¿cúantos subconjuntos (sucesos compuestos?) pueden formarse? Saber Contar Regla de Laplace (Definición clásica) Ejemplo: Espacio muestral W discreto y finito, con n sucesos simples: ¿cúantos subconjuntos (sucesos compuestos?) pueden formarse?

Principio multiplicativo (ilustración gráfica) b1 b2 b3 c1 c2 El primer elemento puede escogerse de dos formas distintas: a1 y a2. El segundo de tres maneras distintas: b1, b2 y b3. El tercer elemento puede escogerse en dos modos distintos: c1 y c2. El total de posibilidades será: 2 . 3 . 2 = 12

{a,b,c} {a,b} {a,c} {a} {b,c} {b} {c} {Ø} = {a,b,c} Espacio muestral W discreto y finito, con n=3 sucesos simples Sucesos compuestos: Principio multiplicativo a no_a b no-b b no-b c no-c c no-c c no-c c no-c {a,b,c} {a,b} {a,c} {a} {b,c} {b} {c} {Ø} El total de subconjuntos posibles será: 2 . 2 . 2 = 8 para n elementos : 2n

Alfabeto Braille ¿Cuántos símbolos distintos pueden representarse?

Combinatoria El arte de contar “La combinatoria trata, ante todo, de contar el número de maneras en que unos objetos dados pueden organizarse de una determinada forma.” Introducción a la combinatoria Ian Anderson

Combinatoria-I (simple) Número de formas de “colocar” n objetos distintos en una fila de r posiciones (...o “extraer” r elementos de un conjunto de n objetos) Ejemplo: colocar tres objetos {a,b,c} (n=3) en r=2 posiciones Permutaciones/Variaciones: El orden importa ”ab” es distinto a “ba” Combinaciones: El orden no importa ”ab” se considera igual a “ba” Tanto las Permutación, Variaciones como las Combinaciones pueden o no considerar la repetición (o reposición) de los objetos o elementos: ”aa” ”bb” Permutaciones/Variaciones/Combinaciones con/sin repetición

Combinatoria-II (simple) Variaciones: El orden importa Variaciones sin repetición: escoger r elementos distintos de entre un total de n según un determinado orden. Para escoger el primer elemento hay (n) posibilidades, para el segundo (n-1),.... para el elemento r (n-r+1) = n(n-1).....(n-r+1) {a,b,c} escoger r=2 de n=3 {ab,ba,ac,ca,bc,cb} 3!/(3-2)!=6 Variaciones con repetición: escoger r elementos distintos de entre un total de n según un determinado orden, y pudiendo repetirse. Ahora hay n posibilidades para escoger cada uno de los r elementos {a,b,c} r=2 de n=3 con repetición {ab,ba,ac,ca,bc,cb,aa,bb,cc} 32=9

Combinatoria-III (simple) Permutaciones con n=r : (Permutaciones/Variaciones) Permutaciones sin repetición (recordad 0! = 1): {a,b,c} Permutaciones sin repetición {abc,acb,bac,bca,cab,cba} 3!=6 Permutaciones con repetición: {a,b,c} Permutaciones con repetición {abc,acb,bac,bca,cab,cba,aaa,bbb,ccc,aab,aba,baa,aac,aca,caa,bba,bab,abb,bbc,bcb,cbb,cca,cac,acc,ccb,cbc,bcc} 33=27

Combinatoria-IV (simple) Combinaciones: El orden no importa Combinaciones sin repetición: escoger r elementos distintos de entre un total de n sin que importe el orden {a,b,c} escoger r=2 de n=3 –sin que importe el orden- {ab,ac,bc} 3!/2!(3-2)!=3 En las Combinaciones, al no importar el orden, el número de Variaciones se reduce en un factor igual al número de “ordenaciones” de los r elementos:

Combinatoria-V (simple) Combinaciones: El orden no importa Combinaciones con repetición: escoger r elementos distintos de entre un total de n sin que importe el orden, y pudiendo repetirse. {a,b,c} r=2 de n=3 con repetición {ab,ac,bc,aa,bb,cc} 4!/(2!.2!)=6

Ejemplos

(Sucesos equiprobables) Si se producen aleatoriamente n accidentes de coche en n días, ¿cuál es la probabilidad de que cada día se produzca un accidente? (Sucesos equiprobables) Nº casos posibles: El accidente 1 puede ocurrir en n posibles días. El accidente 2 en n días, idem el 3, etc... De modo que existen nn maneras posibles de que sucedan n accidentes en n días (casos posibles). Nº casos favorables: Número de formas de colocar n accidentes en n días, un accidente cada día....

Si se producen aleatoriamente n accidentes de coche en n días, ¿cuál es la probabilidad de que cada día se produzca un accidente? Nº casos posibles: nn El accidente 1 puede ocurrir en n posibles días. El accidente 2 en n días, idem el 3, etc... De modo que existen nn maneras posibles de que sucedan n accidentes en n días (casos posibles). Nº casos favorables: Número de formas de colocar n bolas en n celdas, una bola por celda.... Permutaciones sin repetición de n-elementos tomados de n en n: n! Para siete accidentes de tráfico en una semana: p(7) = 7! / 77 = 0.00612 (anti-intuitivamente baja)

Explosión combinatoria Nota: 0! = 1 Explosión combinatoria ¿Cuál es el número de posibles ordenaciones de una baraja de póker de 52 cartas? El resultado es 52!, que es aproximadamente 8 × 1067. Observa que a partir de una simple baraja obtenemos un número enorme, superior, por ejemplo, al cuadrado del número de Avogadro: 6,02 × 1023.

Fórmula de Stirling James Stirling presentó su fórmula en “Methodus Differentialis” publicado en 1730. La demostración de la fórmula de Stirling puede encontrarse en la mayoría de textos de análisis. Vamos a verificar la bondad de la aproximación usando el programa StirlingApproximations, que imprime: (a) n!, (b) la aproximación de Stirling y (c) el cociente de ambos valores. Observemos como ese cociente se acerca a 1 a medida que n crece. Se dice entonces que la aproximación es asintótica. A veces, al resolver un problema de combinatoria, es mejor encontrar una aproximación asintótica formada por funciones cuyo comportamiento es fácil de comprender que la solución exacta, cuyo comportamiento escapa a nuestra intuición.

Casos favorables: V10,7 = 10987654 Un ascensor sube con 7 pasajeros y se detiene al cabo de 10 pisos. ¿Cuál es la probabilidad de que dos pasajeros no bajen en el mismo piso? (Supongamos que todas las posibles maneras de descender son igualmente probables). n objetos : 10 pisos escogidos de 7 en 7 El orden importa – Variaciones Favorables: Dos no en el mismo piso -> no repetición Casos posibles: VR10,7 = 107 Casos favorables: V10,7 = 10987654

Algunas Propiedades El binomio de Newton (a + b)2 = (a + b) (a + b). Todos los posibles productos son: aa, ab, ba, bb. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. (a + b)3 = (a + b) (a + b) (a + b). Todos los posibles productos son: aaa, aab, aba, baa, abb, bab, bba, bbb. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3. (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4. C(4,0) = 1; C(4,1) = 4; C(4,2) = 6; C(4,3) = 4; C(4,4) = 1

Teorema del binomio Demostrar: