Tiempos óptimos de detención y opciones reales en decisiones agrícolas Manuel Calderón mcalderon@ucema.edu.ar mcalderon@bakaisolutions.com

Acopio, venta e irreversibilidad Un problema que enfrentan los productores agrícolas es la decisión de cuándo es el momento óptimo de vender la cosecha. Si los productores tienen capacidad de acopio (propia o contratada) y si para ellos la venta del grano es total o parcialmente irreversible (por ejemplo por elevados costos de transacción) entonces el problema que enfrentan es semejante al de ejercer una opción de venta americana.

Opciones reales y tiempo óptimo de ejercicio La pregunta es entonces cuándo es el mejor momento de dejar de acopiar (opción de espera) para vender el grano. Este es un ejemplo de las llamadas opciones reales (similares a las opciones financieras pero que se dan en el ámbito de las inversiones “reales”). La solución de este problema se plantea en términos de encontrar el tiempo óptimo de detención (“optimal stopping time”) de la espera, es decir, el momento que maximiza los beneficios netos descontados de la venta del grano.

Frontera de ejercicio Dado que el precio del grano es un proceso estocástico, y que el tiempo óptimo de detención depende entre otras cosas del precio del grano, el tiempo óptimo de detención es una variable aleatoria: cuando se inicia la espera para vender no se sabe con certeza en qué momento se venderá el grano (ya que depende de la realización de los precios). La solución del problema se da en términos de una frontera de ejercicio (“exercise boundary”) que indica para cada momento de tiempo cuál es el precio mínimo que gatillaría la decisión de venta.

Frontera de ejercicio La frontera de ejercicio separa el plano tiempo-precio en dos conjuntos, una región de continuación o de espera y una región de ejercicio. Frontera de ejercicio Región de ejercicio Precio del grano Precio Tiempo óptimo de venta Región de continuación tiempo

Planteo formal del problema de optimización La frontera de ejercicio es la solución de un problema de optimización dinámica estocástica, consistente en maximizar el valor presente del flujo temporal de beneficios netos esperados para el agricultor/acopiador. Las variables de estado del problema son el precio del grano, el tiempo transcurrido, y la cantidad acopiada; la variable de control es la venta o no venta (espera) del grano acopiado. El horizonte de optimización es finito, dado que se supone que el tiempo máximo de acopio es hasta la próxima cosecha.

Planteo del problema en tiempo discreto Suponiendo un proceso estocástico de los precios de tipo markoviano, y utilizando el principio de optimalidad de Bellman, la solución del problema satisface la siguiente ecuación (ecuación de Bellman):

Planteo del problema en tiempo discreto La ecuación de transición del grano acopiado es: La ecuación de transición del precio del grano es: Que el precio dependa del tiempo permite introducir estacionalidad en el proceso estocástico del precio (básicamente en sus dos primeros momentos: esperanza y varianza condicionales), un fenómeno observado en los mercados de commodities agrícolas (Geman & Nguyen, 2005; Geman, 2005)

Planteo del problema en tiempo discreto Es importante notar que la función de valor depende del tiempo, esto se debe a que el problema es de horizonte finito. La consecuencia de que la función de valor sea una función del tiempo hace que la frontera de ejercicio sea una curva, que termina en el momento de tiempo que establece el horizonte final del problema. También la estacionalidad de los precios influye sobre la forma de la frontera de ejercicio.

Planteo del problema en tiempo discreto Para este problema (por la linealidad de la función de beneficios) la ecuación de Bellman se puede reexpresar en términos de una función de valor unitaria (Fackler & Livingston, 2001) y la solución siempre va a ser de esquina, es decir, que si se decide vender se vende todo el grano acopiado:

Planteo del problema en tiempo discreto Dado el horizonte finito y el tiempo discreto, este problema se puede resolver por inducción hacia atrás, partiendo de resolver la función de valor en el último período. Como en este último período suponemos que todo el stock acopiado debe ser vendido, debe cumplirse que

Planteo del problema en tiempo discreto El problema consiste entonces en resolver Que es la misma formulación que para el valor de un american call con strike igual a 0. La solución es:

Planteo del problema en tiempo discreto La frontera de ejercicio se obtiene resolviendo para cada momento la condición Siendo estos los precios que definen la frontera de ejercicio. Por lo que podemos reexpresar la solución del problema en términos de la frontera como:

Planteo del problema en tiempo continuo Para modelar el problema en tiempo continuo, la ecuación de Bellman resultante es: Donde ahora las ecuaciones de transición de las variables de estado son:

Planteo del problema en tiempo continuo Aplicando el Lema de Ito a la función de valor, la transformación en función de valor unitaria y el operador esperanza, la ecuación de Bellman queda expresada en la siguiente ecuación en derivadas parciales (Fackler & Livingston, 2001), que se debe verificar en la región de continuación del problema (mientras el grano no se vende): junto con las siguientes condiciones adicionales:

Planteo del problema en tiempo continuo La frontera de ejercicio es parte de la solución del problema, por eso este problema de los problemas de optimización dinámica con condiciones de frontera libres o “free boundary problems”. Nuevamente en el caso continuo se nota la similitud con la expresión del valor de un “american call option” con vencimiento en T y strike igual a K dada por:

Planteo del problema en tiempo continuo La solución del problema en tiempo continuo consiste en aproximar una solución para la ecuación en derivadas parciales por métodos numéricos (hasta ahora no tiene solución analítica). Esto se puede hacer por varios métodos diferentes (Miranda & Fackler, 2002; AitSahlia & Lai, 2001) como aproximaciones por linear splines o por diferencias finitas.

Planteo del problema en tiempo continuo Fackler & Livingston (2001) aproximan una frontera optima de ejercicio para un proceso de precios browniano con estacionalidad de esperanza y varianza a partir de datos los EEUU.

Conclusiones La principal conclusión es que varios tipos de estrategias sub-óptimas llevan a vender demasiado rápido el grano acopiado, es decir, tienen fronteras de ejercicios menores a las óptimas en todo el intervalo temporal de decisión Una cuestión importante a tener en cuenta en la modelación de este tipo de problemas son los supuestos acerca del proceso de los precios y la incertidumbre ya que diferentes suposiciones llevan a variaciones en las soluciones que pueden ser considerables (Boyarchenko & Levendorskii, 2007).

Referencias AitSahlia & Lai (2001), Exercise boundaries and efficient approximations to American option prices and hedge parameters Bayarchenko & Levendorskii (2007), Irreversible Decisions under Uncertainty Dixit & Pindyck (1994), Investment under Uncertainty Geman (2005), Commodities and Commodity Derivatives Geman & Nguyen (2005), Soybean Inventory and Forward Curve Dynamics Fackler & Livingston (2001), Optimal On-Farm Storage Miranda & Fackler (2002), Applied Computational Economics and Finance