José Alfredo Cervantes Guzmán UMSNH Coautor: Jesús Rivera IX Encuentro Internacional de Didáctica de la Lógica Lógica de las Relaciones José Alfredo Cervantes Guzmán UMSNH Coautor: Jesús Rivera

Algebra de Relaciones ¿Qué es una Relación? Podemos entender de manera intuitiva a una relación como una propiedad que liga un elemento a con otro elemento b Algunas Operaciones Fundamentales Inclusión: Identidad:

Suma: Producto: Complemento: Relación Universal: Relación Nula:

Algunas Leyes del Algebra de Relaciones:

Propiedades de las Relaciones Reflexiva.- Irreflexiva.- No Reflexiva.-

Simetría.- Asimetría.- No Simétrica.-

Transitiva.- Intransitiva.- No Transitiva.-

Funciones En un esquema relacional “xRy” llamaremos a x relacionante y a y relacionado. Estableceremos tres clases de relaciones: Relaciones de uno a muchos o aquellas en las cuales todo y cada uno de los relacionados de una relación R tiene exactamente un relacionante. Relaciones de muchos a uno o aquellas en las cuales todos y cada uno de los relacionantes de una relación R tiene exactamente un relacionado. Relaciones de uno a uno o aquellas en las cuales todos y cada uno de los relacionantes de una relación R tienen exactamente un relacionado, y todos y cada uno de los relacionados de la misma relación R tienen exactamente un relacionante. Las funciones son relaciones de muchos a uno y de uno a uno. Las funciones constituyen, un tipo especial de relaciones.

¿Estructura? I A A

Relaciones entre la Lógica Proposicional y la Lógica de Primer Orden. Lenguaje de primer orden L, de un tipo dado. El tipo consta de los símbolos de predicado, de función y de constante y el resto de los símbolos son comunes a cualquier lenguaje de primer orden y son: a) Variables: b) Cuantificadores: c) Símbolos de Igualdad: d) Conectivos: e) Auxiliares:

Estructuras Algebraico-Relacionales de un tipo dado. Aquí el tipo corresponde al tipo de lenguaje del cual la estructura es interpretación. Las denotaremos con las letras A, B, C, etc.; y respectivamente con las letras latinas A, B, C, etc., a sus universos. La estructura A es una cuarteta Interpretación de términos. Si t es un término del lenguaje L y A es una estructura interpretación para L y S es una sucesión de elementos de su universo A, denotamos con la interpretación del termino t en la estructura con la sucesión de S. Satisfacción de fórmulas. Si es una fórmula del lenguaje L, A es una interpretación para L y S una sucesión de elementos de A, denotamos para abreviar que la fórmula es satisfecha por la sucesión S en la estructura A.

Verdad de Tarski. Si es fórmula de L y A es una interpretación para L Verdad de Tarski. Si es fórmula de L y A es una interpretación para L. con denotamos que es verdadera en A o que A es modelo de ; es decir que para toda sucesión S de elementos de A, Verdad universal. Si es fórmula de L. Con denotamos que es universalmente válida, es decir, que para toda interpretación A de L, . Es decir, es verdadera en toda interpretación de L. Consecuencia lógica. Si es un conjunto de fórmulas de L y es una fórmula de L, con denotamos que es consecuencia lógica de ; es decir, que para toda interpretación A de L y toda sucesión S de elementos de A, se cumple lo siguiente: si para toda , entonces . Satisfacibilidad. Si es un conjunto de fórmulas de L decimos que es satisfacible, si hay una interpretación A de L y una sucesión S de elementos de A, tales que para toda , entonces .

Consideremos a L un lenguaje de primer orden, fijo pero arbitrario; es decir, están dados los predicados, los símbolos de función y las constantes. Una fórmula de L se llama un bloque si es una fórmula atómica o es una cuantificación. Ejemplos de bloques: 1)Si P es un predicado de n argumentos y son términos, Es un bloque ya que es una fórmula atómica. 2) Es una cuantificación. No es un bloque debido hay que hay variables libres. Sea E el conjunto de todos los bloques de L. Una expresión es una sucesión de símbolos de L. Una Proposición se define como: 1)Los bloques son proposiciones 2)Si son proposiciones, entonces Son proposiciones. 3) Una expresión es una proposición sólo si lo es con base en 1) y 2)

Teorema 1 Para cualquier expresión : es una fórmula es una proposición Una valuación es una función v definida sobre el conjunto E y con valores en {0,1}. Es decir Dada una valuación v, definimos su extensión v* sobre todas las fórmulas de L, como:

Dada una interpretación para L: una estructura A y dada una sucesión S de elementos de A, definimos la valuación asociada Lema Sea fórmula cualquiera, A interpretación para L y S una sucesión de elementos de A. Entonces:

Teorema Principal: Toda Tautología es Universalmente válida Teorema Principal: Toda Tautología es Universalmente válida. Es decir si , entonces , pero no inversamente. Demostración: Sea . Supongamos que , entonces hay A, S tales que entonces por Lema, de donde no es tautología. Contraejemplos para el inverso:

Conclusión La comprensión de la Lógica de Relaciones es fundamental para profundizar en los estudios de Lógica a nivel medio y superior. Ya que permite conectar con conceptos vitales de la matemática, tales como las relaciones de orden y la noción de función, proponiendo un tratamiento alternativo ya que generalmente se reduce el estudio de las funciones a sus aspectos numéricos olvidando la estructura asociada a ella. Si nos fijamos más en las estructuras tendremos la posibilidad de encontrar similitudes entre distintas relaciones que aparentemente no tienen que ver entre sí, llegando en el caso finito a entender de manera clara la noción de relación isomorfica a través de la representación grafica de la relación..

Referencias Amor. M, José Alfredo. Lógica Proposicional dentro de la Lógica de premier orden. Serie: Notas de clase, vínculos matemáticos #113, 1993.Publicaciones del Departamento de Matematicas de la Facultad de Ciencias de la UNAM. Ferrater Mora, José. Leblane, Hugues. Lógica Matemática. Fondo de Cultura Económica. 1975. Amor. M, José Alfredo. Compacidad en la Lógica de Primer Orden y su relación con el teorema de completitud. Facultad de Ciencias UNAM, 2006

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