Métodos de Variable Compleja en Dinámica de Fluidos Perfectos

Introducción 1. Potenciales, funciones de corriente y funciones de variable compleja 2. Transformaciones complejas y preservación de ángulos 3. Aplicación a los perfiles clásicos. 4. Teoremas de sustentación 5. Fluidos reales

1. Fluidos y variable compleja Un fluido estacionario en 2D se representa como dijimos por un campo de velocidades con . Suponemos la condición de incompresibilidad (1) y también la de no vorticidad (2) Esta implica que existe un potencial tal que (3) Pero entonces (1) implica que (4) O sea que es una función armónica Además su armónica conjugada también lo es.

1b. Fluidos y variable compleja Tenemos pues que y son funciones armónicas. Se llaman función potencial y función de corriente. El hecho de que son conjugadas quiere decir que (5) y Estas son las condiciones de Cauchy-Riemann para que exista una función analítica de variable compleja tal que (6) Para la derivación real vs. compleja se tiene (7)

1c. Fluidos y variable compleja Tenemos pues que es una función analítica, el potencial complejo; y y son funciones armónicas. Para la derivación real vs. compleja se tiene luego cuando se tiene La velocidad conjugada es una función analítica

1d. Fluidos y variable compleja Tenemos que tiene gradiente perpendicular al de de forma que (9) (10) Las trayectorias circulan por las lineas constante

1e. Fluidos y variable compleja Toda función analítica compleja tiene asociado un flujo bidimensional, incompresible e irrotacional. La correspondencia es biunívoca si el dominio es simplemente conexo. Además toda función analítica compleja realiza una transformación conforme De un dominio del plano en su imagen sii no es singular,

Flujos elementales 2a. El flujo libre

Flujos elementales Fuente w= c log z Vórtice, w= i c log (z)

El Dipolo, w= log(z+a)-log(z-a) Flujos elementales El doblete, w= c/z El Dipolo, w= log(z+a)-log(z-a)

Se trata de la transformación conforme THE JOUKOWSKI TRANSFORMATION Se trata de la transformación conforme Escribiendo z’-> w, y w=F(z) se tiene Con lo que la velocidad se anula en los puntos

Flujo alrededor de un cilindro Lineas de corriente Mapa calórico de presiones

Retículo biortogonal conforme

Los teoremas Tma de BLASIUS Tma de Kutta-Joukovski with integral around the body Tma de Kutta-Joukovski where C is the circulation of V on the boundary. ¿?

El primer vuelo, 17 dic 1903 Los hermanos Wilbur y Orville Wright Kitty Hawk, Carolina del Norte

Mapa calórico de presiones Airfoils Lineas de corriente Mapa calórico de presiones

Airfoils

Wake, estela R = 15,000 Dye in water shows a laminar boundary layer and living for one radius

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Versión en otra escala