Ecuaciones lineales Es una igualdad que se cumple solo para determinados valores de las variables. El valor que satisface la igualdad se llama raíz o solución de la ecuación

Partes de una ecuación

¿ Cuánto pesará el trozo de queso si la balanza está equilibrada? La solución de una ecuación de primer grado es el valor de la incógnita para el que se verifica la igualdad. Platillo izquierdo: Resolver una ecuación de primer grado es encontrar su solución. Para comprobar que una solución es correcta hay que sustituir en la ecuación y ver que se cumple la igualdad. Platillo derecho: Como pesan igual, escribimos la ecuación:  Solución de una ecuación

x + 4 = –3 Resuelve x + 4 = –3. EJEMPLO Escribe la ecuación original. x + 4 – 4 = –3 – 4 Resta 4 a cada miembro. x = –7 Simplifica. ► La solución es –7. Resuelve y – 3 = –14. EJEMPLO x + 4 = –3 –7 + 4 = –3 –3 = –3 Sustituye x por –7. La solución es correcta.  COMPROBACIÓN Resolución de ecuaciones. Regla de la suma

Resuelve y – 3 = –14.

x = 5 Si a los dos miembros de una ecuación se los multiplica o divide por un número distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada. Luego: Observa las dos balanzas y las ecuaciones que representan: Ejemplo: Para resolver la ecuación 4x + 3 = 2x + 9 Regla del producto Restamos 3: 4x = 2x + 6 Restamos 2x:2x = 6 La solución es x = 3 4x = 20 Hemos dividido por 4 Dividimos por 2 x = 3 Resolución de ecuaciones. Regla del producto __ 2 2

Resuelve 3x – 4 = 17. EJEMPLO 3x – 4 = 17 Escribe la ecuación original. 3x – = x = 21 Divide cada lado por 3. 3x33x3 = 21 3 Suma 4 a cada miembro. Simplifica. x = 7 Simplifica. ► La solución es 7. 3x – 4 = 17 3·(7) – 4 = = 17  COMPROBACIÓN En los siguientes ejemplos se utilizan los dos principios, el de la suma y el del producto. Resolución de ecuaciones. Reglas de la suma y del producto

Resuelve 3x – 4 = 17

Resuelve b + 8 = b EJEMPLO b + 8 = b b – 3b + 8 = b – 3b b – 3b + 8 = 18 b – 3b + 8 – 8 = 18 – 8 b – 3b = 18 – 8 –2b = 10 –2b –2 = 10 –2 b = –5 Escribe la ecuación original. Divide por –2. Resta 3b a cada miembro. Simplifica. Resta 8 a cada miembro. Simplifica. Agrupa. ► La solución es –5. Resolución de ecuaciones. Reglas de la suma y del producto

Resuelve b + 8 = b

4x – 8 = 6 + 2x

a) Si sumamos a los dos miembros +8, b) De la misma forma, para eliminar +2x del segundo miembro lo pasamos al primero como –2x. c) Operamos y, en la ecuación obtenida 2x = 14, pasamos el 2 al segundo miembro dividiendo. Este último paso se llama despejar la incógnita. 2x = 14 x = = x – 8 = 6 + 2x 4x – 2x = EJEMPLO Transposición de términos 4x – 8 = 6 + 2x 4x – = 6 + 2x + 8 4x = 6 + 2x + 8 Esto equivale a pasar directamente el término –8 al segundo miembro como +8. Transposición de términos en una ecuación

6 – (4 + x) = 8x – 2(3x + 5) 6 – 4 – x = 8x – 6x –10 –x + 2 = 2x – 10 –x – 2x = –10 – 2 –3x = –12 x = 4 Ecuación original Simplifica. Quita paréntesis. Agrupa. Divide por –3. Traspones términos. Resuelve 6 – (4 + x) = 8x – 2(3x + 5) EJEMPLO 6 – (4 + 4) = 8·4 – 2(3·4 + 5) 6 – 8 = 32 – 34 –2 = –2  COMPROBACIÓN Resolución de ecuaciones. Ecuación con paréntesis.

Resolución de ecuaciones. Ecuación con denominadores. 3º. Operar 3x – 2x 2º. Restar 30: 1º. Quitar denominadores. Para ello se multiplica por 12, que es m.c.m.(4, 2, 6): x = 30 3x – 2x = 30 3x + 30 – 2x = = = 2 6 = 2·3 m.c.m.(4, 2, 6) = 2 2 · 3 = 12 Para el m.c.m. tomamos los factores comunes y los no comunes al mayor exponente: Recuerda cómo se calcula el m.c.m.: 12·( )( )·12

EJEMPLO Resolución de ecuaciones. Ecuación con denominadores.

PROBLEMA 2: ¿Cuál es el número que aumentado en 55 es igual a 6 veces su valor inicial? Un número x + 55 = 6x El número aumentado en 55 es igual a 6 veces el número x + 55 = 6x  55 = 6x – x 55 = 5x  55/5 = x  x = 11 El número aumentado en 55 Seis veces el número El número buscado es 11. Nº aumentado en 55  = 66 6 veces el número  6·11 = 66 ► 4º. Comprobación. ► 3º. Resolver la ecuación. ► 2º Plantear la ecuación. ► 1º. Interpreta el enunciado y exprésalo algebraicamente. 6x6x x x + 55 Correcto Resolución de problemas

PROBLEMA 2: ¿Cuál es el número que aumentado en 55 es igual a 6 veces su valor inicial?

PROBLEMA 3: La base de un rectángulo es doble que la altura y el perímetro mide 78 cm. Calcular las dimensiones del rectángulo. 2x2x x x 2x2x ► 4º. Comprobación. ► 3º. Resolver la ecuación. ► 2º Plantear la ecuación. ► 1º. Interpreta el enunciado y exprésalo algebraicamente. Resolución de problemas