TEMA 9 PROPORCIÓN Y ESTRUCTURAS MODULARES

1. PROPORCIONALIDAD

La razón entre dos cantidades. Para poder comparar dos cantidades se halla la razón o cociente entre ellas. Es decir, debemos dividir una cantidad entre la otra. Así cuando queremos obtener la razón entre un segmento de 5cm y otro de 10cm diremos que el primero es ½ del segundo o el segundo 2 veces el primero. 5cm 10cm

Teorema de Tales: división de un segmento en partes iguales. (1) Para dividir un segmento AB en partes iguales, se traza desde A una semirrecta t en una dirección cualquiera. Luego, a partir de A, se marcan tantas divisiones iguales como partes en que queremos dividir el segmento AB.

Teorema de Tales: división de un segmento en partes iguales. (2) Desde la última marca se traza una recta hasta el extremo B del segmento. A continuación se trazan paralelas a esta recta que pasen por cada una de las marcas.

Teorema de la altura: determinación de la media proporcional (1) Dados dos segmentos de longitudes a y b, la media proporcional de ambos x, es el segmento que cumple la relación a/x = x/b. Se traza un segmento AB = a + b y se encuentra su punto medio.

Teorema de la altura: determinación de la media proporcional (2) Con centro en O, se traza una semicircunferencia de radio OA. Desde P se eleva una perpendicular que corta a la circunferencia en C. El segmento buscado x es la recta PC.

La proporción áurea. Dos segmentos a y b tienen una proporción áurea cuando la razón a/b tiene un valor aproximado de 1,618. Esta proporción aparece en la naturaleza muy frecuentemente.

El hombre ha utilizado frecuentemente la sección áurea en publicidad, arte y en los más diversos ámbitos.

Trazado de la sección áurea de un segmento (1) Se traza el segmento AB y se halla su punto medio O. Por el extremo B se levanta su perpendicular.

Trazado de la sección áurea de un segmento (2) Con centro en B y con radio OB, se traza un arco que corta a la perpendicular en el punto C. Se une C con A.

Trazado de la sección áurea de un segmento (3) Con radio CB, se traza un arco desde C que corte a la recta AC en el punto D. Con centro en A y radio AD se traza un arco que corte a AB en E Este punto es el que divide al segmento AB de modo que AE es su sección áurea.

2. RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD ENTRE FIGURAS: IGUALDAD

La razón entre dos cantidades. Decimos que dos figuras son iguales cuando al superponerlas coinciden todos sus lados y ángulos. Para construir una figura igual a otra se usan diversos procedimientos: Traslación. Giro. Triangulación. Transporte de ángulos. Reproducción de coordenadas.

Traslación (1). Dada la figura ABCDE se traza una paralela por cada uno de sus vértices. Cada paralela debe tener la misma medida.

Traslación (2). Se unen los extremos de las paralelas que hemos trazado, todas con la misma medida.

Giro (1). Nos dan una figura ABCDE y un punto cualquiera O que va a ser el centro de giro. También nos dan el ángulo que vamos a girar dicha figura.

Giro (2). Con centro en O giramos el punto A tantos grados como nos indique el ángulo que nos han dado hasta obtener A´.

Giro (3). Luego trasladamos de igual modo el resto de los puntos de la figura. Finalmente unimos los puntos.

Triangulación (1). Dada la figura ABCDE se trazan diagonales a partir de un punto de modo que la figura quede dividida en triángulos en su interior.

Triangulación (2). Se traza el lado A´B´ paralelo a AB.

Triangulación (3). A partir de los puntos A´ y B´ se trasladan las medidas de los lados AC y BC en cuya intersección estará el punto C.

Triangulación (4). Se une A´ y B´ con C´.

Triangulación (5). Se une A´ y C´ con D´.

Triangulación (6). Finalmente hallamos E´ a partir de A´ y D´.

Transporte de ángulos (1). Dada la figura ABCDE trazamos el lado A´B´ paralelo a AB.

Transporte de ángulos (2). Copiamos el ángulo  en A´. Después copiamos la medida del lado AE.

Transporte de ángulos (3). Repetimos la operación copiando los ángulos Ḃ y Ê.

Transporte de ángulos (4). Por último unimos C´ y D´.

Reproducción de coordenadas (1). Dada una figura ABCD, se dibujan dos ejes de coordenadas.

Reproducción de coordenadas (2). Se copian primero los puntos A´ y C´ que están situados sobre los ejes.

Reproducción de coordenadas (3). Se trazan perpendiculares a los ejes por los puntos D y B y se copian en el segundo eje de coordenadas.

Reproducción de coordenadas (4). Se traza la figura uniendo los puntos.

3. RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD ENTRE FIGURAS: SIMETRÍA Y SEMEJANZA

A continuación aprenderemos a construir figuras con: Simetría axial. La simetría es una relación entre dos figuras, en la que cada punto de la primera se corresponde con otro de la segunda, de modo que ambos están a la misma distancia de un eje o de un centro. A continuación aprenderemos a construir figuras con: Simetría axial. Simetría central.

Simetría axial (1). Se produce cuando dos puntos simétricos A y A´ están situados en una misma recta perpendicular a otra, llamada eje de simetría, y con contrapuestos y equidistantes a éste.

Simetría axial (2). Dada la figura ABCDE construcción de una figura simétrica a ésta.

Simetría axial (3). Se trazan líneas perpendiculares al eje que pasen por cada uno de los vértices de la figura.

Simetría axial (4). Sobre las perpendiculares trazadas se transportan las medidas, de modo que las distancias de los vértices A, B, C, D y E al eje sean iguales a las distancias del eje a los vértices A´, B´, C´, D´ y E´.

Simetría axial (5). Se construye la figura uniendo los puntos obtenidos.

Simetría central (1). La simetría central o respecto a un punto es la que tienen dos puntos A y A´ situados en una linea recta que pasa por un punto, llamada centro de simetría, y que están contrapuestos y a la misma distancia de dicho punto.

Simetría central (2). Dada la figura ABCDE construcción de una figura simétrica a ésta.

Simetría central (3). Se trazan rectas desde cada vértice de la figura al centro de simetría y se prolongan.

Simetría central (4). Sobre estas rectas se transportan las medidas, de modo que las distancias de los vértices A, B, C, D y E al punto O sean iguales a las distancias del eje a los vértices A´, B´, C´, D´ y E´.

Simetría central (5). Se construye la figura uniendo los puntos obtenidos.

Radiación desde un vértice. Radiación desde un punto exterior. Semejanza. Es una relación entre figuras en la que los ángulos correspondientes de las mismas son iguales, y sus lados correspondientes, proporcionales. A continuación aprenderemos a construir figuras con los métodos siguientes: Radiación desde un vértice. Radiación desde un punto exterior.

Radiación desde un vértice (1). En este procedimiento las dos figuras tienen un vértice común. Dada una figura ABCDEF. Se elige el vértice A, y desde él se trazan rectas que pasen por los demás vértices.

Radiación desde un vértice (2). Se sitúa un punto B´ en la prolongación del lado AB.

Radiación desde un vértice (3). Por el punto B´se traza una paralela al lado BC, hasta cortar la prolongación de AC en C´.

Radiación desde un vértice (4). A partir de él se repite la operación hasta completar la figura semejante.

Radiación desde un punto exterior (1). Nos dan una figura ABCDE. Se elige un punto exterior P.

Radiación desde un punto exterior (2). Desde P se trazan rectas que pasen por todos los vértices de la figura.

Radiación desde un punto exterior (3). Sobre la prolongación de la recta que pasa por A marcamos el punto A´.

Radiación desde un punto exterior (4). Por A´ se traza un segmento A´B´ paralelo al lado AB.

Radiación desde un punto exterior (5). Repitiendo la operación con todos los lados se obtendrá la figura semejante.

4. REDES MODULARES

Las redes modulares son estructuras, generalmente geométricas, que permiten relacionar figuras iguales o semejantes, llamadas módulos, en una misma superficie. Toda red modular debe cubrir por completo el plano sin dejar superficies vacías. Redes modulares simples. Están formadas por la repetición de una sola figura (triángulos, cuadrados, rombos, rectángulos, etc.)

Redes modulares compuestas. (1) Pueden estar formadas por la yustaposición de varias figuras geométricas regulares.

Redes modulares compuestas. (2) O por la superposición de dos o más redes simples.

5. EL MÓDULO

El módulo es la figura básica que se repite en las estructuras modulares.

Cuando se combinan varios módulos básicos para formar una figura más compleja aparece un supermódulo.

Movimientos del módulo Un módulo se puede colocar y combinar en distintas posiciones para dinamizar el ritmo de la composición. Se puede utilizar el giro, el desplazamiento y la simetría.

La circunferencia en la composición modular. La circunferencia deja huecos de forma que no hay redes modulares circulares, pero se puede inscribir en cuadrados dejando los espacios libres como formas de apoyo.

6. EFECTOS TRIDIMENSIONALES

Se pueden crear sensaciones de espacio tridimensional utilizando recursos como la superposición, curvatura o doblez, agregado de sombra, cambio de textura, cambio de punto de vista, cambio de tamaño y cambio de valor o color.

Transformaciones del módulo. Existe la posibilidad de transformar el módulo hasta conseguir un dibujo completamente distinto del primero, sin perder la estructura de la red básica.