Capítulo 3. Radiación producida por cargas en movimiento En el electromagnetismo uno puede trabajar con las leyes de Maxwell y los campos eléctrico E y magnético B, o bien con los llamados potenciales escalar y vectorial, de los cuales es posible derivar E y B. En este capítulo se usa el enfoque de los potenciales escalar y vectorial y luego se deriva de ellos E y B. También se usa la propiedad de la Delta de Dirac:

Capítulo 3. Radiación producida por cargas en movimiento 1. Potenciales retardados. Considere partícula con carga q, moviéndose a lo largo de la trayectoria Velocidad: Densidades de carga y corriente: Carga total y corriente total: Usando la expresión para el potencial retardado ,

y las propiedades de la función ,  Reemplazando la expresión (1) e integrando en r’,  Haciendo el cambio de variables: podemos escribir donde En forma similar se encuentra que

Note que el argumento de la función  se anula para t'=tret dado por c(t-tret)=R(tret). Haciendo el cambio de variables: tenemos Por otro lado de la relación  donde Definiendo podemos escribir

 La integral se puede evaluar haciendo t''=0, o equivalentemente t'=tret ,  donde En forma análoga se demuestra que Estos son los potenciales de Lienard-Wiechert.

2. Campos electromagnéticos debidos a cargas en movimiento Difieren de los potenciales electromagnéticos estáticos en dos formas:  El factor  tiende a concentrar los potenciales en un angosto haz alrededor de la velocidad de la partícula, especialmente cuando la velocidad tiende a la de la luz.  Los potenciales están evaluados en el tiempo retardado. 2. Campos electromagnéticos debidos a cargas en movimiento Para encontrar los campos en (r,t) debemos determinar la posición y el tiempo retardados de la partícula: En ese instante la partícula tiene una velocidad: Diferenciando los potenciales se encuentra que: y

 El primer término del campo eléctrico se denomina campo de velocidad. Decae como 1/R2 y es la generalización de la ley de Coulomb para partículas en movimiento.  El segundo término es proporcional a la aceleración de la partícula y perpendicular a n, se denomina campo de aceleración. Decae como 1/R , y es el que hace posible que una partícula emita radiación. Campo de radiación: Note que los vectores E, B, y n forman una triada de vectores mutuamente perpendiculares y que:

3. Radiación de un sistema de partículas no relativistas. Para partículas no relativistas: La razón entre las magnitudes de los campos de radiación y de velocidad es: Si la partícula tiene una frecuencia de oscilación característica  (o bien nos enfocamos en la componente de Fourier a la frecuencia ), entonces:  Dentro de la zona cercana, R≤, el campo de velocidad es mas intenso que el campo de radiación (factor  c/u).  En la zona lejana, R >> (c/u), el campo de radiación domina, con su dominio relativo creciendo linealmente con R.

Fórmula de Larmor Cuando  <<1, los campos de radiación se pueden simplificar a : La magnitud de los campos es: donde  es el ángulo entre el vector aceleración y la dirección n. El vector de Poynting está en la dirección n y tiene por magnitud: La energía dW emitida por unidad de tiempo, en el ángulo sólido d, en la dirección n es igual a S multiplicado por dA=R2 d, 

Integrando sobre el ángulo sólido, tenemos que la potencia total emitida es: Fórmula de Larmor para la emisión producida por una partícula acelerada. Características:  Potencia emitida es  al cuadrado de las cargas y de la aceleración.  Radiación es dipolar ( sin2). No hay radiación a lo largo de la dirección de la aceleración y el máximo es emitido en la dirección 

Clase 9. Espectro de la radiación El espectro de la radiación depende de la variación temporal del campo eléctrico.  Se puede hablar del espectro de la radiación solo si conocemos las características del campo eléctrico sobre un intervalo de tiempo t. Consideremos que la radiación tiene la forma de un pulso finito. Podemos entonces expresar E(t) en términos de una integral de Fourier: El inverso de esta relación es: E() contiene toda la información acerca del comportamiento en frecuencias de E(t). E() es una función compleja.

Ya que E(t) es una función real se tiene que: Lo que queremos determinar es la distribución en frecuencia de la energía. La energía por unidad de tiempo y area es: La energía total por unidad de área emitida por el pulso es, entonces

Usando el teorema de Parseval para las transformadas de Fourier y que |E()|2 = |E(-)|2 ,   Podemos identificar la energía por unidad de área y unidad de frecuencia como: Note que esta expresión es válida solo para el pulso completo. Solo si el pulso se repite en una escala de tiempo T, podemos “formalmente” escribir:

Espectro de la radiación en el caso de la aproximación dipolar. En la aproximación dipolar tenemos que, Por simplicidad supongamos que el vector d yace en una sola dirección, de manera que De la transformada de Fourier de d(t), tenemos que, y por lo tanto

Usando la expresión anterior y la relación dA=Ro2 d, tenemos que la energía por unidad de ángulo sólido y frecuencia es, y por lo tanto,  El espectro de la radiación dipolar está directamente relacionado con la frecuencia de oscilación del momento dipolar.

Dispersión de Thomson. Este proceso físico se produce debido a que las cargas libres radían en respuesta a una onda electromagnética. Despreciando las fuerzas magnéticas, la fuerza ejercida en un electrón por una onda monocromática linealmente polarizada es: donde  denota la dirección del campo eléctrico. Por lo tanto, En términos del momento dipolar, d=er, tenemos,

expresión que describe un dipolo oscilante con amplitud:  expresión que describe un dipolo oscilante con amplitud:  La potencia por unidad de ángulo sólido, promediada en el tiempo, es:  Definiendo d como la sección eficaz diferencial de dispersiones en el ángulo d, tenemos donde <S> es el flujo incidente.

ro provee una medida del tamaño de una carga puntual.  donde ro provee una medida del tamaño de una carga puntual. Para un electrón ro =2.8x10-13 cm. La sección eficaz total es,  Las secciones eficaces diferenciales y totales son independientes de la frecuencia.  la dispersión de Thompson es igualmente efectiva en todas las frecuencias.

La dispersión de Thomson es válida mientras el fotón tenga una energía menor que la energía en reposo del electrón, 511 keV. Para altas energías del fotón hay que pasarse a la dispersión de Compton. La radiación dispersada está linealmente polarizada en el plano de la radiación incidente e y la dirección de la dispersión n.

Se puede encontrar la sección diferencial de dispersión para un haz de radiación sin polarizar y demostrar que la radiación dispersada queda polarizada en algunas direcciones. Para esto se considera que el haz sin polarizar puede representarse como la superposición de dos haces linealmente polarizados que están perpendiculares.

La componente polarizada debida a e1 es sen2 Q = cos2 q La componente polarizada debida a e2 es 1 Las dos componentes anteriores son perpendiculares entre sí de modo que Imax = 1 y Imin = cos2 q Usando la definición de polarización: P = (Imax – Imin)/(Imax + Imin) = (1 - cos2 q)/(1 + cos2 q)

La dispersión de Thomson de radiación sin polarizar tiene las siguientes características: Simetría para adelante y para atrás (+-q) La sección recta total es la misma que para la radiación polarizada El grado de polarización de la radiación dispersada depende del ángulo q con polarización de 0% en la dirección del haz incidente y de 100% en la dirección perpendicular.

Radiación producida por partículas ligadas. 1. Fuerza de reacción a la radiación. La energía radiada por una carga acelerada debe provenir de la energía de la partícula o del agente que mantiene la energía de la partícula.  existe una fuerza que actúa en la partícula en virtud de la radiación que ésta produce. Fuerza de reacción a la radiación: 2. Radiación de partículas ligadas armónicamente. Una partícula ligada mediante una fuerza armónica, F=-kx, oscilará sinusoidalmente con una frecuencia natural o=k/m.

Debido a la fuerza de reacción las oscilaciones no son totalmente armónicas, produciéndose un pequeño amortiguamiento. Supongamos que  <<1, de manera que la ecn.(1) es válida. La ecuación de movimiento es:

… Debido a que el término que involucra a x es pequeño, en un primer orden tenemos que el movimiento es armónico: Usando esta expresión, el término de amortiguamiento se puede aproximar por de manera que la ecn.(2) se puede escribir como Este tipo de ecuaciones tiene soluciones del tipo x(t)  et , donde  se determina de la condición:

Tomando como condiciones iniciales x(0)=x0 y x(0)=0,  y ya que  <<1,  . Tomando como condiciones iniciales x(0)=x0 y x(0)=0, donde

Para determinar el espectro de la radiación debemos calcular la transformada de Fourier de x(t): eencontrándose que La energía radiada por unidad de frecuencia es entonces: Espectro típico de un oscilador que decae. Tiene un máximo agudo en =o, ya que / o <<1.

Usando la definición de  y kmo2 (constante del resorte), tenemos que donde 1/2 kxo2 es la energía potencial de la partícula. Integrando sobre todas las frecuencias se obtiene que W=1/2 kxo2 . El perfil del espectro emitido: se conoce como perfil de Lorentz.

Oscilaciones forzadas debido a la presencia de un haz de radiación. La ecuación de movimiento de un electrón ligado en presencia de un campo electromagnético sinusoidal E=Eoeit es La solución de esta ecuación es: donde y

La potencia total radiada, promediada en el tiempo, es: El flujo de energía incidente es La sección eficaz de dispersión en función de la frecuencia es: donde Casos particulares: 1) Para  >> o : ()  T el valor para los electrones libres. Interpretación: a altas energías incidentes el amarre es despreciable.

2) Para  << o : ()  T (/o)4 El campo eléctrico aparece como casi-estático. Dispersión de Rayleigh. 3)   o . Este caso está dominado por la cercanía del factor 2-o2 a cero. Escribiendo y reemplazando  por o , excepto en (-o), tenemos donde Γ=o2 τ.

Usando las definiciones de σT y τ, tenemos que En la vecindad de la resonancia la forma de la sección eficaz de dispersión es la misma que para la emisión de las oscilaciones libres del oscilador.