Permutaciones y Variaciones con elementos repetidos IIIº Medio 2019 Clase Nº 6

Objetivo Comprender el concepto de permutaciones con elementos repetidos. Resolver situaciones de probabilidad utilizando permutaciones y variaciones, valorando la flexibilidad y creatividad en la búsqueda de soluciones.

Permutaciones con elementos repetidos Cuando se tienen “n” objetos que se quieren ordenar, pero dentro de ellos existen elementos iguales entre si, hablamos de una permutación con elementos repetidos o con repetición.

Entonces, si dentro del total de n elementos hay uno que se repite “a” veces, otro “b” veces, otro “c” veces, etc. La notación para esta permutación es: nPa,b,c,… ó Pna,b,c… ó nPRa,b,c,… ó PRna,b,c… ¿Cómo será la cantidad de maneras de ordenar estos elementos en comparación con una permutación sin elementos repetidos? ¿Serán o menos formas?

Sí, son menos posibilidades, ya que al existir elementos repetidos hay opciones que se repiten. Ejemplo: ¿Cuántas señales diferentes se pueden hacer con 6 banderines si de ellos 2 son rojos, 3 verdes y uno morado

Variación con repetición Se denomina variación con repetición al proceso de seleccionar y ordenar “r” objetos de un conjunto de “n”, donde se pueden repetir los elementos. Su notación es: 𝑉 𝑟 𝑛 ó 𝑉𝑅 𝑟 𝑛 = 𝑛 𝑟

Como las identificamos 𝐶𝑜𝑛 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑃𝑒𝑟𝑚𝑢𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑆𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖𝑐𝑖ó𝑛→ 𝑃 𝑛 =𝑛! 𝐶𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖𝑐𝑖ó𝑛→ 𝑃 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑛 = 𝑛! 𝑎!𝑏!𝑐! 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑆𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖𝑐𝑖ó𝑛→ 𝑉 𝑟 𝑛 = 𝑛! 𝑛−𝑟 ! 𝐶𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖𝑐𝑖ó𝑛→ 𝑉𝑅 𝑟 𝑛 = 𝑛 𝑟 𝑆𝑖𝑛 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛→ …

Ejemplo ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ? n = 5     r = 3 No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3. Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321 Sí se repiten los elementos.

Ejercicios 1. Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar? n = 9     a = 3     b = 4     c = 2     a + b + c = 9

2. ¿De cuántas maneras es posible plantar en una línea divisoria de un terreno dos nogales, cuatro manzanos y tres ciruelos? 3.  Si un equipo de fútbol participa en 12 juegos en una temporada, ¿cuántas maneras hay de que entre esos doce juegos en que participa, obtenga 7 victorias, 3 empates y 2 juegos perdidos? Respuestas: 2. 1260 3. 7.920

4. ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5? 5. A un concurso literario se han presentado 10 candidatos con sus novelas. El cuadro de honor lo forman el primer, segundo y tercer lugar. ¿Cuántos cuadros de honor se pueden formar? 6. En el mástil de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas? Respuestas 4. 180 5. 720 6. 1260