Introducción a las Señales Aleatorias ISAL Capítulo 4: V.A. MúLTIPLE Material de partida: Principios de probabilidad, variables aleatorias y señales aleatorias Peyton, Z. & Peebles, Jr. (Capítulo 3) Bartolo Luque Departamento Matemática Aplicada Y Estadística E.T.S.I. Aeronáuticos, UPM. Plaza Cardenal Cisneros, 3 Madrid 28040, Spain. Tf.: 91 336 63 26 Bartolo@dmae.upm.es http:/matap.dmae.upm.es/bartolo.html

Variable aleatoria mútiple V.A. BIDIMENSIONAL (v.a. Vectorial; “vector aleatorio” ) X : W --------> R (X v.a.) Y : W --------> R (Y v.a.) (X,Y) v.a bidimensional X : W1 --------> R (X v.a.) Y : W2 --------> R (Y v.a.) W=W1xW2

Variable aleatoria mútiple V.A. BIDIMENSIONAL (v.a. Vectorial; “vector aleatorio” ) X : W --------> R (X v.a.) Y : W --------> R (Y v.a.) (X,Y) v.a bidimensional Espacio muestral de Rango Espacio muestral W WX,Y (NOTA: Transformación v.a múltiple)

Función de Distribución Conjunta {Xx, Y  y}={wR| X(w)x, Y(w)  y} FXY : R2 --------> R (x,y) -------> FXY(x,y) =P(Xx, Y  y)

Función de Distribución Conjunta (Ej. X,Y v.a discretas)

Función de Distribución Conjunta (Ej. X,Y v.a discretas)

Función de Distribución Conjunta X,Y v.a discretas

Función de Distribución Conjunta X,Y v.a continuas

“Casos particulares” de rangos de v.a. bidimensional X,Y v.a discretas: Rango conjunto de puntos X,Y v.a continuas: Rango superficie WX,Y Y X

Casos: Rango conjunto de líneas

Casos: Rango conjunto de líneas

f.d.p. Conjunta para (x,y) v.a’s discretas f.d.p. Conjunta para N v.a’s

Para N v.a’s

FD y fdp condicionales a un punto (X/Y=y) Definiendo como suceso condicionante B:

FD y fdp condicionales a un punto (X/Y=y) Para v.a.’s continuas, como:

FD y fdp condicionales a un punto (X/Y=y) Para v.a.’s continuas: Y diferenciando con respecto a x, tenemos las f.d.p:

FD y fdp condicionales a un punto (X/Y=y)

FD y fdp condicionales a un punto (X/Y=y) Para v.a.’s discretas: X={x1,.. xi. ..xN} e Y={y1, ... yj ..yM}

FD y fdp condicionales a un intervalo

Ejercicio fdp marginales y condicionales: Dada la fdp conjunta de las v.a.’s X e Y: 1.- Obtener las fdp marginales de X e Y 2.- Obtener la fdp condicional

Ejercicio fdp marginales y condicionales: Dada la fdp conjunta de las v.a.’s X e Y: 1.- Obtener las fdp marginales de X e Y

2.- Obtener la fdp condicional

SUMA de v.a’s

SUMA de v.a’s

SUMA de v.a’s

SUMA de v.a’s

SUMA de v.a’s INDEPENDIENTES La f.d.p de la suma de dos v.a’s independientes es la convolución de sus f.d.p. individuales

Dos Funciones de Dos variables aleatorias (Z,W) será una v.a bidimensional si y sólo si: Caracterización de la v.a. Bidimensional (Z,W) DZ,W lugar geométrico de los puntos (X,Y) que se transforman en

Dos Funciones de Dos variables aleatorias Caracterización de la v.a. Bidimensional (Z,W) DZ,W lugar geométrico de los puntos (X,Y) que se transforman en W Y DZ,W X Z

Dos Funciones de Dos variables aleatorias Caracterización de la v.a. Bidimensional (Z,W) Procedimiento para la obtención de la f.d.p. de la v.a. Bidimensional (Z,W) Indirectamente derivando la F.D. Calculo directo a través del Teorema Fundamental

Dos Funciones de Dos variables aleatorias Procedimiento para la obtención de la f.d.p. de la v.a. Bidimensional (Z,W) Calculo directo a través del Teorema Fundamental Análogo al Teorema Fundamental para una función de una v.a unidimensional

Cálculo DIRECTO DE LA f. d Cálculo DIRECTO DE LA f.d.p de Dos Funciones de Dos variables aleatorias: Teorema Fundamental X Y Z W z z+dz w +dw w y1 x1 yi xi Quedando la transformación caracterizada por el Jacobiano J(x,y)

Cálculo DIRECTO DE LA f. d Cálculo DIRECTO DE LA f.d.p de Dos Funciones de Dos variables aleatorias: Teorema Fundamental

Cálculo DIRECTO DE LA f. d Cálculo DIRECTO DE LA f.d.p de Dos Funciones de Dos variables aleatorias: Teorema Fundamental NOTAR que aparece el Módulo del Jacobiano |J| (ver examen sept. 08) -igual en el T. Fund. para unidimensional- Otras observaciones: Debe “resolverse” o “invertirse” g(x,y) y h(x,y) f(z,w) debe, obviamente, quedar en función de las variables z y w Debe identificarse los rangos de validez de las expresiones resultantes

Cálculo DIRECTO DE LA f. d Cálculo DIRECTO DE LA f.d.p de Dos Funciones de Dos variables aleatorias: Teorema Fundamental Ejercicio 1) Ejercicio 2)

Uso del Teorema Fundamental en el “Método de la Variable Auxiliar” 1) Se “crea” una v.a. auxiliar 2) Se aplica el Teorema Fundamental 3) Se obtiene la fdp EJEMPLO: Z=X+Y (v.a. Auxiliar W=X)

EJEMPLO: Z=X+Y (v.a. Auxiliar W=X) Teorema Fundamental Si X,Y son v.a.’s independientes

Caracterización parcial de una función de dos v. a Caracterización parcial de una función de dos v.a.’s (análogo a una función de una v.a) Valor Esperado (Media) de una función de dos v.a’s X,Y: g(X,Y) Veremos que pueden deducirse muchos “parámetros” útiles relacionados con el valor esperado de una función de dos v.a.’s g(X,Y) Z=g(X,Y) Función de n-variables aleatorias

Caracterización parcial de una función de dos v. a Caracterización parcial de una función de dos v.a.’s (análogo a una función de una v.a) Valor Esperado (Media) de una SUMA de v.a’s X,Y E[ ], “es un operador lineal”, si g(X,Y)=aX+bY+c E[aX+bY+c] = aE[X]+bE[Y]+c Para Z=X1+X2+......Xn E[Z]= E[X1]+E[X2]+......E[Xn] Valor Esperado del PRODUCTO de v.a’s X,Y INDEPENDIENTES Z=XY Si X,Y son v.a’s independientes

Caracterización parcial de una función de dos v. a Caracterización parcial de una función de dos v.a.’s (análogo a una función de una v.a) VARIANZA de Z v.a SUMA de v.a’s X,Y INDEPENDIENTES

Caracterización parcial de una función de dos v. a Caracterización parcial de una función de dos v.a.’s (análogo a una función de una v.a) MEDIA Y VARIANZA de Z v.a COMBINACIÓN LINEAL de v.a’s X,Y GAUSSIANAS INDEPENDIENTES

Caracterización parcial de una función de dos v. a Caracterización parcial de una función de dos v.a.’s (análogo a una función de una v.a) Valor Esperado (Media) CONDICIONADA de g(X,Y) CASO PARTICULAR En general: Línea de regresión de Y Línea de regresión de X

Caracterización parcial de una función de dos v. a Caracterización parcial de una función de dos v.a.’s (análogo a una función de una v.a) MOMENTOS CONJUNTOS de v.a bidimensional Momento no centrado conjunto de orden k,r Momento centrado conjunto de orden k,r Correlación de X,Y Covarianza de X,Y Coeficiente de correlación de X,Y

Incorrelacion: X,Y incorreladas si CXY = 0. INCORRELACIÓN, ORTOGONALIDAD, INDEPENDENCIA Correlación de X,Y Covarianza de X,Y Coeficiente de correlación de X,Y Relación lineal entre X e Y Si es=+-1 => predicción “lineal” perfecta Incorrelacion: X,Y incorreladas si CXY = 0. por tanto, incorrelacion implica ausencia de relacion X e Y Ortogonalidad: X,Y son ortogonales si RXY = E[XY]=0.

Independencia => ausencia de relación lineal, pero no a la inversa INCORRELACIÓN, ORTOGONALIDAD, INDEPENDENCIA Incorrelacion: X,Y incorreladas si CXY = 0. por tanto, incorrelacion implica ausencia de relacion X e Y Ortogonalidad: X,Y son ortogonales si RXY = E[XY]=0. Consecuencias: 1.- Si X e Y son independientes, entonces son incorreladas. RXY=E[X]E[Y] La inversa no es cierta! Independencia => ausencia de relación lineal, pero no a la inversa (Ejemplo)

Incorrelacion: X,Y incorreladas si CXY = 0. INCORRELACIÓN, ORTOGONALIDAD, INDEPENDENCIA Incorrelacion: X,Y incorreladas si CXY = 0. por tanto, incorrelacion implica ausencia de relacion X e Y Ortogonalidad: X,Y son ortogonales si RXY = E[XY]=0. Consecuencias: 2. Si X e Y son incorreladas:

Incorrelacion: X,Y incorreladas si CXY = 0. INCORRELACIÓN, ORTOGONALIDAD, INDEPENDENCIA Incorrelacion: X,Y incorreladas si CXY = 0. por tanto, incorrelacion implica ausencia de relacion X e Y Ortogonalidad: X,Y son ortogonales si RXY = E[XY]=0. Consecuencias: 3. Incorrelacion y ortogonalidad son una misma propiedad si al menos una de las dos v.a’s X,Y tiene media nula. 4. Sin las VAs son ortogonales, entonces E[(X+Y)2]=E[X 2]+E[Y 2]+2E[XY]= E[X 2]+E[Y 2] (valor cuadrático medio de (X+Y) = el de X + el de Y)

ESTIMACIÓN DE UNA Variable Aleatoria (I) Partiendo de un mismo espacio muestral obtienen 2 v.a.’s X=xi observable Y=yi no observable Problema: encontrar g(x) tal que: será una estimación de y si g(.) optimiza algún criterio de semejanza entre y e Es posible imponer restricciones a g(x) Estimación Mínimo Cuadrática

ESTIMACIÓN DE UNA Variable Aleatoria (II) Estimación Mínimo Cuadrática Caso simple: Si g(x)=cte, el mejor estimador posible de Y es g(x)=E[Y]

ESTIMACIÓN DE UNA Variable Aleatoria (II) Estimación Mínimo Cuadrática Estimador lineal

ESTIMACIÓN DE UNA Variable Aleatoria (III) Estimador lineal El conocimiento de X no aporta información para estimar linealmente Y X e Y están relacionadas exactamente por una ley lineal es una medida del grado de relación lineal de X e Y

ESTIMACIÓN DE UNA Variable Aleatoria (IV) g(x) arbitraria Recordar Media CONDICIONADA

ESTIMACIÓN DE UNA Variable Aleatoria (V) Si X e Y son INDEPENDIENTES X no aporta información para estimar Y Para obtener el estimador no lineal hay que conocer fy(y/x) Para obtener el estimador lineal hay que conocer CXY, Var[X], E[X],E[Y]

n- VARIABLES ALEATORIAS (I) INDEPENDENCIA TEOREMA TEOREMA

n- VARIABLES ALEATORIAS (II) TEOREMA Ejemplo: Suma de gaussianas independientes

n- VARIABLES ALEATORIAS (III) TEOREMAS ASINTÓTICOS Teorema del Límite Central : Si Xi son v.a’s discretas de igual rango :