CÓMO SACAR JUGO AL CUADRADO DE OPOSICION Alejandro Herrera Ibáñez aherr@filosoficas.unam.mx

EL CUADRADO sAp sEp sIp sOp

PROPOSICIONES CATEGORICAS sAp Todos los S son P sEp Ningún S es P sIp Algunos S son P sOp Algunos S no son P

QUE SE PUEDE ENSEÑAR Destreza en dobles negativos. Negación interna y externa. Modus Ponens y Modus Tollens. Falacia de negación del antecedente. Fal. de afirmación del consecuente. Metodología de la ciencia. Relación con varias lógicas. Más allá del cuadrado: cubo de oposición.

LA OBVERSION REGLA sAp = sE~p (1) pasar a la letra (sub)contraria sEp = sA~p sIp = sO~p sOp = sI~p REGLA (1) pasar a la letra (sub)contraria (2) negar la letra del predicado

EQUIVALENCIAS sAp = sE~p = ~pEs = ~pA~s sEp = sA~p = pEs = pA~s sIp = sO~p = pIs = pO~s sOp = sI~p = ~pIs = ~pO~s

CUADRADO CON EQUIVALENCIAS sAp sE~p sEp sA~p ~pA~s ~pEs pEs pA~s sIp sO~p sOp sI~p pIs pO~s ~pO~s ~pIs

NEGACIÓN DE LA CONTRADICTORIA ~(sAp) = sOp ~(sEp) = sIp ~(sIp) = sEp ~(sOp) =sAp No todos* = Algunos no No es cierto que ninguno = Algunos No es cierto que algunos = Ninguno No es cierto que algunos no = Todos *Dificultad de comprensión con "no todos". Inclusive con ejemplos como: "No todo lo que brilla es oro".

DOBLES NEGATIVOS 1 ~(sA~p) (no todos los hombres son infieles) = sO~p (algunos hombres no son infieles) = sIp (algunos hombres son fieles). ~(sE~p) (no es cierto que ningún hijo es ingrato) = sI~p (algunos hijos son ingratos) = sOp.

DOBLES NEGATIVOS 2 ~(sI~p) (no es cierto que algunos gobernantes no roban) = sE~p (*ningún gobernante no roba) = sAp (todos los gobernantes roban). ~(sO~p) (No es cierto que algunos torturadores no son inclementes) = sA~p (todos los torturadores son inclementes) = sEp (ningún torturador es clemente).

NEGACIÓN INTERNA Y NEGACIÓN EXTERNA 1 ~(sAp) ≠ sA~p. No todos ≠ todos no ~(sEp) ≠ sE~p. No ning. ≠ ning. no ~(sIp) ≠ sI~p. No alg. ≠ alg. no ~(sOp)≠sO~p. No alg. no ≠ alg. No No todos = algunos no. No ninguno = algunos. No algunos = ninguno. No algunos no = Todos.

NEGACIÓN INTERNA Y NEGACIÓN EXTERNA 2 No todos los que se adelanten serán registrados = algunos que se adelanten no serán registrados. O sea, ~(sAp) = sOp. Todos los que se adelanten no serán registrados = Ninguno que se adelante será registrado. O sea, sA~p = sEp.* *Nótese que ~(sAp)=sOp=sI~p. *Igualmente, ~(sEp)=sIp=sO~p. *RESUMIENDO: LA NEGACION EXTERNA DE LAS UNIVERSALES EQUIVALE A LA NEGACION INTERNA DE SUS SUBALTERNAS.

NEGACIÓN INTERNA Y NEGACIÓN EXTERNA 3 No es cierto que ningún soldado sea inteligente = algunos soldados son inteligentes. O sea, ~(sEp) = sIp. *Ningún soldado es no inteligente = todos los soldados son inteligentes. O sea, sE~p = sAp.

NEGACIÓN INTERNA Y NEGACIÓN EXTERNA 4 No es cierto que algunos astronautas sean alcohólicos = ningún astronauta es alcohólico. O sea, ~(sIp) = sEp. Algunos astronautas son no alcohólicos = Algunos astronautas no son alcohólicos. O sea, sI~p = sOp.* *Nótese que ~(sIp) implica sI~p, puesto que ~(sIp)=sEp, y sEp implica sOp, y sOp equivale a sI~p ! *Igualmente ~(sOp) implica sO~p, puesto que ~(sOp)=sAp, y sAp implica sIp, y sIp equivale a sO~p ! *RESUMIENDO: LA NEGACION EXTERNA DE LAS PARTICULARES IMPLICA SU NEGACION INTERNA. [PASAR ESTE TEXTO A LA SIGUIENTE FILMINA].

NEGACIÓN INTERNA Y NEGACIÓN EXTERNA 5 No es cierto que algunos líderes no son valientes = todos los líderes son valientes. O sea, ~(sOp) = sAp. *Algunos líderes no son no valientes = algunos líderes son valientes. O sea, sO~p = sIp.*

RESUMIENDO AL NEGAR EXTERNAMENTE, SE OBTIENE LA CONTRADICTORIA AL NEGAR INTERNAMENTE, SE OBTIENE LA (SUB)CONTRARIA A no es no B = A es B No(A es B)≠A no es B A no es B =A es no B* *A es no B = A es (in-,des-,dis-,a-,contra-,...)B. *SIN EMBARGO, se exceptúan algunos casos, como: inmoral, que no significa lo mismo que amoral. *TAMBIEN, debe tenerse presente, que in- no siempre es privativo, sino que puede indicar dirección; p.ej., inflamable.

MODUS PONENS sAp → sIp, sAp / sIp. Si todos los aquí presentes van, entonces algunos aquí presentes van, y es el caso que todos los aquí presentes van. Por tanto, algunos aquí presentes van.

MODUS TOLLENS sAp → sIp, ~(sIp) / ~(sAp). ~(sIp) = sEp, sEp → sOp, sOp = ~(sAp). O también: Si I es falsa (~I), E es verdadera; y si E es verdadera, A es falsa (~A).

FALACIA DE NEGACIÓN DEL ANTECEDENTE sAp → sIp, ~(sAp) / ~(sIp). ~(sAp) = sOp=sI~p, y sI~p no implica ~(sIp). ~(sIp)=sEp, y sEp no se obtiene ni de sIp ni de sOp.

FALACIA DE AFIRMACIÓN DEL CONSECUENTE sAp → sIp, sIp / sAp. sIp=~(sEp). Cuando sIp es verdadera o sEp es falsa, sAp es indeterminada.

METODOLOGÍA DE LA CIENCIA CONFIRMACIONES Para probar que todos los A son B, hay que probar que cada miembro de A es B. Para probar que ningún A es B, hay que probar que cada miembro de A no es B. Para probar que algún A es B, basta encontrar un caso de A que sea B. Para probar que algún A no es B, basta probar que un caso de A no es B.

METODOLOGÍA DE LA CIENCIA REFUTACIONES Para refutar que todos los A son B, basta encontrar un caso de A que no sea B. Para refutar que ningún A es B, basta encontrar un caso de A que sea B. Para refutar que algunos A son B, hay que probar que ningún A es B. Para refutar que algunos A no son B, hay que probar que todos los A son B.

PRUEBAS Y REFUTACIONES Para probar las universales, hay que ir caso por caso. Para probar las particulares, basta un caso. Para refutar las universales, basta un caso. Para refutar las particulares, hay que ir caso por caso.

RESUMIENDO Es más fácil probar las particulares. Es más fácil refutar las universales. Es más difícil refutar las particulares. Es más difícil probar las universales.

RELACION CON VARIAS LOGICAS Aristotélica. T , A Cuantificacional. (X), E Modal. □ , ◊ Deóntica. O , P Temporal. S , V Probabilística. C , P Epistémica. K , B

CUADRADOS ISOMORFICOS Arist. Cuantif. Mod. Deónt Temp Prob. Epist. sAp (x) □p Op Sp Cp aKp sEp (x)~ □~p O~p S~p C~p aK~p sIp Ex ◊p Pp Vp aBp sOp Ex~ ◊~p P~p V~p aB~p

REGLA DE EQUIVALENCIA DE OPERADORES Sustitúyase el operador por su par. Niéguese a la izquierda. Niéguese a la derecha. Aplique doble negación, cuando sea el caso.

EQUIVALENCIAS ISOMORFICAS DE OPERADORES T= ~A~ (x)= ~E~ □= ~◊~ O= ~P~ S= ~V~ C= K= ~B~ A= ~T~ E= ~(x)~ ◊= ~□~ P= ~O~ V= ~S~ ~C~ B= ~K~ ~A= T~ ~(x)=E~ ~□= ◊~ ~O= P~ ~S= V~ ~P= C~ ~K= B~ ~T= A~ ~E= (x)~ ~◊= □~ O~ ~V= S~ ~C= ~B= K~

UNIVERSAL NEGATIVA E ISOMORFICOS T~ , todos no , ninguno, nadie, nada □~ , necesario que no, imposible O~ , obligatorio que no, prohibido Pero: K~, saber que no ≠ ignorar, pues ignorar es no saber: ~K.

SOBRE EL CUADRADO DEONTICO “LO QUE NO ESTÁ PROHIBIDO ESTÁ PERMITIDO” Prohibido = Obligatorio que no = O~ No prohibido = ~O~ = P = ¡permitido!

REDUCCIÓN A UN OPERADOR POR CUADRADO Sea O cualquier operador isomórfico. O O~ ~O~ ~O

DEL CUADRADO AL CUBO DE OPOSICIÓN CUADRADO COMPLEMENTARIO ~sA~p ~sE~p ~sI~p ~sO~p

EQUIVALENCIAS ~sA~p = ~sEp = pE~s = pAs ~sE~p = ~sAp = ~pE~s = ~pAs ~sI~p = ~sOp = ~pI~s = ~pOs ~sO~p = ~sIp = pI~s = pOs

EL CUBO DE OPOSICIÓN ~sA~p ~sE~p sAp sEp ~sI~p ~sO~p sIp sOp