v”: h = h0 – ½ g t2 ; v = – g t

Demostración del principio de conservación de la EM. (cont). h = h0 – ½ g t2 ; v = – g t EM = Ec+Ep = ½ m v2 + m g h = ½ m (– g t)2 + m g (h0 – ½ g t2) = ½ m g2 t2 + m g h0 – ½ mg2 t2 = m g h0 Es decir, la energía mecánica no ha variado, pues la Ec ha aumentado lo mismo que ha disminuido Ep

Ejemplo: Lanzamos verticalmente una pelota con una velocidad de 10 m/s Ejemplo: Lanzamos verticalmente una pelota con una velocidad de 10 m/s. Demostrar cuál será la altura máxima usando el principio de conservación de la energía mecánica. Ec = ½ m v2 = ½ m·(10 m/s)2 = 50 m m2/s2 Como la energía cinética se transformará en potencial Ep = m g h = 50 m m2/s2 Eliminando la masa “m” en ambos miembros y despejando “h” 50 m2/s2 h = ———— = 5,1 m 9,8 m/s2

Ejercicio: Lanzamos una pelota con una velocidad de 10 m/s con un ángulo de 30º con respecto a la horizontal. Demostrar cuál será la altura máxima usando el principio de conservación de la energía mecánica. Ec0 = ½ m v02 = ½ m·(10 m/s)2 = 50 m m2/s2 En el punto más alto sólo existirá “vx = v0·cos 30 º” – Ec1 = ½ m v12 = ½ m·[(3/2)·10 m/s)]2 Ec1 = 37,5 m m2/s2. Igualmente; Ep1 = m ·g ·h Igualando EM0 = EM1: 50 m m2/s2 = 37,5 m m2/s2 + m ·g ·h Eliminando la masa “m” en ambos miembros y despejando “h” h = 1,28 m

Choques Elásticos: La energía se conserva, es decir, no se pierde energía. No elásticos: La energía no se conserva, es decir, se pierde energía. Sin embargo, sí se conserva la cantidad de movimiento. Inelásticos: Es un caso particular en el que ambos cuerpos quedan unidos y por tanto salen a la misma velocidad.

Ejemplo: Se lanza un chicle de 20 g contra un bloque de madera de 1 kg que cuelga del techo por una cuerda. Después del impacto el chicle queda adherido al bloque y éste se pone a oscilar elevándose 1 cm por encima de su posición de equilibrio. Calcula la velocidad del chicle en el momento del impacto. ¿Qué % de energía mecánica se pierde tras el impacto? a) 20 g · vch · i + 0 = 1020 g · vm-ch · i Por otro lado, aplicando el principio de conservación de la energía (después del choque). b) ½ 1020 g · vm-ch2 = 1020 g · 9,8 m/s2 · 0,01 m De donde se obtiene que: vm-ch = (2 ·9,8 m/s2 · 0,01 m)½ = 0,44 m/s Sustituyendo en a): vch = 22,6 m/s

Ejemplo: Se lanza un chicle de 20 g contra un bloque de madera de 1 kg que cuelga del techo por una cuerda. Después del impacto el chicle queda adherido al bloque y éste se pone a oscilar elevándose 1 cm por encima de su posición de equilibrio. Calcula la velocidad del chicle en el momento del impacto. ¿Qué % de energía mecánica se pierde tras el impacto? EM0 = Ec0 = ½ 0,020 kg ·(22,6 m/s)2 + 0 = 5,11 J EM1 = Ec1 = ½ 1,020 kg ·(0,44 m/s)2 = 0,099 J 5,11 J – 0,099 J % EM perdido = ———————— · 100 = 98,1 % 5,11 J