Tema V Sistemas no Lineales de Ecuaciones Diferenciales - Estabilidad de Sistemas de EDO Ecuaciones Diferenciales

Encontrar información cualitativa acerca de las soluciones Problemática Problema Difícil o aún imposible resolver una E.D. en especial si es “no lineal” Que hacer? Encontrar información cualitativa acerca de las soluciones Ecuaciones Diferenciales

Retrato de Fase Puntos Críticos y Retrato de Fase Fluido circulando a lo largo de la línea real, con velocidad local: (1) EDO Autónoma Retrato de Fase Trayectorias Ecuaciones Diferenciales

Puntos Críticos y Estabilidad Fluido Circulando a lo largo de la línea real, con velocidad local: Los valores de x que anulan la EDO se denominan Puntos Críticos Puntos Críticos Puntos Críticos representan Equilibrio Si luego es solución de la EDO original (1) A esta solución se la denomina Solución de Equilibrio Un punto crítico es estable si para pequeñas perturbaciones alrededor de él la solución permanece cerca del punto para todo Ecuaciones Diferenciales

Ejemplo Consideremos una ecuación diferencial para un modelo poblacional: (2) Con  y  constantes reales Tomemos: y Ecuaciones Diferenciales

Ejemplo La Solución de la E.D. (2) Un punto crítico de una ecuación diferencial autónoma se dice estable si partiendo de un punto x0 cercano a x*, la solución x(t) permanece cercana x*, para todo t > 0. Ecuaciones Diferenciales

Estabilidad en un Sistema EDO Estudiaremos el sistema: (3) F(x,y) y G(x,y) son clase C 1 en alguna región R del plano xy. Esta Región se denomina Plano de Fase Además, como la variable t no aparece explícitamente en las funciones F(x,y) y G(x,y), el sistema se dice que es autónomo. Del teorema de existencia y unicidad se sigue que si t0 es cualquier número y (x0 , y0) es cualquier punto del plano de las fases, existe una única solución del sistema de EDO (3): Ecuaciones Diferenciales

Solución de Equilibrio Las funciones: e son las trayectorias. Describen una curva solución. Punto Crítico: es un punto crítico si: , satisfacen (3) Una solución tal de valor constante se denomina: Solución de Equilibrio En lo que sigue supondremos que todo punto crítico es aislado, en el sentido que existe un entorno centrado en (x0,y0) que no contiene ningún otro punto crítico. Ecuaciones Diferenciales

Si (x0,y0) no es un punto crítico: Trayectorias y Plano de Fase Si (x0,y0) no es un punto crítico: Trayectoria: curva en el plano xy (x(t) , y(t)) se moverá por esa curva a medida que t aumente Trayectorias: curvas no degeneradas, no se intersectan a si mismas Plano de fase: muestra cualitativamente el comportamiento de las soluciones El comportamiento cerca de los puntos críticos es de especial interés Ecuaciones Diferenciales

Ejemplo Consideremos el sistema autónomo: con k constante Punto crítico: (0,0) Si Ecuaciones Diferenciales

Nodos Nodo propio Nodo impropio Ecuaciones Diferenciales

x=x(t), y=y(t) permanece cerca de (x*,y*) Estabilidad Si (x0,y0) está suficientemente cercano a (x*,y*) x=x(t), y=y(t) permanece cerca de (x*,y*) Entonces (x*,y*) es un punto crítico estable Ecuaciones Diferenciales

centro estable Centros Estables Consideremos una masa que oscila sin amortiguamiento: Si introducimos: Punto crítico: (0,0) Trayectorias: centro estable Ecuaciones Diferenciales

Estabilidad Asintótica Si además de ser estable cada trayectoria que comienza suficientemente cercana a (x*,y*) , se aproxima a él cuando , el punto crítico se llama asintóticamente estable Hacer Ej. 1 y 2 Ecuaciones Diferenciales

Puntos Críticos y Estabilidad de Sistemas Lineales Sistema EDO lineal de 1° orden Det. de la matriz de coeficientes, A (1) (0,0) es el único punto crítico solución no trivial del sistema  son los valores propios de la matriz de coeficientes A de (1), los que se calculan a partir de: det (A -  I ) = 0 (2) Ecuaciones Diferenciales

Puntos Críticos y Estabilidad de Sistemas Lineales Sean y las raíces de (2) . Distinguiremos 5 casos: Casos Principales Si: y reales y distintos Si: y complejos conjugados (parte real distinta de cero) Casos Frontera Si: y reales e iguales Si: y imaginarias puras Ecuaciones Diferenciales

1 < 2 < 0 Si , entonces y reales y distintos (igual signo) Solución de (1) 1 < 2 < 0 Si , entonces Cuando t→, la solución tiende al origen con la dirección del vector propio Si , entonces Cuando t→, la solución tiende al origen con la dirección del vector propio Si , entonces (3) Ecuaciones Diferenciales

Sacando factor común de la ecuación anterior, obtenemos y reales y distintos (igual signo) Sacando factor común de la ecuación anterior, obtenemos Considerando que 1 - 2 < 0 cuando t→  : y la solución tiende al origen con esta dirección. Ahora sacando factor común de la ec. (3), obtenemos Considerando que 2 - 1 > 0, entonces cuando t→ - : y la solución tiende al infinito con esta dirección. Ecuaciones Diferenciales

es decir, las trayectorias se alejan del punto crítico cuando t→  . reales y distintos (igual signo) Esto es, las curvas convergen al punto crítico (0,0) con una dirección paralela a una de las asíntotas, , cuando t→  y se hace paralela a la otra cuando t→ -. Como las soluciones se acercan al punto crítico, cuando t→  , decimos entonces que el punto crítico es un nodo impropio asintóticamente estable (Figura 1). Figura 1 Nodo impropio b) 0 < 1 < 2 El tratamiento matemático es similar al anterior pero el punto crítico es inestable, es decir, las trayectorias se alejan del punto crítico cuando t→  . Ecuaciones Diferenciales

Considerando 1 < 0 y 2 > 0 reales y distintas (distinto signo) Considerando 1 < 0 y 2 > 0 Valen las mismas deducciones que para el caso anterior. El punto crítico (0,0) es inestable, cuando t→ , las soluciones se alejan del punto crítico. (Figura 2) Un punto crítico con estas características se denomi-na punto silla y es siempre inestable. Ecuaciones Diferenciales

En este caso los valores propios son 1,2 =    i, con   0. y complejos conjugados y complejos conjugados En este caso los valores propios son 1,2 =    i, con   0. La expresión de la solución ya fue tratada en el capítulo anterior. Tomando 1 =  +  i Si A2 = B1 = 0, La solución es: c1 c2   Ecuaciones Diferenciales

La cual puede reescribirse como: y complejos conjugados Reemplazando: La cual puede reescribirse como: Las ecuaciones corresponden a trayectorias que giran en forma de espirales (por ser   0). Queda por determinar el sentido de giro de estas trayectorias y la estabilidad del punto crítico. Para determinar el sentido de giro debemos hacer cambio de coordenadas: x y r  t Ecuaciones Diferenciales

y complejos conjugados Luego de un desarrollo que pueden ver en el apunte, llegamos a la siguiente conclusión: Ecuaciones Diferenciales

es un valor propio múltiple completo. Luego despejando y reales e iguales y reales e iguales Figura 4: nodo propio es un valor propio múltiple completo. Luego despejando Las trayectorias son semirrectas Si  < 0 es asintóticamente estable. Si  > 0 es inestable (Fig. 4). Ecuaciones Diferenciales

y reales e iguales = a es un valor propio múltiple defectuoso. Ya vimos que la expresión de la solución es: (*) Supongamos  < 0. Si c2 = 0: , las trayectorias son semirrectas. Cuando t→, de (*), (x,y) → (0,0) con pendiente Si c2  0 Las soluciones son curvas y como  < 0, las trayectorias tienden a (0,0) cuando t→. Esto es: Ecuaciones Diferenciales

(lo mismo para el denominador) y reales e iguales y cuando t→, (lo mismo para el denominador) Figura 5. Nodo impropio Entonces, la trayectoria tiende al origen en la dirección . Cuando t→-, haciendo el mismo análisis, la trayectoria (y la solución) tiende a infinito en la dirección . Ecuaciones Diferenciales

En este caso los valores propios son 1,2 =    i, con  = 0. y imaginarios puros y imaginarios puros En este caso los valores propios son 1,2 =    i, con  = 0. Siguiendo el procedimiento visto para valores propios complejos conjugados, pero teniendo en cuenta que  = 0, se llega a: Figura 6. Centro Se cumple , entonces las trayectorias son elipses (figura 6). A los fines de analizar el sentido, vale lo visto para el caso C, con  = 0. Ecuaciones Diferenciales

Estabilidad y trayectorias para puntos críticos de sistemas de EDO de primer orden lineales Sistema EDOL Autónomo: p2-4q=0 q=detA Inestable Asintóticamente Estable Espirales p=-trA Estable Puntos Silla Nodos Impropios Nodos límite (Propios) Centros Resolver Ej. 3 Ecuaciones Diferenciales

Puntos Críticos Simples de Sistemas no Lineales Taylor (0,0) punto crítico Si x e y son pequeños, es decir cuando (x,y) está muy cerca del origen f(x,y) y g(x,y) son perturbaciones Cerca de (0,0) el comportamiento del sistema lineal será similar al no lineal f(x,y) y g(x,y) son continuas y tienen derivadas continuas Punto Crítico Simple Ecuaciones Diferenciales

Puntos Críticos y Estabilidad de Sistemas Lineales Si (0,0) es un punto crítico simple de un sist. no lineal (cuasi lineal) y consideramos el sist. lineal asociado, se presentan los siguientes casos: Casos Principales Lineal Asociado No Lineal Nodo impropio Idem Punto silla Espirales Casos Frontera Lineal Asociado No Lineal Nodo Nodo o Espiral Centro Espiral o Centro Ecuaciones Diferenciales

Punto Silla Sistema No Lineal Puntos Críticos y Estabilidad de Sistemas Lineales Si bien el punto crítico es de la misma especie, las trayectorias pueden ser diferentes. Punto Silla Sistema No Lineal Si (0,0) es un punto crítico simple de un sist. lineal asociado, asintóticamente estable, entonces el punto crítico del sistema no lineal (cuasi lineal) es también asintóticamente estable. Lo mismo vale para la inestabilidad. Resolver Ej. 4 Ecuaciones Diferenciales

Puntos Críticos y Estabilidad de Sistemas Lineales Que hacer cuando un punto crítico es distinto del (0,0) ? . Ecuaciones Diferenciales

Péndulo Simple Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones para el Péndulo Ecuaciones Diferenciales

Transformación a un sistema EDO Ecuaciones Diferenciales

Puntos Críticos SISTEMA AUTÓNOMO SOLUCIÓN PUNTOS DE EQUILIBRIO O PUNTOS CRÍTICOS Ecuaciones Diferenciales

Puntos Críticos Ecuaciones Diferenciales

Péndulo sin amortiguamiento Péndulo sin amortiguamiento - Trayectorias Ecuaciones Diferenciales

Péndulo sin amortiguamiento Péndulo sin amortiguamiento - soluciones Ecuaciones Diferenciales

Péndulo con amortiguamiento Péndulo con amortiguamiento – Trayectorias Ecuaciones Diferenciales

Péndulo sin amortiguamiento Péndulo con amortiguamiento – Soluciones Ecuaciones Diferenciales