13. Principios básicos de relatividad especial Ya que en la naturaleza la radiación sincrotrón es bastante común y dado que ella envuelve la presencia de partículas relativísticas, recordaremos primero algunos de los principios básicos de la relatividad. La teoría de la relatividad esta basada en dos postulados:  Las leyes de la naturaleza son las mismas en sistemas de referencia que se mueven con velocidad relativa uniforme.  La velocidad de la luz es constante en esos sistemas.

La velocidad de la luz es constante…

El Señor Rojo El Señor Azul

x2 + y2 + z2 = c2 t2 (observador en reposo) Ambos señores dicen que la burbuja de luz está centrada en ellos. Para reconciliar estos dos puntos de vista tengo que aceptar que las coordenadas en los dos marcos de referencia obedecen: x2 + y2 + z2 = c2 t2 (observador en reposo) x´2 + y´2 + z´2 = c2 t´2 (observador en movimiento) Estas dos ecuaciones se satisfacen con las transformaciones de Lorentz: 13.1. Transformaciones de Lorentz Considere dos sistemas K y K' que se mueven con velocidad relativa uniforme v en la dirección x.

Si el espacio es homogéneo e isotrópico entonces las coordenadas están relacionadas por las transformaciones de Lorentz, donde

Efecto Doppler Relativista DtA = Dt – (d/c) = Dt(1-(v/c) cos q) (parte clásica) Dt = g (2 p/w’) dilación relativista w = (2p/DtA) = w’/g(1-(v/c) cos q) ¡hay corrimiento al rojo aún para q = p/2! 13.2 Transformación de las velocidades Si un punto tiene la velocidad u' en el sistema K', cual es la velocidad u en el sistema K?. De las transformaciones de Lorentz, tenemos,

Por lo tanto, de manera que Similarmente, encontramos que

La generalización de estas expresiones para una velocidad arbitraria v, no necesariamente a lo largo del eje x, puede ser establecida en términos de las componentes de u paralela y perpendicular a v, Las direcciones de las velocidades en los dos sistemas están relacionadas por la fórmula de aberración donde u'  u'. El ángulo azimutal  permanece inalterable.

Una aplicación interesante es el caso en que u'= c, encontrándose que Estas relaciones representan la aberración de la luz. Es instructivo analizar el caso en que el fotón sea emitido en un ángulo recto a v en el sistema de referencia K', es decir ' = /2. En esta situación tenemos que Para velocidades altamente relativísticas,  >> 1, y  es muy pequeño,

13.3 Transformación de las aceleraciones Si los fotones son emitidos isotrópicamente en K', entonces la mitad de ellos tendrá ' < /2 y la otra mitad ' > /2. La ecn.(15) muestra que en el sistema K los fotones están concentrados en la dirección del movimiento con la mitad de ellos yaciendo dentro de un cono con ángulo 1/. Muy pocos fotones son emitidos con  >> 1/. Esto es lo que se denomina efecto de enfoque (Doppler boosting). 13.3 Transformación de las aceleraciones La aceleración en la dirección x es Derivando la ecn.(9) con respecto a t',

y reemplazando en la ecn.(16), encontramos Por otro lado de la ecn.(8), tenemos y por lo tanto En forma similar se encuentra que

13.4 Transformación de las potencias En el caso especial en que la partícula está inicialmente en reposo en el sistema K' (i.e., inicialmente u'x = u'y = u'z = 0), 13.4 Transformación de las potencias Sea K' el sistema en reposo instantáneo de la partícula y K el sistema del observador. Usando las transformaciones relativísticas es posible demostrar que la potencia total emitida es un invariante de Lorentz, y que las distribuciones angulares de la potencia están relacionadas por la expresión, donde ' y  son los ángulos con respecto a los ejes x' y x, respectivamente, en los cuales la radiación es emitida.

Veamos a continuación el caso de la radiación dipolar Veamos a continuación el caso de la radiación dipolar. La potencia total en el sistema K' está dada por Reemplazando en la relación (24), usando las expresiones (22) y (23), encontramos que Versión relativista de la fórmula de Larmor La distribución angular en el sistema K' está dada por donde ' es el ángulo entre el vector aceleración y la dirección de propagación de la radiación. Reemplazando en la relación (25) obtenemos, Debemos además relacionar el ángulo ' con ángulos en el sistema de referencia K, lo que es en general bastante complicado.

En el caso especial en que la aceleración es perpendicular a la velocidad, se tiene que Por otro lado, de las transformaciones para las velocidades tenemos y de manera que Por lo tanto en este caso, En particular en el caso extremadamente relativista, es decir cuando  >>1, el termino (1- cos) en el denominador se hace muy pequeño en la dirección hacia adelante y la radiación se encuentra fuertemente emitida en esta dirección.

Haciendo las aproximaciones, y encontramos que Reemplazando en la expresión (27), tenemos que

Relatividad y Electromagnetismo El que las ecuaciones de Maxwell describen al electromagnetismo en cualquier marco inercial llevó a Einstein a usar las transformaciones de Lorentz. El resultado de Maxwell de que todas las ondas electromagnéticas viajan a c llevó a Einstein a su postulado de que la velocidad de la luz es invariante en todos los marcos inerciales. Einstein estaba convencido de que los campos magnéticos aparecen como campos eléctricos cuando se observan en otro marco inercial. Esta conclusión es clave para entender la relación entre el electromagnetismo y la relatividad.

¿Pero, cómo puede un campo magnético verse como eléctrico sólo por un cambio de marco inercial? Las líneas de campo magético rodean a un conductor y no afectan más que a las cargas en movimiento. Líneas de campo eléctrico. Cable con corriente ¿Cómo puede uno convertirse en el otro y dar la respuesta correcta?

Un alambre conductor Suponga una carga positiva de prueba que se mueve a la misma velocidad que las cargas negativas en un cable. Las cargas positivas están estacionarias. El campo eléctrico debido a las cargas será 0, de modo que la fuerza tiene que ser magnética: El campo magnético en la posición de la carga positiva apunta hacia adentro de la página, así que la fuerza sobre ella será hacia arriba.

Un alambre conductor 2 Ahora pasémonos al marco de las partículas negativas en movimiento. Ahora son las cargas positivas en el cable las que se mueven. Tendrán contracción de Lorentz, de modo que su densidad será mayor. Aún habrá un campo magnético, pero como la partícula de prueba tiene velocidad 0, la fuerza magnética será 0. El exceso de cargas positivas producirá un campo eléctrico: El campo eléctrico apuntará radialmente hacia afuera, de modo que la partícula de prueba sentirá una fuerza para arriba. Se puede demostrar que los dos casos son idénticos.