UNIDAD 1 TEORÍA DE CONJUNTOS

Un conjunto se puede entender como una colección o agrupación bien definida de objetos de cualquier clase. Los objetos que forman un conjunto son llamados elementos del conjunto. Tenemos por ejemplo, el conjunto de alumnos del aula del 1º de secundaria de la I.E. “Los Ruiseñores”.

Notación Todo conjunto se escribe entre llaves { } y se denota con letras mayúsculas A, B, ..., sus elementos se separan mediante comas si son letras y con punto y coma si son números. Ejemplo: El conjunto “A” de las letras del abecedario. A = {a, b, c, d, … , x, y, z} Diagrama de Venn-Euler .a .b .c .d … .x .y .z A El conjunto “B” de los números del uno al cinco. B = {1; 2; 3; 4; 5}

Determinación de un conjunto

Relación de pertenencia Relación de inclusión En caso contrario, se dice que el conjunto T no está incluido en el conjunto R. T ¢ R En caso contrario, si un elemento no está en un conjunto, se dice que no pertenece a dicho conjunto. Esta relación se da entre elemento - conjunto Esta relación se da entre conjunto- conjunto

Clasificación de conjuntos Conjunto vacío No tiene elementos. Se representa por { } o Φ. El cardinal del conjunto vacío es cero, es decir n(Φ) = 0. Ejemplo: A = {x/x Є N ^ x < 0 } Conjunto finito Tiene un número limitado de elementos. El cardinal del conjunto finito es un número natural mayor que 1. Ejemplo: A = {x/x es una vocal} → n(A) = 5 Conjunto unitario Tiene un solo elemento. El cardinal del conjunto unitario es uno, es decir n(A) = 1 Ejemplo: A = {x/x Є N ^ 8 < x < 10} Conjunto infinito Tiene un número ilimitado de elementos. Ejemplos: A={x/x es un número natural} B={x/x es una estrella del universo}

Operaciones con conjuntos

Problemas con conjuntos Prefieren “A”: 1 y 2 Prefieren solo “A” : 1 Prefieren “B” : 2 y 3 Prefieren solo “B” : 3 Prefieren “A y B”: 2 Prefieren “A o B” : 1, 2 y 3 Prefieren solo “A o B” : 1 y 3 No prefieren ni “A” ni “B” : 4

Ejemplos Si el conjunto A = {x + y; 15; 2y-1} es unitario, calcula el valor de “3x-y”. Solución: Como A es unitario, se cumple que : x + y=15 … (I) 2y-1 = 15 … (II) De (II): y = 8 En (I): x = 7 Luego: 3x-y = 3(7)- 8 = 13 Rpta.: 13 Dados los conjuntos “A” y “B” tal que n(U)=24, n(A)=13, n(B)=15. Calcula n(A∆B). Tenemos que: 13-x+x+15-x=24 x = 4 Luego: n(A∆B)=9+11=20 Rpta.: 20

3. En una encuesta realizada a 150 personas, se tiene que: 56 leen solo la revista “A”. 49 leen solo la revista “B”. 17 no leen ninguna de estas revistas. ¿Cuántas personas leen ambas revistas? Solución: Del gráfico: 56+x+49+17 = 150 122 + x = 150 x = 28 Rpta.: 28 personas leen las revistas “A” y “B”.