Generación numérica de mallas hexaedrales estructuradas. Javier de Jesús Cortés Aguirre. Pablo Barrera Sánchez. Guilmer González Flores. Facultad de Ciencias, UNAM. Escuela Nacional de Optimización y Análisis Numérico. Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo. Marzo 2010.

Índice. Problema principal. Estado del arte. Principales aportaciones. Trabajo futuro. Bibliografía.

1. Problema principal. Problema principal. En diversas aplicaciones es de gran utilidad tener una malla estructurada de buena calidad con el fin de hacer simulaciones numéricas de fenómenos de la vida real. Sea convexa y hexaedral estructurada. Tenga características geométricas afines al problema a resolver. Sea aprovechable por métodos de elemento o volumen finito.

Problema principal. Algunas aplicaciones: Modelación de yacimientos de hidrocarburos y de aquíferos. Estudio de diversas aplicaciones referentes a la solución de las ecuaciones de aguas bajas (Shallow water equations).

Problema principal. 1. Problema principal. Algunas aplicaciones:

Hexaedros vs Tetraedros. 2. Estado del arte. Mallas hexaedrales estructuradas. Mallas con tetraedros. Proceso de generación costoso. Proceso de generación económico. Mayor precisión con menos Elementos. Precisión similar con un mayor no. de elementos (un orden de magnitud). Menor número de iteraciones en los Mayor número de iteraciones. métodos de elemento finito. Son preferidas en ciertas aplicaciones.

Antecedentes. 2. Estado del arte. El mapeo debe inducir una descomposición natural de la frontera de la región en seis caras

Antecedentes. Mallas hexaedrales. Trabajo de Ivanenko. 2. Estado del arte. Antecedentes. Mallas hexaedrales. Trabajo de Ivanenko. Ivanenko [6] define un método variacional para generar mallas armónicas y convexas. Considera a una malla sobre una región simplemente conexa como un homeomorfismo donde B es el cubo unitario [0,1] x [0,1] x [0,1].

2. Estado del arte. Trabajo de Ivanenko Un tipo especial de mapeo es el mapeo armónico, el cual da propiedades de suavidad a la malla. Sea la energía local del mapeo Ivanenko define al mapeo armónico como el mínimo del funcional de energía Liseikin [11] muestra que el mapeo existe y es un homeomorfismo.

Trabajo de Ivanenko. 2. Estado del arte. Si consideramos una malla uniforme de dimensión m x n x p sobre el cubo unitario podemos aproximar al funcional continuo como

Trabajo de Ivanenko. 2. Estado del arte. Para ello es necesario aproximar al mapeo por un mapeo trilineal El Jacobiano del mapeo está dado por el cual es un polinomio de cuarto grado que depende de

Trabajo de Azarenok. 2. Estado del arte. Una alternativa dada por Azarenok consiste en considerar a los 2 dodecaedros que resultan de hacer los cortes sobre las diagonales de la celda. 2 1 4 3 5 7 6 8 2 1 4 3 5 7 6 8

Trabajo de Azarenok. Se puede ver que 2. Estado del arte. Se puede ver que la positividad de los volúmenes de los tetraedros garantiza la positividad del Jacobiano y a su vez la invertibilidad del mapeo. 5 5 8 8 6 7 6 7 1 4 1 2 3 3 2

Trabajo de Azarenok. 2. Estado del arte. Podemos obtener una aproximación del funcional en cada celda calculando el promedio sobre los 10 tetraedros y por tanto una versión discreta del funcional de energía El problema a resolver está dado por: el cual es un problema de optimización a gran escala sin restricciones.

2. Estado del arte. Trabajo de Ushakova. Dentro de los aportes que ha realizado Ushakova [14] destaca el proporcionar una condición barata y suficientemente robusta para detectar un número razonable de celdas no convexas.

Dificultades numéricas del funcional de Azarenok. 3. Principales aportaciones. Dificultades numéricas del funcional de Azarenok. La discretización del funcional de energía dada por Azarenok está bien definida solo para mallas convexas. Recordando que el integrando del funcional es de la forma , con Nuestro interés principal consistirá en extender la solución del problema, mediante un funcional quasi-armónico utilizado con éxito para la generación de mallas en 2D (Barrera, Domínguez Mota [2]).

Un nuevo funcional quasi-armónico. 3. Principales aportaciones. La idea principal del funcional quasi-armónico consiste en utilizar un parámetro de control 17

Algoritmo (Mallas armónicas convexas). 3. Principales aportaciones. Por tanto, el problema a resolver es el siguiente: Algoritmo: Partir de una malla inicial M0. Elegir inicial. Obtener usando un método de Newton truncado. Actualizar Repetir el proceso hasta encontrar una malla armónica convexa.

Ejemplos. 3. Principales aportaciones.

Mallas hexaedrales. 3. Principales aportaciones. Problema. Al realizar el proceso anterior, la malla obtenida no tiene, en general, todas las caras de sus celdas planas, es decir, no todas son hexaedros.

Condición de coplanaridad . 3. Principales aportaciones. Tomando las caras de la celda como un tetraedro, es posible aplicar la siguiente condición sin embargo obtenemos ahora un problema de optimización a gran escala con restricciones.

El Funcional modificado. 3. Principales aportaciones. Utilizamos una penalización del tipo la cual agregamos al valor del funcional. Así obtenemos el problema de optimización a gran escala sin restricciones dado por: el cual está bien definido para el caso en que se busque generar una malla con todas sus celdas interiores hexaedrales.

Algunos problemas numéricos. 3. Principales aportaciones. Al realizar experimentos numéricos con la condición de coplanaridad mencionada, existen casos en los que el método no logra converger a una malla hexaedral. Malla ¿Se obtiene coplanaridad por el criterio 1? Cos 5-5-10 No. Vol max =0.0243004. Hay un 100% de celdas no hexaedrales. Cisne 7-7-5 Vol max =4.96*10-5. Hay un 97% de celdas no hexaedrales. Pico 10-10-10 Vol max =0.00036997. Hay un 77% de celdas no hexaedrales.

Nueva condición de coplanaridad . 3. Principales aportaciones. En vista de este problema, se ha formulado una nueva condición de coplanaridad. D C A B

Experimentos numéricos. 3. Principales aportaciones. Malla ¿Se obtiene coplanaridad por el criterio 1? ¿Se obtiene coplanaridad por el criterio 2? ¿Existe coplanaridad por el criterio 1 al converger el crierio 2? Cos 5-5-10 No. Vol max =0.0243004. Hay un 100% de celdas no hexaedrales. Si. Cos max = 3.64*10-8 Vol max = 4.53*10-6 Cisne 7-7-5 Vol max =4.96*10-5. Hay un 97% de celdas no hexaedrales. Cos max = 3.52*10-8 Vol max = 6.97*10-6 Pico 10-10-10 Vol max =0.00036997. Hay un 77% de celdas no hexaedrales. Cos max = 1.88*10-8 Vol max = 1.47*10-9 Bote 15-15-10 Vol max = 7.38*10-10 Cos max = 1.22*10-8 Vol max = 2.6*10-10

Algoritmo (Mallas hexaedrales). 3. Principales aportaciones. Algoritmo: Partir de una malla inicial convexa M0 (obtenida por el proceso anterior). Elegir , con iniciando en 0.1 y tol = . Obtener usando un método de Newton truncado. Actualizar Repetir el proceso hasta encontrar una malla armónica convexa y hexaedral.

Ejemplos 3. Principales aportaciones.

Estudio de aplicaciones. Artículo de Randall LeVeque. 3. Principales aportaciones. Estudio de aplicaciones. Artículo de Randall LeVeque. El artículo describe una clase de mallas cuadrilaterales y hexaedrales para resolver EDP’s hiperbólicas en dominios circulares y esféricos. Haciendo uso del sistema CLAWPACK, se calcula la solución usando métodos de volumen finito. Ondas de choque.

Ondas de choque. 3. Principales aportaciones. Las mallas utilizadas para realizar las simulaciones son las siguientes:

Ondas de choque. Condiciones iniciales: 3. Principales aportaciones. Condiciones iniciales: p = 5 dentro de una esfera de radio 0.2 centrada en x = y = 0, z = −0.4. Fuera de esta esfera, p = 1. La densidad y velocidades iniciales son igual a 1 y 0 respectivamente. Condiciones de pared sólida.

Simulación sobre las 2 mallas de la esfera. Ondas de choque. 3. Principales aportaciones. Simulación sobre las 2 mallas de la esfera. Simulación sobre la malla radial. Simulación sobre la malla armónica convexa y hexaedral.

Ondas de choque (3D). 3. Principales aportaciones. Simulación sobre el elipsoide realizada con una malla armónica convexa y hexaedral

4. Trabajo futuro. Trabajo futuro. Analizar las posibles formas de generar mallas iniciales, sobre todo en regiones con una geometría compleja.   Continuar con la experimentación y calibración de los diversos funcionales. Estudiar más aplicaciones en EDP’s.

Bibliografía. 5. Bibliografía. [1] Azarenok B., A variational hexaedral grid generator with control metric. Journal of Computational Physics 218 (2006), pp. 720-747. [2] Barrera P., Castellanos L., Domínguez-Mota, F.J., González G. y Pérez A., Adaptive discrete harmonic grid generation. Mathematics and Computers in Simulation 79 (2009), pp. 1792-1809. [3] Benzley S. E., Perry E., Merkley K., Clark B. y Sjaardema G., A Comparison of All- Hexahedral and All-Tetrahedral Finite Element Meshes for Elastic and Elasto-Plastic Analysis. Proceedings, 4th International Meshing Roundtable, 179-191 (1995). [4] Cifuentes A.O. y Kalbag A., A Performance Study of Tetrahedral and Hexahedral Elements in 3-D Finite Element Structural Analysis. Finite Elements in Analysis and Design, 12, 313-318 (1992). [5] Golias N.A. y Tsiboukis T.D., An Approach to Refining Three-Dimensional Tetrahedral Meshes Based on Delaunay Transformations. Intl. J. Numer. Meth. Eng., vol. 37, pp. 793-812, 1994. [6] Ivanenko S.A. y Charakhch'yan A.A., Curvilinear Grids of Convex Quadrilaterals. U.S.S.R. Comput. Maths. Phys., Vol 28, No. 2, 1998.

Bibliografía. 5. Bibliografía. [7] Khattri S. K. y Fladmark G., Hexahedral Mesh by Area Functional. ICNAAM 2005. International conference on numerical analysis and applied mathematics 2005. [8] Knupp P. y Robidoux N., A Framework for Variational Grid Generation: Conditioning the Jacobian Matrix with Matrix Norms. SIAM J. Sci. Comput., vol 21, No. 6, pp. 2029-2047, 2000. [9] Knupp P.M., y Steinberg S., The fundamentals of Grid Generation. Willey & Sons, New York, 1993. [10] LeVeque R., Calhoun D. y Helzel C., Logically Rectangular Grids and Finite Volume Methods for PDEs in Circular and Spherical Domains. SIAM Review, Vol. 50, No. 4, pp. 723- 752, 2008. [11] Liseikin V.D., Grid Generation Methods. Springer-Verlag, New York, 1999. [12] Owen S., Non-Simplical Unstructured Mesh Generation. Phd. Thesis, Carnegie Mellon University, Pittsburgh, PA. U.S.A., April, 1999. [13] Shewchuk J. R., Tetrahedral Mesh Generation by Delaunay Refinement, Proc. 14th Annu. ACM Sympos. Comput. Geom, pp.86-95, 1998. [14] Ushakova O., Conditions of nondegeneracy of three-dimensional cells. A formula of a volume of cells. SIAM J. Sci. Comp., Vol. 23, No. 4., pp 1274-1290.

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