ESTADÍSTICA APLICADA INGENIERIA INDUSTRIAL M.Sc. Ricardo Antonio Armas Juárez 2021 - II

TEMARIO Tema 1. Experimentos Aleatorios Tema 2. Espacio Muestral Tema 3 Eventos Tema 4 Definición de Probabilidades Tema 5 Probabilidad de la suma condicional

+ + ¿Quién es tu docente a cargo del curso? M.Sc. Ricardo Antonio Armas Juárez. + Ingeniero Estadístico

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OBJETIVOS DE LA SESIÓN Al finalizar la sesión 1, el estudiante conoce los conceptos de Experimentos Aleatorios, Espacio Muestral, Eventos, Definición de probabilidades y Probabilidad de la suma condicional del Curso de Estadística Aplicada

PAUTAS DE TRABAJO + Se deberán conectar a la clase a través del ZOOM en el horario asignado. + Durante la semana estará habilitado un foro de consultas a través de la plataforma BLACKBOARD donde podrás registrar tus dudas.

VIDEO MOTIVACIONAL: https://www.youtube.com/watch?v=WeeEE8o1aqM

Participa en el chat o levantando la mano del ZOOM PREGUNTAS: N° 1 Pregunta 1 ¿Qué observas en el video? N° 2 Pregunta 2 ¿Cuál sería la definición de Probabilidad? N° 3 Pregunta 3 ¿Cuál sería la definición de evento? Participa en el chat o levantando la mano del ZOOM

EXPERIMENTOS ALEATORIOS Un experimento aleatorio es un proceso que genera resultados definidos pero sujetos a la incertidumbre.

EXPERIMENTOS ALEATORIOS EXPERIMENTO RESULTADO EXPERIMENTAL Lanzar un dado 1,2,3,4,5,6 Lanzar una moneda Cara, sello Realizar una llamada de ventas Hay compra, no hay compra Tomar una pieza para inspeccionarla Con defecto, sin defecto Jugar un partido de futbol Ganar, perder, empatar

ESPACIO MUESTRAL Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento y se denota por S. Ejemplo 1 S = { 1, 2, 3 } 1 2 3

ESPACIO MUESTRAL Ejemplo 2 Se examina un fusible para ver si está defectuoso, cuál es el espacio muestral? Solución. El espacio muestral de este experimento se abrevia como S = {N, D} donde, N = no defectuoso D = defectuoso y las llaves se utilizan para encerrar los elementos de un conjunto.

EVENTO Un evento es un subconjunto de un espacio muestral (S) Ejemplo 1. Dado el espacio muestral S = { t \ t > 0 donde, t = vida en años de cierto componente electrónico, ¿Cuál es el evento A de que el componente falle antes de que finalice el quinto año. Solución. A = { t \ 0 < t < 5 }

EVENTO Ejemplo 2. A = { Obtener un número par al momento de lanzar un dado } Solución. A = { 2, 4, 6 } Ejemplo 3. Cuando se observa el número de bombas en uso en cada una de dos gasolinerías de 6 bombas cada una. Solución. E1 = { ( 0, 0 ) } E2 = { ( 0, 1 ) } E49 = { ( 6, 6 ) }

EVENTO Ejemplo 4. El evento en que el número de bombas en uso es el mismo en ambas gasolinerías Solución. A = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} Ejemplo 5. El evento en que a lo sumo una bomba está en uso en cada gasolinería. Solución. C = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}

EVENTO NULO Un evento Nulo es aquel que no contiene ningún elemento y se denomina conjunto vacío, se denota con el símbolo Ø Ejemplo. Si en un experimento biológico permitimos que A sea el evento de detectar un organismo microscópico a simple vista, entonces, A = Ø

COMPLEMENTO DE UN EVENTO El complemento de un evento A respecto de S es el subconjunto de todos los elementos de S que no están en A. Denotamos el complemento de A mediante el símbolo A’ o A ͨ. Ejemplo. Sea R el evento de que se seleccione una carta roja de una baraja ordinaria de 52 cartas y sea S toda la baraja. Entonces R’ es el evento de que la carta seleccionada de la baraja no sea una roja sino una negra.

INTERSECCIÓN DE DOS EVENTOS La intersección de dos eventos A y B que se denota con el símbolo A Ո B, es el evento que contiene todos los elementos que son comunes a A y a B. E Ejemplo. Sea E el evento de que una persona seleccionada al azar en un salón de clases sea estudiante de ingeniería y sea F el evento de que la persona sea mujer. Entonces E Ո F es el evento de todas las estudiantes mujeres de ingeniería en el salón de clases. F

INTERSECCIÓN DE DOS EVENTOS Ejemplo. Sea A = { 2, 4, 6 } y B = { 4, 5, 6 } ¿ Cuál es la intersección de A y B ? Solución. A Ո B = { 4, 6 } A B 4 2 6 5

EVENTOS EXCLUYENTES Dos eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos si A Ո B = Ø; es decir, si A y B no tienen elementos en común. Ejemplo. Sea V = { a, e, i , o, u } y C = { l, r, s, t } Entonces se deduce que V Ո C = Ø Es decir V y C no tienen elementos comunes

UNION DE EVENTOS La unión de dos eventos A y B, que se denota con el símbolo A U B, es el evento que contiene todos los elementos que pertenecen a A o a B, o a ambos. Ejemplo. Sea A = { 2, 4, 6 } y B = { 4, 5, 6 } ¿ Cuál es la unión de A y B ? Solución. A U B = { 2, 4, 5, 6 }

UNION DE EVENTOS Ejemplo. Sea P el evento de que un empleado de una empresa petrolera seleccionado al azar fume cigarrillos. Sea Q el evento de que el empleado seleccionado ingiera bebidas alcohólicas. Entonces el evento P U Q es el conjunto de todos los empleados que beben o fuman, o que hacen ambas cosas. P Q

DIAGRAMAS DE VENN La relación entre eventos y el correspondiente espacio muestral se puede ilustrar en forma gráfica utilizando Diagramas de Venn, donde representamos el espacio muestral como un rectángulo y los eventos con círculos trazados dentro del rectángulo.

DIAGRAMAS DE VENN Ejemplo. En el experimento en el cual se observa el número de bombas en uso en una sola gasolinería de ocho bombas, sea A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6} y C = {1, 3, 5, 8}. La bomba 7 estaba en desuso.. A Ո B Ո C = { 3 } A Ո B = { 3, 4 } A Ո C = { 1, 3 } B Ո C = { 3, 5 } A U C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 8 } A’ = { 5, 6, 7, 8 } (A Ո C)’ = { 0,2,4,5,6, 7, 8 } El espacio muestral S = { 0,1,2,3,4,5,6,7, 8 }

DEFINICIÓN DE PROBABILIDADES Es una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento. Se refiere al estudio de azar y la incertidumbre en cualquier situación en la cual varios posibles sucesos pueden ocurrir.

TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD La Probabilidad de un Evento A :

PROBABILIDAD DE UN EVENTO Los valores de la probabilidad de un evento se encuentran en una escala de 0 a 1. P(x) = 1 Evento Cierto P(x) = 0 Evento Incierto Ejemplos: P(salga mañana el sol) = 1 P(aprobar sin estudiar) = 0 P(lanzar un dado para que salga 2) = 1 6 P(escoger una figura J de un mazo de naipes) = 4 52

PROBABILIDAD DE UN EVENTO Ejemplo. Una funda de caramelos surtidos contiene 6 mentas, 4 masticables y 3 bombones. Si una persona selecciona uno al azar. ¿Qué probabilidad tiene de sacar a) menta, b) masticable o bombón? Solución. De los 13 dulces, 6 son mentas P(M) = 6 13 = 0.4615  46% De los 13 dulces, 7 son masticables y bombones P(M) = 7 13 = 0.5384  54% Hay una probabilidad que seleccione mentas del 46% y masticables con bombones un 54 %

= REGLAS ADITIVAS Si A y B son dos eventos, entonces P (AՍB) = P(A) + P(B) - P( A Ո B ) A B A Ո B =

REGLAS ADITIVAS Si A y B son dos eventos excluyentes, entonces P (AՍB) = P(A) + P(B) A B

REGLAS ADITIVAS Para tres eventos A, B y C P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A Ո B) - P(A Ո C) - P(B Ո C) + P(A Ո B Ո C)

REGLAS ADITIVAS Demostración: P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A Ո B) - P(A Ո C) - P(B Ո C) + P(A Ո B Ո C) P(A) = {0,1,2,3,4} P(B) = {3,4,5,6} P(C) = {1,3,5,8} P(A Ո B) ={3,4} P(A Ո C) ={1,3} P(B Ո C) ={3,5} P(A Ո B Ո C) = {3} P(A) + P(B) + P(C) = { 0,1,2,3,4,3,4,5,6,1,3,5,8 } P(A U B U C) = { 0,1,2,3,4,3,4,5,6,1,3,5,8,3 } P(A U B U C) = { 0,2,4,6,1,5,8,3 } P(A U B U C) = { 0,1,2,3,4,5,6,8 }

REGLAS ADITIVAS Si A y A’ son eventos complementarios, entonces P(A) + P(A’) = 1 Demostramos: 1 = P(S) = P(A U A’) = P(A) + P(A’)

REGLAS ADITIVAS Ejemplo 1. En una ciudad residencial, 60% de las familias se suscriben a una revista Metropolitana, el 80% lo hacen a una revista Local y 50% de todas las familias a ambas revistas. Si se elige una familia al azar, ¿cuál es la probabilidad de que se suscriba a por lo menos a una de las dos revistas? Solución. Sea A = {se suscribe a la revista metropolitana} y B = {se suscribe a la revista local}, (A y B) se suscribe a ambas revistas. La probabilidad de que se suscriba a por lo menos a una de las dos revistas es P(A U B) ? 0.1 0.3 P(A) = 60/100= 0.60 P(B) = 80/100 = 0.80 P(A Ո B) = 50/100 = 0.50 P(A U B) = 0.6 + 0.8 – 0.5 = 0.90 En la figura: P(A U B) = 0.1 + 0.5 + 0.3 = 0.90 A B 0.5

REGLAS ADITIVAS Ejemplo 2 mismo enunciado otra pregunta. En una ciudad residencial, 60% de las familias se suscriben a una revista Metropolitana, el 80% lo hacen a una revista Local y 50% de todas las familias a ambas revistas. Si se elige una familia al azar, ¿cuál es la probabilidad de que se suscriba exactamente a una de las dos revistas? Solución. Exactamente significa que solo se dé el evento A o el evento B 0.1 0.3 P(exactamente uno) = 0.1 + 0.3 = 0.4 A B 0.5

REGLAS ADITIVAS Ejemplo 3. En la siguiente figura calcular P(A U B U C) ? P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A Ո B) - P(A Ո C) - P(B Ո C) + P(A Ո B Ո C) P(A) = {0,1,2,3,4} P(B) = {3,4,5,6} P(C) = {1,3,5,8} P(A Ո B) ={3,4} P(A Ո C) ={1,3} P(B Ո C) ={3,5} P(A Ո B Ո C) = {3} P(A) + P(B) + P(C) = { 0,1,2,3,4,3,4,5,6,1,3,5,8 } P(A U B U C) = { 0,1,2,3,4,3,4,5,6,1,3,5,8,3 } P(A U B U C) = { 0,2,4,6,1,5,8,3 } P(A U B U C) = { 0,1,2,3,4,5,6,8 }

PROBABILIDAD CONDICIONAL La probabilidad condicional de B, dado A se denota con P(B\A), se define como P(B\A)= P(A Ո B) P(A) Siempre que P(A) > 0 P(AՈB) y P(A) se calculan a partir del espacio muestral original S Dos eventos A y B son independientes si y solo si P(B\A) = P(B) O P(A\B) = P(A)

PROBABILIDAD CONDICIONAL Ejemplo. Se realizó una encuesta sobre empleos como muestra la tabla. ¿Cuál es la probabilidad P(M/E), si M: se elige a un hombre, E: el elegido tiene empleo. P(B\A)= P(A Ո B) P(A) Empleado Desempleado Total Hombre 460 40 500 Mujer 140 260 400 600 300 900 P(E) = 600 / 900 = 2/3 P(EՈM) = 460 / 900 = 23/45 P(M\E) = 23/45 2/3 = 23/30

LA REGLA DEL PRODUCTO O REGLA MULTIPLICATIVA Si en un experimento pueden ocurrir los eventos A y B, entonces P(A Ո B)= P(A) P(B\A) Siempre que P(A) > 0 La probabilidad de que ocurran A y B es igual a la probabilidad de que ocurra A multiplicada por la probabilidad condicional de que ocurra B, dado que ocurre A. Como los eventos A Ո B = B Ո A = P(B) P(A\B) Dos eventos A y B son independientes si y solo si P(A Ո B)= P(A) P(B)

LA REGLA DEL PRODUCTO O REGLA MULTIPLICATIVA Ejemplo. Suponga que tenemos una caja de fusibles que contiene 20 unidades , de las cuales 5 están defectuosas. Si se seleccionan 2 fusibles al azar y se retiran de la caja, uno después del otro, sin reemplazar el primero, ¿Cuál es la probabilidad de que ambos fusibles estén defectuosos? Solución. P(A Ո B)= P(A) P(B\A) 1 4 P(A Ո B)= ( ) ( ) = 4 19 1 19

Participa en el chat o levantando la mano del ZOOM CONCLUSIONES Un experimento aleatorio es un proceso que genera resultados definidos pero sujetos a la incertidumbre. El Espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento y se denota por S. Un evento es un subconjunto de un espacio muestral (S) Participa en el chat o levantando la mano del ZOOM

Participa en el chat o levantando la mano del ZOOM CONCLUSIONES Diagramas de Venn: Participa en el chat o levantando la mano del ZOOM

Participa en el chat o levantando la mano del ZOOM CONCLUSIONES TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD: Participa en el chat o levantando la mano del ZOOM

Participa en el chat o levantando la mano del ZOOM CONCLUSIONES TEOREMAS DE REGLAS ADITIVAS: P (AՍB) = P(A) + P(B) - P( A Ո B ) P (AՍB) = P(A) + P(B) Si eventos son excluyentes P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A Ո B) - P(A Ո C) - P(B Ո C) + P(A Ո B Ո C) P(A) + P(A’) = 1 Participa en el chat o levantando la mano del ZOOM

Participa en el chat o levantando la mano del ZOOM CONCLUSIONES PROBABILIDAD CONDICIONAL: Siempre que P(A) > 0 P(AՈB) y P(A) se calculan a partir del espacio muestral original S P(B\A)= P(A Ո B) P(A) Participa en el chat o levantando la mano del ZOOM

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