Instituto Superior del Profesorado “Dr. J. V Instituto Superior del Profesorado “Dr. J.V. González” UIDI EE El Equipo Irene Zapico – Silvia Tajeyan – Tere Fernández Pamela Abregú – Ezequiel Lobatto – José Vera Ocampo

De izquierda a derecha: Pame, Tere, Irene, Silvia y Eze

EE Presencia matemática en el arte Le Corbusier - Escher - La Bauhaus Max Bill - Bogdanov - Ravà EE El Equipo

Paul Montel Matemático francés, 1876-1975, Miembro de diversas academias de ciencias, trabajó sobre teoría de funciones de variable compleja, la teoría de familias de funciones y geometría finita, entre otros temas.

“Puede resultar sorprendente cuantas relaciones existen entre el Arte y las Matemáticas, entre el mundo de las cualidades y el de las cantidades. Sin embargo, estrechos lazos unen estos dos modos de representación... De hecho, cada una de estas actividades, investigación matemática y creación artística, es tributaria de la otra.” “Un resultado importante obtenido en matemática ofrece a su autor un placer estético semejante al que pueden dar la armonía arquitectónica o los acordes musicales. A menudo se habla de un teorema bello, de una demostración elegante. Inversamente, la matemática interviene en la realización de la obra de arte.” Paul Montel

El verdadero nombre de quien fue conocido en el mundo entero como Le Corbusier era Charles Edouard Jeanneret, 1887 – 1965. Si bien su fama se debe, fundamentalmente, a su obra como arquitecto, se desempeñó con éxito en otras ramas del arte, fue también artista plástico y escritor.

De su obra “Le Modulor” tomamos el Capítulo 3, titulado “Matemática”, y de él transcribimos el párrafo inicial: “La Matemática es el magistral edificio imaginado por el hombre para comprender el Universo. En ella se encuentra lo absoluto y lo infinito, lo prensible y lo inapresable, y está rodeada de altos muros ante los cuales se puede pasar y volver a pasar sin ningún provecho. En ellos se abre a veces una puerta; se empuja, se entra y se está ya en otro sitio donde se encuentran los dioses y las claves de los grandes sistemas. Estas puertas son las de los milagros, y, franqueada una de ellas, ya no es el hombre quien actúa, sino el Universo que toca en un punto cualquiera y ante él se desenrollan los prodigiosos tapices de las combinaciones sin límites. Está en el país de los números. Dejadle permanecer en él, maravillado ante tanta luz tan intensamente esparcida.” 1) ¿Qué objetivo, según Le Corbusier, impulsó al hombre a crear la Matemática? 2) ¿Qué características de la Matemática son las que Le Corbusier subraya? ¿Qué conexiones encuentran entre ellas y su propia actividad (de arquitecto)?

Maurits C. Escher 1898 - 1972

Modelo de Poincaré

El diseño al servicio de la vida cotidiana Bauhaus El diseño al servicio de la vida cotidiana

Walter Gropius (1883-1969) - Arquitecto, urbanista y diseñador alemán; hijo y nieto de arquitectos. Fue el fundador de la famosa escuela de diseño Bauhaus.

Theo van Doesburg 1883 – 1931 Creó el término de "arte concreto" para sustituir al de arte abstracto. En el "Manifiesto del arte concreto" publicado en París, en 1930, enunció las bases teóricas de esta nueva escuela

Rechazo de toda relación con lo natural, lo objetivo y lo simbólico. Utiliza la representación de ideas abstractas en una nueva realidad de carácter universal y constante. La expresión plástica se basa, principalmente, en la línea y la superficie, relegando al color a un segundo plano. Empleo de elementos geométricos sencillos (círculos, cuadrados, triángulos) y creación de tensiones. La forma tiene más importancia que el color. Composiciones geométricas formando estructuras que recuerdan construcciones o arquitecturas. Emplea colores planos creando efectos cromáticos de espacio y vibración plástica.

Max Bill Suiza, 1908 – Berlín, 1994

Sugerencias para el aula 1) Investiguen sobre la biografía de Max Bill y su inserción dentro del movimiento artístico de su época. 2) Observen las siguientes obras y trabajen sobre las siguientes consignas: a) ¿Qué tipos de figuras geométricas se pueden apreciar? b) En una hoja cuadriculada, dibujen los triángulos encontrados tomando las longitudes del dibujo. Clasificarlos según la longitud de sus lados. Calculen su perímetro y su superficie, utilizando los datos obtenidos. c) Calculen la proporción de cada uno de ellos respecto de la superficie total. d) ¿Aparecen triángulos congruentes o semejantes? Justifiquen. e) Se puede observar en las reproducciones alguno de los movimientos en el plano. Identifíquenlos y justifiquen.

Max Bill

Los números como elementos decorativos, en tapas de libros, en afiches...

Nicolai Bogdanov Belski 1868 – 1945 Ejercicio Complicado

Sugerencias para el aula 1) Observen el cálculo del cuadro y comparen los resultados de: 102 + 112 + 122 y de: 132 + 142 ¿Cuál es, entonces, el resultado de: ? 2) "La distancia o diferencia entre 2 números consecutivos al cuadrado es la suma de ambos". a) Teniendo en cuenta este enunciado, verifíquenlo en los cuadrados que aparecen en el cálculo del cuadro. b) Escriban en símbolos esta igualdad e intenten demostrarla. c) Deduzcan el valor de: 26², sabiendo que 25² = 625 d) Y el valor de 49², sabiendo que 50² = 2.500 3) Yakov Perelman propone: ¿es acaso la serie 10; 11; 12; 13; 14 la única serie de cinco números enteros consecutivos en la que la suma de los cuadrados de los tres primeros es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos? Investiguen si hay alguna otra. 4) Escriban el número 365, por lo menos de 4 formas diferentes, utilizando las operaciones que deseen, entre números al cuadrado.

Sunday reading in a village School

Tobia Ravà Padova - 1959

Sugerencias para el aula 1) Averiguen sobre el puntillismo. Sugerencia: es.wikipedia.org/wiki/Puntillismo 2)  Interpreten el significado de "puntillismo aritmético" 3) Elijan una de las láminas de www.tobiarava.com , en la que se destaque la perspectiva y determinen en ella el punto de fuga. 4) Dibujen un triángulo, u otra figura plana , de aproximadamente 10 cm2 de superficie y píntenla usando la técnica de Ravá. Luego utilicen ese dibujo para adornar un señalador, una cajita o cualquier otro objeto que deseen.

Para los más chicos Para los pitagóricos el número era el origen de todas las cosas; llamaban números a los enteros positivos, las fracciones eran un derivado de ellos. Los clasificaron según las figuras geométricas que pueden formarse con cada número de puntos. De este modo, son números triangulares: 1) Dibujá los dos números triangulares siguientes, con base 5 y con base 6. ¿Qué números son? 2) Observando el dibujo, el número 6, por ejemplo, es igual a 1 + 2 + 3. Escribí a qué sumas corresponden los restantes números triangulares que aparecen en el dibujo. 3) Los pitagóricos comprobaron que estas sumas generaban estos números y que se cumplía la igualdad 1+2+ ... + n = , expresada en notación moderna. ¿Qué número triangular se obtiene si n = 9? 4) ¿Qué número triangular se obtiene si n = 7? 5) Escribí la serie de los 10 primeros números triangulares, obteniendo a cada uno a partir del que lo antecede.

Los números cuadrados son: 1) Dibujá los dos números cuadrados siguientes. ¿Qué números son? 2) Escribí a qué número al cuadrado (o a qué producto de un número por sí mismo) corresponde cada uno de los del dibujo y los dos que obtuviste.

Para los más grandecitos A) Los números triangulares eran, por ej. el 6: 1) El 1 era considerado triangular, tomá dos puntos, tres, cuatro y cinco como base y dibujá los primeros números triangulares. ¿Qué números son? 2) Descubrieron que: y esta es la fórmula que da origen a los números triangulares. ¿A qué línea del dibujo corresponde “n”? 3) ¿Qué número se obtiene si n = 7? ¿y si n = 11? 4) El número 45 es triangular, ¿cuál es el valor de n que le corresponde?

B) Llamaron números cuadrados a los que se obtienen con la siguiente fórmula, que descubrieron: 1+3+5+7+ .... + (2n - 1) = n2 1) Obtené los primeros cinco números cuadrados, utilizando la fórmula de los pitagóricos. 2) ¿Qué número se obtiene si n=10? 3) ¿Cuál es la suma con la que se obtiene 81 y cuántos términos tiene? 4) ¿Qué operación está indicada en la expresión n2? 5) ¿Qué nombre recibe el número ubicado en el lugar de “n”? 6) ¿Qué nombre recibe el número ubicado en el lugar del 2? 7) ¿No sería interesante averiguar algo más sobre los pitagóricos? Vamos a hacerlo

EE El Equipo Gracias por estar ahí Irene Zapico Pamela Abregú Tere Fernández matematica_en_su_salsa@yahoo.com.ar