Movimiento en un Plano Mov. Circular uniforme Autores Ignacio Cruz Encinas Mario Enrique Álvarez Ramos Saúl Robles García Roberto Pedro Duarte Zamorano Ezequiel Rodríguez Jáuregui Rogelio Gámez Corrales UNIVERSIDAD DE SONORA Departamento de Física

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Analizaremos ahora el otro ejemplo de un movimiento en un plano, siendo éste el circular uniforme. De igual forma que en los movimientos anteriores, nuestro problema es realizar una descripción completa de tal movimiento, para introducirnos en él supongamos el siguiente ejemplo: Analizaremos ahora el otro ejemplo de un movimiento en un plano, siendo éste el circular uniforme. De igual forma que en los movimientos anteriores, nuestro problema es realizar una descripción completa de tal movimiento, para introducirnos en él supongamos el siguiente ejemplo: Describir el movimiento de una rueda de automóvil se encuentra girando en la misma posición. Suponga que se le han hecho unas marcas localizadas en la parte interior del eje de rotación, en los tornillos, en la parte interior del rin, en la parte exterior del mismo, así como en la parte media y en la exterior del hule de la llanta. Describir el movimiento de una rueda de automóvil se encuentra girando en la misma posición. Suponga que se le han hecho unas marcas localizadas en la parte interior del eje de rotación, en los tornillos, en la parte interior del rin, en la parte exterior del mismo, así como en la parte media y en la exterior del hule de la llanta. Dichas marcas las localizamos a partir del centro de rotación mediante los vectores de posición r 1, r 2,,r 3, r 4 y r 5.

Movimiento circular r1r1 r2r2 y + x + Δr4 Δr4 r3r3 r4r4 r5r5 r2r2 r3r3 r4r4 r5r5 Δr5 Δr5 Al girar la llanta, las marcas cambiarán de posición, pero tales cambios que se representan mediante  r son diferentes para cada marca, de tal forma que:  r 5 >  r 4 >  r 3 >  r 2 >  r 1

Es decir, en el mismo intervalo de tiempo las marcas recorrerán distancias diferentes. Al existir un cambio de posición en un intervalo de tiempo, tenemos asociada una velocidad media dada por: v m =  r ⁄  t cuya magnitud es: v m =│ v m │ = │  r ⁄  t │= (1 ⁄  t )(│  r │) su dirección es la misma que la del desplazamiento, la cual se obtiene uniendo la posición inicial con la final (es la misma dirección y sentido para todos los desplazamientos). Sin embargo, como los cambios de posición son diferentes para los mismos intervalos de tiempo, tenemos que las magnitudes: v m5 > v m4 > v m3 > v m2 > v m1 Movimiento circular

Consecuentemente los vectores velocidad media también lo serán v m5 ≠ v m4 ≠ v m3 ≠ v m2 ≠ v m1 (Para que dos o más vectores sean iguales deben de tener la misma magnitud, misma unidad, misma dirección y sentido, si alguno de estos parámetros cambia, los vectores son diferentes). por lo tanto, cada partícula que se mueva en una trayectoria circular de radio r tendrá su propia ecuación de movimiento, es decir, si tenemos n partículas moviéndose simultáneamente, tendremos n ecuaciones, lo cual complica la descripción del movimiento. Para salvar dicha dificultad, se requiere de un nuevo concepto bajo el cual se pueda hacer la descripción del movimiento de las n partículas con una sola ecuación. Dicho concepto es el de velocidad angular y para definirla, necesitamos conocer lo que son las cantidades angulares y la relación que estas guardan con respecto a las cantidades lineales o tangenciales que hemos venido manejando. Para tal relación, se requiere definir en primer lugar lo que es el ángulo y la forma común de medirlo, lo cual abordaremos a continuación: Movimiento circular

El ángulo formado entre dos rectas que se unen en un punto llamado vértice se define como el cociente entre el arco de circunferencia y el radio del círculo. Para representar simbólicamente a los ángulos, generalmente se utilizan las letras del alfabeto griego, a (alfa); b (beta); g (gama); q (teta); f (fi), etc. Ángulo R radio de la circunferencia v vértice o eje de rotación  S R R v recta S arco de circunferencia  ángulo  = S ⁄ R

La forma común de medir ángulos es en sentido contrario a las manecillas del reloj. La forma común de medir ángulos es en sentido contrario a las manecillas del reloj. Como S se mide en metros, lo mismo que R, el ángulo es una cantidad adimensional, es decir, no tiene unidades, sin embargo, para saber de que cantidad estamos hablando se le da el nombre de radianes ( rad ), grados ( 0 ), o revoluciones ( rev ). Como S se mide en metros, lo mismo que R, el ángulo es una cantidad adimensional, es decir, no tiene unidades, sin embargo, para saber de que cantidad estamos hablando se le da el nombre de radianes ( rad ), grados ( 0 ), o revoluciones ( rev ). Un radián es cuando la longitud del arco de circunferencia es igual a la longitud del radio (s = R ). Un radián es cuando la longitud del arco de circunferencia es igual a la longitud del radio (s = R ). Para encontrar la equivalencia entre grados y radianes, sabemos que un circulo tiene 360 0, lo cual es una revolución completa, así mismo, tenemos que representan la longitud el perímetro de la circunferencia (2  R), luego entonces: Para encontrar la equivalencia entre grados y radianes, sabemos que un circulo tiene 360 0, lo cual es una revolución completa, así mismo, tenemos que representan la longitud el perímetro de la circunferencia (2  R), luego entonces: Ángulo

 = = S ⁄ R = 2  R ⁄ R = 2  radianes = 1 revolución Expresado de otra forma, dividimos el perímetro de la circunferencia en 360 partes iguales para obtener la equivalencia de un grado en radianes 1 0 = S ⁄ R = (2  R ⁄ 360) ⁄ R = 2  ⁄360 =  ⁄180 = ⁄ = rad = 1 rev. Aplicando la regla de tres simple, se encuentra que: 1 rad = Ángulo, radianes y revolución

Ya que tenemos la forma de medir los ángulos, analicemos nuevamente el movimiento de n partículas que se mueven en trayectorias circulares de diferentes radios, buscando generalidades para todas ellas. Para los dos cuerpos, el ángulo barrido (  ) es el mismo, así como el intervalo de tiempo (  t ) Velocidad Angular Media r r R R   s r  s R

v m =  S ⁄  t De la definición de ángulo  =  S ⁄ R despejamos despejamos  S  S = R  y sustituimos en la ecuación de velocidad media v m = R (  ⁄  t) El cociente de ángulo barrido entre intervalo de tiempo, es el mismo para cualquier partícula que se mueva en una trayectoria circular, la velocidad lineal o tangencial (v) dependerá de la distancia de la partícula al centro de rotación. A dicho cociente, se le denomina velocidad angular media representándose con la letra griega omega (  ). Velocidad Angular Media

Velocidad Angular media   m =  ⁄  t sus unidades son: rad ⁄ s rev ⁄ s grados ⁄ s Para obtener la velocidad angular instantánea, se procede de igual forma que para la velocidad tangencial instantánea, es decir, tomando el limite cuando el intervalo de tiempo tiende a cero, lo cual expresado en símbolos es: La relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular es: v =  r

Velocidad Angular Media La velocidad es directamente proporcional a la velocidad angular y a la distancia al eje de rotación. Como la velocidad angular es una constante para un sistema de partículas, la velocidad lineal dependerá de la distancia de la partícula al eje de rotación, entre mas alejada se encuentre, mayor velocidad tendrá. La ecuación de movimiento en cantidades angulares para una partícula que se mueve en una trayectoria circular, se encuentra despejando  de la definición de velocidad angular:  =  0 +  ( t – t 0 )

Frecuencia y periodo Cuando se trabaja con movimientos repetitivos como lo es un cuerpo moviéndose en trayectoria circular, existen dos conceptos útiles de introducir, siendo estos: la frecuencia y el periodo. Cada uno de ellos se define como: Cuando se trabaja con movimientos repetitivos como lo es un cuerpo moviéndose en trayectoria circular, existen dos conceptos útiles de introducir, siendo estos: la frecuencia y el periodo. Cada uno de ellos se define como: Frecuencia.- El número de vueltas por unidad de tiempo (se representa mediante la letra griega "nu" ). cuyas unidades son recíprocos de segundo o s -1 Período.- El tiempo que tarda el cuerpo en dar una vuelta (o revolución) completa (se representa mediante la letra griega "tao" ).  = t Cuando el número de vueltas es uno, entonces:

Las velocidades lineales y angulares se expresan mediante los parámetros anteriores al considerar una vuelta completa, donde la distancia recorrida será igual al perímetro de la circunferencia. v =  s /  t = 2  r/ t y como el tiempo es simplemente "tao“ v = 2  r /  además, como la frecuencia es el inverso del período: v = 2  r(1 /  por lo que, v = 2  r v = 2  r Comparando las relaciones anteriores con la expresión: v =  r tenemos que:  = 2  = 2  /  escribiendo todas las relaciones se tiene que: v =  r = 2  r/  = 2  r v =  r = 2  r/  = 2  r Velocidad lineal y angular

Analicemos nuevamente el movimiento de una partícula que se mueve en una trayectoria circular de radio r. Como ya se vio en el movimiento en el plano, la velocidad de la partícula será siempre tangente a la trayectoria que ésta siga (de ahí que reciba el nombre de velocidad lineal o tangencial), además recordemos que la velocidad es un vector que posee magnitud, unidad, dirección y sentido. Empezaremos por el caso mas sencillo en el cual la magnitud de la velocidad es constante. Empezaremos por el caso mas sencillo en el cual la magnitud de la velocidad es constante. Aceleración Centrípeta o Radial R v1v1 v2v2 v3v3 v4v4 v5v5 v6v6 v7v7 v8v8 │ v 1 │= │ v 2 │= │v 3 │= …… =│v 7 │=│v 8 │ Pero: v 1 ≠ v 2 ≠ v 3 ≠ …… ≠ v 7 ≠ v 8 Porque tienen diferente dirección y sentido

Puesto que los vectores velocidad son diferentes, luego entonces tendremos una diferencia de vectores dada por:  v = v 2 – v 1  v = v 3 – v 2  v = v 4 – v 3  v = v 5 – v 4 etc. los cuales se pueden expresar como una suma, al sumar al primer vector, el negativo del segundo vector, es decir:  v = v 2 + (– v 1) veámoslo gráficamente: Aceleración Centrípeta o Radial

Como se puede apreciar, todos los vectores cambios de velocidad son diferentes, pero tienen algo en común: están dirigidos hacia adentro del círculo y tienen la misma magnitud. Aceleración Centrípeta o Radial  v 12 v1v1 v2v2 v3v3 v4v4 v5v5 v6v6 v7v7 v8v8 -v 1 -v 2 -v 3 -v 8  v 81  v 23  v 34 R -v 4  v 45

Dado que los cambios de velocidad son diferentes, consecuentemente tendremos una aceleración dada por: a =  v /  t que como ya sabemos, es un vector con: magnitud,unidad, dirección y sentido. Para precisar correctamente tanto su dirección como sentido así como su magnitud, analicemos de nuevo la figura manteniendo aún constante la magnitud de la velocidad pero considerando un intervalo de tiempo  t mas pequeño y consecuentemente un. Aceleración Centrípeta o Radial

Al hacer la diferencia de vectores  v (por ej. v 2 – v 1 ), en la figura se aprecia que ésta apunta en dirección radial y hacia el centro de rotación independientemente del lugar en donde la queramos medir (por ej. v 4 – v 3 ). Además como la dirección y el sentido del vector aceleración es el mismo que del vector cambio de velocidad: la aceleración es radial y dirigida hacia el centro de rotación, de ahí que reciba el nombre de aceleración radial o centrípeta.  v cuando  t → 0 Aceleración Centrípeta o Radial  v v1v1 -v 1 v3v3 v2v2 v4v4 -v 3  v

Cualitativamente, también se aprecia que la diferencia de vectores tienen la misma magnitud. Para determinarla cuantitativamente, debemos tomar un  t próximo a cero, de tal manera que los puntos a y b se encuentren tan cercanos uno del otro que la parte curva del circulo entre dichos puntos pueda considerarse como una recta. Aceleración Centrípeta o Radial  v v1v1 -v 1 v2v2 a b c d e R R SS

De ésta forma, tendremos que  S será una línea recta entre el punto a y el punto b, formándose los triángulos aeb y bcd, que tienen las siguientes características: triángulo aeb triángulo bcd Dos lados iguales R v Uno desigual  S  v De la semejanza de triángulos tenemos que: dos o más triángulos son semejantes si tienen dos lados iguales y uno desigual. Dicho en otras palabras, el lado desigual (  S ) del triángulo aeb lo es al lado igual ( R ) como el lado desigual (  v ) del triángulo bcd lo es al lado igual ( v ). Aceleración Centrípeta o Radial  v v1v1 -v 1 v2v2 a b c d e R R SS

Magnitud de la Aceleración Centrípeta Traducido en lenguaje simbólico: despejando  v y dividiendo entre el intervalo de tiempo  t que tardó el cuerpo en ir del punto a al punto b donde:y sustituyendo lo anterior

Aceleración Centrípeta o Radial Siendo a = │ a │ la magnitud de la aceleración del cuerpo, v = │ v │ la magnitud de la velocidad del cuerpo y R el radio de la trayectoria circular Como la aceleración es radial y dirigida hacia el centro de rotación, se le agrega el subíndice r para diferenciarla de la aceleración lineal o tangencial. De ésta forma:

Aceleración Centrípeta o Radial Para expresarla en forma vectorial, se define el vector unitario que es un vector cuya magnitud es la unidad, su dirección es a lo largo del radio y su sentido es saliendo del centro y dirigiéndose hacia la posición de la partícula. Se puede decir que constantemente está cambiando su dirección (con respecto a un sistema de coordenadas x, y), ya que sigue a la partícula en toda su trayectoria circular. Además, como la aceleración apunta en sentido contrario al vector unitario es decir, en dirección entonces: La magnitud de la aceleración, expresada en función de la velocidad angular, la frecuencia y el período es:

Todos los movimientos analizados hasta el momento, tales como el rectilíneo uniforme, el uniformemente acelerado, el parabólico y el circular uniforme, son de los movimientos mas sencillos que se producen en la naturaleza y se han tratado de una forma aislada. Sin embargo, en la vida cotidiana lo que se observa en realidad es una combinación de ellos como por ejemplo: Un automóvil que se desplaza con velocidad constante sobre una carretera horizontal y que tiene una curva en el camino. El conductor, al observar la curva disminuye su velocidad pasando de un movimiento rectilíneo uniforme a uno uniformemente acelerado (desacelerado), ya que empieza a frenar para poder entrar a la curva con menor velocidad y no derrapar en el pavimento. Al entrar a la curva, dependiendo de la velocidad que lleve en ese momento, puede agarrarla con esa misma velocidad, pasando a un movimiento circular uniforme. Aproximadamente después de la mitad de la curva, el conductor vuelve a acelerar, pasando a un movimiento circular no uniforme, continuando acelerando al salir de la curva hasta alcanzar nuevamente la velocidad de crucero (velocidad de viaje). Esto lo ilustramos en la siguiente figura: Movimiento Circular no Uniforme

rectilíneo uniforme rectilíneo uniformemente acelerado circular no uniforme rectilíneo uniformemente acelerado rectilíneo uniforme R circular uniforme

Movimiento Circular no Uniforme Analicemos el movimiento circular no uniforme en el cual tanto la magnitud de la velocidad así como la dirección y sentido están variando. Analicemos el movimiento circular no uniforme en el cual tanto la magnitud de la velocidad así como la dirección y sentido están variando.  v v1v1 -v 1 v2v2  v v1v1 -v 1 v2v2 a b c d e R R SS

Movimiento Circular no Uniforme  v v1v1 -v 1 v2v2 a b c d e R R SS  v r  v t Eje radial Eje tangente

Movimiento Circular no Uniforme Nuevamente, al hacer la diferencia de vectores, encontramos un cambio en la velocidad, pero a diferencia del movimiento anterior, éste ya no apunta en dirección radial. Pero como es un vector, la podemos descomponer en dos componentes rectangulares, una radial y otra tangencial.  v =  v r +  v t y la aceleración del cuerpo será: donde el término: es la aceleración radial o centrípeta que encontramos en la sección anterior, y es la aceleración lineal del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, la cual viene expresada por:

Movimiento Circular no Uniforme Como es un movimiento circular, la velocidad lineal se expresa en cantidades angulares como: v =  r sustituyendo tenemos que: además: que es conocida con el nombre de aceleración angular media (  m )

Movimiento Circular no Uniforme Tomando el límite cuando el intervalo de tiempo tiende a cero: y cuando la aceleración angular media es una constante, ésta será también igual a la aceleración en cualquier instante de tiempo, es decir: de donde: Por lo tanto, la aceleración del cuerpo que se mueve en una trayectoria circular con velocidad variable y aceleración angular constante es:

Aunque ya tenemos la relación entre ambas cantidades, éstas se obtuvieron suponiendo que la rueda se encontraba girando en la misma posición, ahora combinaremos dos movimientos simultáneos: el lineal y el rotacional. Un ejemplo de ello es cuando un carrete desenrolla una cuerda o una rueda se desliza por el suelo, lo cual se ilustra en la siguiente figura: Cantidades Tangenciales y Angulares r A B   r A B s s = r  r A B s 

En dado caso de que el carrete rotara en la misma posición, para que el punto B ocupe la posición del punto A, debe de girar un ángulo  el cual por definición viene expresado como:  s/r en donde por definición de ángulo,  debe de medirse en radianes. Al arco de circunferencia también se le llama distancia tangencial por ser medido tangencialmente al borde del carrete, y viene expresado por: s = r  Como tenemos dos movimientos simultáneos, el rotacional al girar y el lineal al avanzar el carrete, al observar la figura anterior, se tiene que la distancia lineal que recorre la rueda al girar un arco de circunferencia s = r , es igual a la distancia tangencial que recorre el borde. Lo anterior nos permite relacionar el movimiento lineal con el rotacional. Cantidades Tangenciales y Angulares

Más aún, si se observa la siguiente ilustración en que una rueda gira con su eje de rotación en la misma posición levantando un cuerpo, se ve que existe una relación similar en la forma en que la cuerda se enrolla en su borde. A medida que un punto del borde recorre una distancia tangencial s al girar, en el borde se enrolla una longitud s de la cuerda. Cantidades Tangenciales y Angulares s r r  s s = r 

Más aún, si se observa la siguiente ilustración en que una rueda gira con su eje de rotación en la misma posición levantando un cuerpo, se ve que existe una relación similar en la forma en que la cuerda se enrolla en su borde. A medida que un punto del borde recorre una distancia tangencial s al girar, en el borde se enrolla una longitud s de la cuerda. Cantidades Tangenciales y Angulares s r r  s s = r 

Cantidades Lineales y Angulares Comparación entre las ecuaciones de movimiento LinealesAngulares s = s 0 + v m (t – t 0 )  =  0 +  m (t – t 0 ) v = v 0 + a (t – t 0 )  =  0 +  (t – t 0 ) v m = ½ (v + v 0 )  m = ½ (  +  0 ) v 2 - v 0 2 = 2 a (s – s 0 )  2 -  0 2 =2  (  –  0 ) s = s 0 + v 0 t + ½ a (t - t 0 ) 2  =  0 +  0 t + ½  (t - t 0 ) 2 Nota:Para convertir cantidades angulares a lineales, las primeras deben de estar expresadas en radianes