Tema: 8 El lenguaje algebraico. Ecuaciones.

Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico El largo de un campo de fútbol es el doble del ancho más 10 metros Esta información podría expresarse de otra forma: Ancho Llamamos x al ancho del campo. El doble será 2 · x Y el doble más 10 m: 2 · x + 10 Largo Por tanto, 2 · x + 10 expresa el largo del campo de fútbol. Las dimensiones de nuestro campo, expresadas en forma algebraica, son: El lenguaje algebraico utiliza letras, números y signos de operaciones para expresar información. x 2x + 10

El lenguaje algebraico: algunos ejemplos Lenguaje ordinario Un número aumentado en 2 a + 2 (Hemos llamado a al número) Un número disminuido en 5 c – 5 (Llamamos c al número) x Perímetro del cuadrado de lado x 4x El cuadrado de un número x2 El cuadrado de un número menos el mismo número x2 – x El número natural siguiente al número n n + 1 Hoy Antonio tiene 12 años; cuando pasen x años tendrá x + 12 Hoy Laura tiene 13 años; hace x años tenía: 13 – x

Expresiones algebraicas Las fórmulas que se utilizan en geometría, en ciencias y en otras materia son expresiones que contienen letras, o números y letras: Área del triángulo: Área de un rectángulo: a · b h b b a La distancia recorrida por un coche que circula a 100 km/h: 100 · t (t = tiempo en horas) Una expresión algebraica es una combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación, división y potenciación. Observaciones: 1 · x2 · y1 x2 · y1 x2 · y x2 y 1. El factor 1 no se escribe. 2. El exponente 1 tampoco se escribe. 5 · a · b · c3 5abc3 3. El signo de multiplicación no suele ponerse.

Valor numérico de una expresión algebraica Observa el cuadrado de lado x. Su área es x2. x2 Si queremos hallar el área de un cuadrado concreto, por ejemplo de uno que tenga 4 cm de lado, se sustituye x por 4: A = x2 = 42 = 16 16 es el valor numérico de la expresión x2 cuando se sustituye x por 4. Valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras de la misma por números determinados y hacer las operaciones indicadas en la expresión. Ejemplos: 1. El valor numérico de la expresión algebraica 5x – 6 para x = 2, es: 5 · 2 – 6 = 10 – 6 = 4 para x = 10, es: 5 · 10 – 6 = 50 – 6 = 44 2. El valor numérico de la expresión algebraica 5a2 + b2 para a = 4 y b = 10 es: 5 · 42 + 102 = 5 · 16 + 100 = 180

Suma y resta de expresiones algebraicas Dos segmentos miden 5x y 3x, respectivamente. x x x x x x x x 5x 3x ¿Cómo podríamos expresar su longitud total? Si ponemos un segmento a continuación del otro, se tiene: Suma: x x x x x x x x 5x + 3x = 8x 5x 3x ¿Cómo podríamos expresar la diferencias de sus longitudes? Resta: x x x x x 2x 5x – 3x = 2x 5x 3x No se pueden sumar 2x + x2 Se deja indicado Observación: Para que dos expresiones puedan sumarse o restarse es necesario que sean semejantes. Para que las expresiones algebraicas unidas por las operaciones suma y resta se puedan reducir a una expresión más sencilla, sus partes literales deben ser iguales. Se dice entonces, que son expresiones semejantes.

Igualdades y ecuaciones La balanza está equilibrada. 10 + 2 = 4 + 8 Tenemos una igualdad numérica Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas iguales unidas por el signo igual (=). Toda igualdad tiene dos miembros. El primero a la izquierda del signo igual, y el segundo a la derecha. 10 + 2 = 4 + 8 1er miembro 2º miembro Esta segunda balanza también está en equilibrio; aunque un peso es desconocido: le llamamos x Se tendrá la igualdad: x + 4 = 8 + 4 Esta igualdad se llama ecuación. La letra x es la incógnita. Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras y números relacionados por operaciones aritméticas. La incógnita es la letra cuyo valor se desconoce. La ecuación es de primer grado si la incógnita lleva de exponente 1.

Solución de una ecuación ¿Cuánto pesará el trozo de queso si la balanza está equilibrada? Platillo izquierdo: x + 100 Platillo derecho: 500 + 200 Como pesan igual, escribimos la ecuación:  x + 100 = 500 + 200 La incógnita x tiene que valer 600, pues: 600 + 100 = 500 + 200 = 700 El valor x = 600 es la solución de la ecuación. La solución de una ecuación de primer grado es el valor de la incógnita para el que se verifica la igualdad. Resolver una ecuación de primer grado es encontrar su solución. Para comprobar que una solución es correcta hay que sustituir en la ecuación y ver que se cumple la igualdad. Ejemplo La solución de la ecuación 2x – 2 = x + 12 es x = 14 pues 2 · 14 – 2 = 14 + 12 = 26

Dos o más ecuaciones son equivalentes si tiene la misma solución. Ecuaciones equivalentes La solución de las dos ecuaciones siguientes es x = 3: Sustituyendo: a) 4 + 4x = 25 – 3x 4 + 4 · 3 = 16 y 25 – 3 · 3 = 16 b) 7x + 4 = 25 7 · 3 + 4 = 25, que es el 2º miembro Dos o más ecuaciones son equivalentes si tiene la misma solución. Observa como pueden hacerse ecuaciones equivalentes a otra dada: Ecuación dada: 8x = 16 Su solución es x = 2. (¿Es cierto?) Le sumamos 2 a cada miembro 2ª ecuación: 2 + 8x = 2 + 16 2 + 8x = 18 Restamos 6x a cada miembro 3ª ecuación: 2 + 8x – 6x = 2 + 16 – 6x 2 + 2x = 18 – 6x Comprueba que x = 2 es la solución de las tres ecuaciones.

Resolución de ecuaciones. Regla de la suma Observa: si de la balanza de la izquierda se quita de los dos platillos la pesa 5, el equilibrio se mantiene. Para resolver ecuaciones es útil buscar otra semejante a la dada pero que sea más fácil. Para ello es necesario conocer algunas reglas. x + 5 = 10 + 5 x = 10 Luego: Regla de la suma Si a los dos miembros de una ecuación se suma o resta un número o una expresión semejante a las utilizadas en la ecuación, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada. Ejemplo: Para resolver la ecuación 2x + 8 = x + 25 + 8 – 8 – 8 Restamos 8: 2x = x + 25 – x – x Restamos x: x = 25 La solución es x = 25

Resolución de ecuaciones. Regla de la suma Resuelve x – 5 = 13. EJEMPLO Solución En el primer miembro de la ecuación, 5 se resta de x. Para aislar x, hay que deshacer la resta aplicando la operación inversa de sumar 5. Para mantener el equilibrio, debes sumar 5 a cada lado. x – 5 = 13 Escribe la ecuación original. x – 5 + 5 = 13 + 5 Suma 5 a cada lado. x = 18 Simplifica. ► La solución es 18.  COMPROBACIÓN x – 5 = 13 Escribe la ecuación original. 18 – 5 = 13 Sustituye x por 18. 13 = 13 La solución es correcta.

Resolución de ecuaciones. Regla de la suma Resuelve x + 4 = –3. EJEMPLO  COMPROBACIÓN x + 4 = –3 Escribe la ecuación original. Sustituye x por –7. x + 4 – 4 = –3 – 4 Resta 4 a cada miembro. x + 4 = –3 x = –7 Simplifica. –7 + 4 = –3 ► La solución es –7. –3 = –3 La solución es correcta. Resuelve y – 3 = –14. EJEMPLO y – 3 = –14 Escribe la ecuación original. y – 3 + 3 = –14 + 3 Suma 3 a cada miembro. y = –11 Simplifica. ► La solución es –11.

Resolución de ecuaciones. Regla de la suma Resuelve 3a = 7 + 2a. EJEMPLO 3a = 7 + 2a Escribe la ecuación original. 3a – 2a = 7 + 2a – 2a Resta 2a a cada miembro. a = 7 Simplifica. ► La solución es 7.  COMPROBACIÓN 3a = 7 + 2a 3·7 = 7 + 2·7 Sustituye x por 7. 21 = 21 La solución es correcta.

Resolución de ecuaciones. Regla del producto Observa las dos balanzas y las ecuaciones que representan: 4x = 20 x = 5 Hemos dividido por 4 Luego: Regla del producto Si a los dos miembros de una ecuación se los multiplica o divide por un número distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada. Ejemplo: Para resolver la ecuación 4x + 3 = 2x + 9 Restamos 3: 4x = 2x + 6 Restamos 2x: __ __ 2 2 2x = 6 Dividimos por 2 x = 3 La solución es x = 3

Resolución de ecuaciones. Regla del producto Resuelve 3x = 15. EJEMPLO Solución En el lado izquierdo de la ecuación, x está multiplicada por 3. Para aislar x, hay que deshacer la multiplicación con la operación inversa de dividir por 3. 3x = 15 Escribe la ecuación original. 3x 3 = 15 Divide cada lado por 3. x = 5 Simplifica. ► La solución es 5.  COMPROBACIÓN 3x = 15 3·5 = 15 Sustituye x por 5. 15 = 15 La solución es correcta.

Resolución de ecuaciones. Regla del producto Resuelve 7x = –56. EJEMPLO  COMPROBACIÓN 7x = –56 Escribe la ecuación original. Sustituye x por –8. 7x 7 = –56 7x = –56 Divide cada lado por 7. 7·(–8) = –56 x = – 8 Simplifica. –56 = –56 ► La solución es –8. La solución es correcta. EJEMPLO Resuelve Escribe la ecuación original.  COMPROBACIÓN ·5 = 12 · 5 Multiplica los dos miembros por 5. 60 5 = 12 y = 60 Simplifica. ► La solución es 60.

Resolución de ecuaciones. Reglas de la suma y del producto En los siguientes ejemplos se utilizan los dos principios, el de la suma y el del producto. Resuelve 3x – 4 = 17. EJEMPLO 3x – 4 = 17 Escribe la ecuación original. 3x – 4 + 4 = 17 + 4 Suma 4 a cada miembro. 3x = 21 Simplifica. 3x 3 = 21 Divide cada lado por 3.  COMPROBACIÓN 3x – 4 = 17 x = 7 Simplifica. 3·(7) – 4 = 17 ► La solución es 7. 17 = 17

Resolución de ecuaciones. Reglas de la suma y del producto EJEMPLO Resuelve Escribe la ecuación original. n 5 3 – 8 = + 8 – 8 Resta 8 a cada miembro. Simplifica. 5( ) ( )·5 Multiplica los dos miembros por 5. –25 = n Simplifica. ► La solución es –25.

Resolución de ecuaciones. Reglas de la suma y del producto Resuelve 5 – x = 7. EJEMPLO 5 – x = 7 Escribe la ecuación original. –5 + 5 – x = –5 + 7 Resta 5 a cada miembro. –1x = 2 Simplifica. –1x –1 = 2 Divide por –1. x = –2 Simplifica.  COMPROBACIÓN ► La solución es –2. 5 – x = 7 5 – (–2) = 7 7 = 7

Resolución de ecuaciones. Reglas de la suma y del producto Resuelve b + 8 = 18 + 3b EJEMPLO b + 8 = 18 + 3b Escribe la ecuación original. b – 3b + 8 = 18 + 3b – 3b Resta 3b a cada miembro. b – 3b + 8 = 18 Simplifica. b – 3b + 8 – 8 = 18 – 8 Resta 8 a cada miembro. b – 3b = 18 – 8 Simplifica. –2b = 10 Agrupa. –2b –2 = 10 Divide por –2. b = –5 Simplifica. ► La solución es –5.

Transposición de términos en una ecuación Ya has visto que para resolver ecuaciones lo que hacemos es eliminar términos sumando, restando, multiplicando o dividiendo los dos miembros de la ecuación por un mismo número o expresión. Ese proceso podemos realizarlo de manera más rápida haciendo que ese mismo término aparezca en el otro miembro de forma «inversa» a como estaba: ► Si estaba sumando, aparece restando, y si estaba restando, aparece sumando. ► Si estaba multiplicando, aparece dividiendo, y si estaba dividiendo, aparece multiplicando. Esta técnica se denomina transposición de términos.

Transposición de términos en una ecuación EJEMPLO Transposición de términos 4x – 8 = 6 + 2x 4x – 8 = 6 + 2x a) Si sumamos a los dos miembros +8, 4x – 8 + 8 = 6 + 2x + 8 4x = 6 + 2x + 8 4x – 8 = 6 + 2x 4x – 2x = 6 + 8 Esto equivale a pasar directamente el término –8 al segundo miembro como +8. b) De la misma forma, para eliminar +2x del segundo miembro lo pasamos al primero como –2x. 2x = 14 c) Operamos y, en la ecuación obtenida 2x = 14, pasamos el 2 al segundo miembro dividiendo. Este último paso se llama despejar la incógnita. x = = 7 14 2

Propiedad distributiva (Quitar paréntesis) a(b + c) = ab + ac 4(5 + 8) = 4·5 + 4·8 = = 20 + 32 = 52 (6 + 9)2 = 6·2 + 9·2 = = 12 + 18 = 30 Con expresiones algebraicas (letras y números) funciona igual. 2(x + 4) = 2x + 2·4 = 2x + 8 Cuidado con los signos negativos (–). Recuerda la regla de los signos: + · + = + + · – = – – · + = – – · – = – 2(4x + 1) = 2·4x + 2·1 = 8x + 2 (y + 3)6 = y·6 + 3·6 = 6y + 18 4(x – 2) = 4x + 4(–2) = 4x – 8 –2(n – 3) = –2n + (–2)( –3) = –2n + 6

Resolución de ecuaciones. Ecuación con paréntesis. 3(x – 7) = 5(x – 1) – 4x 3x – 21 = 5x – 5 – 4x 1º. Quitar paréntesis: 3x – 21 = x – 5 2º. Operar 5x – 4x: 2x – 21 = – 5 3º. Restar x  COMPROBACIÓN 2x = 16 4º. Sumar 21 3(x – 7) = 5(x – 1) – 4x x = 8 5º. Dividir por 2 3(8 – 7) = 5(8 – 1) – 4·8 3·1 = 5·7 – 4·8 3 = 35 – 32 3 = 3 La solución es correcta.

Resolución de ecuaciones. Ecuación con paréntesis. Resuelve 6 – (4 + x) = 8x – 2(3x + 5) EJEMPLO 6 – (4 + x) = 8x – 2(3x + 5) Ecuación original Quita paréntesis. 6 – 4 – x = 8x – 6x –10 Simplifica. –x + 2 = 2x – 10 Traspones términos. –x – 2x = –10 – 2 Agrupa. –3x = –12 Divide por –3.  COMPROBACIÓN 6 – (4 + 4) = 8·4 – 2(3·4 + 5) x = 4 6 – 8 = 32 – 34 –2 = –2

Resolución de ecuaciones. Ecuación con denominadores. Recuerda cómo se calcula el m.c.m.: 1º. Quitar denominadores. Para ello se multiplica por 12, que es m.c.m.(4, 2, 6): 4 2 2 2 1 6 3 2 2 1 12·( ) ( )·12 4 = 22 3x + 30 – 2x = 60 2 = 2 3x – 2x = 30 6 = 2·3 2º. Restar 30: Para el m.c.m. tomamos los factores comunes y los no comunes al mayor exponente: 3º. Operar 3x – 2x x = 30 m.c.m.(4, 2, 6) = 22 · 3 = 12

Resolución de ecuaciones. Ecuación con denominadores. EJEMPLO 1º. Quitar denominadores. Para ello se multiplica por 4, que es m.c.m.(2, 4): 4( ) ( )4 4( ) 4( ) 4( ) 2(x + 1) + (x + 3) = 2 2º. Quitar paréntesis. 2x + 2 + x + 3 = 2 3º. Agrupar términos semejantes. 3x + 5 = 2 4º. Transponer términos. 3x = 2 – 5 3x = –3 5º. Despejar la incógnita. x = –1

Resolución de problemas Problema 1: La madre de Jorge tiene 39 años y dice que tiene 6 años menos que el triple de la edad de su hijo. ¿Qué edad tiene Jorge? 1º. Interpretación del enunciado Lenguaje algebraico Edad de Jorge x La madre de Jorge tiene 39 39 Son iguales y dice que tiene 6 años menos que el triple de la edad de Jorge 3x – 6 3x – 6 = 39 2º. Plantear la ecuación 3º. Resolución de la ecuación 3x = 45 Suma 6 x = 15 Divide por 3 Jorge tiene 15 años 4º. Comprobación. 3 · 15 – 6 = 45 – 6 = 39 Correcto

Resolución de problemas PROBLEMA 2: ¿Cuál es el número que aumentado en 55 es igual a 6 veces su valor inicial? x Un número ► 1º. Interpreta el enunciado y exprésalo algebraicamente. x + 55 El número aumentado en 55 6x Seis veces el número El número aumentado en 55 es igual a 6 veces el número ► 2º Plantear la ecuación. x + 55 = 6x x + 55 = 6x  55 = 6x – x 55 = 5x  55/5 = x  x = 11 ► 3º. Resolver la ecuación. El número buscado es 11. ► 4º. Comprobación. Nº aumentado en 55  11 + 55 = 66 6 veces el número  6·11 = 66 Correcto

Resolución de problemas PROBLEMA 3: La base de un rectángulo es doble que la altura y el perímetro mide 78 cm. Calcular las dimensiones del rectángulo. ► 1º. Interpreta el enunciado y exprésalo algebraicamente. Lado menor  x Lado mayor  2x 2x x Perímetro 78 x + 2x + x + 2x x + 2x + x + 2x = 78 ► 2º Plantear la ecuación. 6x = 78 ► 3º. Resolver la ecuación. x = 78 6 2x = 26 cm x = 13 cm x = 13 ► 4º. Comprobación. Perímetro = 13 + 26 + 13 + 26 = 78 cm