REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES DISCONTÍNUAS MEDIANTE ECUACIONES PARAMÉTRICAS EXACTAS, CERRADAS Y CONTÍNUAS Enrique Chicurel-Uziel

MOTIVACIÓN Cuando una función discontínua se expande en series de Fourier, aparecen oscilaciones espurias en los puntos de discontinuidad introduciendo un error de 9% que no disminuye por más que se aumente el número de términos de la serie. Esto se conoce como el fenómeno de Gibbs. J. W. Gibbs 1839-1903 J. Fourier 1768-1830

Sin embargo… 1913, L. Fejér, desarrolla su método de promedios. 1913 a la fecha, Muchos investigadores proponen una gran variedad de métodos que van disminuyendo la gravedad de los efectos del fenómeno de Gibbs. 1942, G. C. Danielson, C. Lanczos, método de factores σ, muy citado por investigadores posteriores. Hacia 1990 surge un grupo encabezado por D. Gottlieb en la Universidad de Brown que, entre otros métodos, propone uno que utiliza los polinomios de Gegenbauer. 2003, Aparece el artículo: B. D. Shizgal, Jae-Hun Jung, Towards the resolution of the Gibbs Phenomena, Journal of Computational and Applied Mathematics, Vol. 161, No. 1, 2003, pp. 41-65. que utiliza el método inverso de los polinomios de Gegenbauer. Durante un tiempo se consideró que el problema del fenómeno de Gibbs había quedado totalmente resuelto por este método. 2005, Aparece el artículo: J.P. Boyd, Trouble with the Gegenbauer reconstruction for defeating Gibbs´ phenomenon in the diagonal limit of Gegenbauer polynomial approximations, Journal of Computational Physics, Vol. 204, No.1, 2005, pp. 253-264 que señala serias limitaciones del método de los polinomios de Gegenbauer

En todos los métodos anteriores primero se establece la serie de Fourier y después, la misma, se reconstruye. Es decir que se trata de un post procesamiento. En este trabajo se utiliza un enfoque totalmente diferente.

Si el problema es la discontinuidad, eliminémosla pero, sin alterar las características básicas de la función

Escalón unitario de Heaviside O. Heaviside 1850-1925 h(x,a) = 0 x < a h(x,a) = 1 x ≥ a h(x,a) se utilizará como un “switch” para prender o apagar funciones

y(x) = 2 + 0.5(x-3) 2 3 ≤ x<7 y(x) = 4 7 ≤ x < 11 Ejemplo: función DISCONTíNUA y(x) = 2 + 0.5(x-3) 2 3 ≤ x<7 y(x) = 4 7 ≤ x < 11 Se puede representar con una sola ecuación: y(x) = [ h(x,3) – h(x,7) ] [ 2 + 0.5(x-3) 2 ] + [ h(x,7) – h(x,11) ] (4)

Vínculos Para darle existencia analítica a los vínculos recurrimos a la PARAMETRIZACIÓN

El parámetro u es la distancia a lo largo del desplazamiento de las coordenadas: desplazamientos en x de las funciones componentes más desplazamientos en y de los vínculos ° u=6 u=10 . u=2 u=6 u=0

Establecimiento gráfico de las funciones paramétricas Coordenada vs parámetro, C vs P Función vinculada x(u) e f y(x) c d u=6 a b 2 6 12 16 y(u) u=16 c u=12 u=2 u=6 d e u=20 b a f 2 6 12 16 Funciones paramétricas CONTÍNUAS

Establecimiento analítico de las ecuaciones paramétricas CONTíNUAS obtenidas a partir de las gráficas C vs P Gráficas de Coordenadas vs. parámetro, C vs P Graficación de las ecuaciones paramétricas para checar la validez de las mismas Se obtiene la función vinculada, por lo tanto, las ecuaciones paramétricas están correctas.

Expansión directa en series de Fourier 10 términos 30 términos 100 términos Viciada por el fenómeno de Gibbs, i.e.,oscilaciones espurias en los brincos Error = 9% por más términos que tenga la serie Expansión paramétrica en series de Fourier No hay oscilaciones espurias, i. e., no hay fenómeno de Gibbs Convergencia más rápida Ascenso y descenso verticales

Con la parametrización, primero se modifica la función original, después se establece la serie de Fourier. Se trata de un preprocesamiento. El fenómeno de Gibbs no se eliminó, sino que, simplemente, nunca surgió.

Se agradecen las revisiones de la presentación por parte de: Carlos Gómez Paco Godínez

estoica Gracias por su atención.