Asumamos sin pérdida de generalidad que: Inicialmente el concursante escoge la puerta A. Y Monty abre la B. (i) El concursante NO cambia de opción:

(By rule 2.) (If the prize is behind door #1, Monty can open either #2 or #3.) (By rule 2.) (If the prize is behind door #3, Monty must open door #2.)

So: and

Paradoja de Braess (Dietrich Braess, 1968). Al principio hay sólo dos rutas alternativas para desplazarse desde la población A a la D. Por la primera, tras 50 minutos sin atascos, los conductores atravesarán el breve pero congestionado tramo CD. Por la segunda, el tramo congestionado está al principio (AB), al que siguen 50 minutos de tráfico sin incidencias.

Imaginemos que son 60 los conductores que quieren llegar a D, y que en atravesar un tramo congestionado tardan tantos minutos como coches circulen (así, si son 10 coches, tardarán 10 minutos; y si son 30, 30 minutos). Si los conductores eligen el itinerario más corto, acabarán dividiéndose por mitades: 30 se irán por la ruta ABD y 30 por ACD, y todos tardarán 80 minutos (30 en el tramo congestionado y 50 en el largo). ¿Qué pasa si se inaugura una ancha autopista entre B y C, transitable en tan sólo 10 minutos?

Muchos conductores creerán que si la usan se ahorrarán 10 minutos y llegarán a su destino en 70 (es decir, 30+10+30). Pero será un espejismo: si 20 conductores, digamos, optan por la nueva ruta ABCD, acabarán tardando 90 minutos, ya que por los dos tramos congestionados (AB y CD) transitarán ahora 40 coches, en vez de los 30 de antes. También los conductores que mantengan inalterada su ruta tardarán ahora 90 minutos, pues pasarán 10 minutos más en el tramo congestionado. Todos terminarán deseando que la autopista no se hubiera abierto: pero en tanto exista (¡y su uso sea gratuito!), ningún conductor podrá hacer nada, por sí sólo, para abreviar su viaje. He ahí la “paradoja de Braess”: ¡la apertura de la nueva autopista alargará el viaje para todos los conductores!

• Los hechos: - 10 millones de personas pueden haber cometido el crimen. - Probabilidad de seleccionar aleatoriamente una persona que tiene un ADN que coincide con el ADN encontrado en la escena del crimen = 0.0001% - Probabilidad de determinar coincidencia entre los ADNs si existen = 100% - Probabilidad de determinar esa coincidencia aunque no exista = 0.001% • Cuestiones: - ¿Cuál es la probabilidad de que determinemos coincidencia si existe realmente? - ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea What is the probability that the person is the source? - What is your verdict? Guilty or not guilty?

Aleatoriedad Deborah J. Bennett Importancia de evaluar las probabilidades adecuadamente:   Juicios (psicólogos Daniel Kahneman y Amos Tversky): Atropello nocturno con fuga por parte de un taxi. Existen dos compañías: unos taxis son verdes (V) y otros azules (A). Datos. El 85% son V y el 15% A. Un testigo identificó el taxi como A. Se le hizo una prueba pericial de fiabilidad: correcto en el 80% de los casos y errado en el 20% ¿Qué probabilidad hay de que el taxi fuera A en vez de V? Respuesta típica: 80% Correcta: 41% Solución correcta: P(V)=85/100, P(A)=15/100, P(A|A)=P(V|V)=80/100, P(A|V)=P(V|A)=20/100. P(realmente A)=P(A)*P(A|A)+ P(A)*P(A|A)=15/100*80/100= En una prestigiosa facultad de medicina se hizo el siguiente test entre médicos: Tenemos una enfermedad con una incidencia del uno por mil en la población. Y un test que da falsos positivos un 5% de las veces. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que dé positivo en el test sufra esta enfermedad? Respuesta típica: 95% Correcta: alrededor del 2% (Solo acertó un 18% del grupo). Razonamiento correcto: P(enfermo)=1/1000 P(falso positivo)=5/100 P(positivo)=1-5/100=995/100 P(no enfermo)=1-1/1000=999/1000 P(no enfermo y falso positivo)=5/100 * 999/1000 = Apuntes de probabilidad: Aleatoriedad Deborah J. Bennett

Atropello nocturno con fuga por parte de un taxi Atropello nocturno con fuga por parte de un taxi. Existen dos compañías: unos taxis son verdes (V) y otros azules (A). Datos: El 85% son V y el 15% A. Un testigo identificó el taxi como A. Se le hizo una prueba pericial de fiabilidad: correcto en el 80% de los casos y errado en el 20%. ¿Qué probabilidad hay de que el taxi fuera realmente A? Respuesta típica: 80%. ¿Es correcta? Datos: P(V) = 85/100, P(A) = 15/100. Prob. De que siendo A (V) el testigo lo identifique como A (V): P(A|A) = P(V|V) = 80/100. Prob. De que siendo V (A) el testigo lo identifique como A (V): P(A|V) = P(V|A) = 20/100.   P(de que fuera realmente A) = P(A)·P(A|A) + P(V) ·P(A|V) = 15/100 · 80/100 + 85/100 · 20/100 = 0,12 + 0,17 = 0,39 ..............................’’’’’’’’’???????