8. Integrales “La trayectoria más corta entre dos verdades reales pasa a través del dominio complejo." Jacques Hadamard (1865 – 1963)

Integrales definidas (Tipo I): Sea R(sin , cos ) una función racional que no posee polos sobre la círcunferencia unidad C: sin2  + cos2  =1 |z|=1 donde {zk} son los polos de f(z) dentro del círculo unidad.

Ejemplo:

Tiene 3 polos, uno doble en z = 0 y dos simples en z = -1/2 y z = -2, pero este último está fuera del contorno C (circunferencia de centro el origen y radio 1)

Aquí tienes el cálculo explícito de los residuos:

La integral no está entre 0 y 2π, pero podemos arreglarlo. Otro ejemplo: Hallar La integral no está entre 0 y 2π, pero podemos arreglarlo. Como el integrando es par:

Los polos son y La integral queda: Pero sólo el segundo está dentro del círculo unidad. Los polos son y La integral queda:

Otro ejemplo. Calcular: Solo este polo está en el círculo unidad.

Observa que también funciona el mismo cambio de variable si tenemos términos del tipo cos(n) y sen(n):

Integrales impropias: En cálculo, una integral impropia es el límite de una integral definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración se hacen infinitos. Pueden definirse en términos de integrales propias (sumas de Riemann), siempre y cuando existan estos límites. Cuando el límite existe decimos que la integral converge. Y en caso contrario, que diverge. En este caso la integral existe. Pero en los dos siguientes no:

Por ejemplo: Sin embargo:

Nota sobre la simetría de los integrandos: Si f(x) es par, entonces: f(x) = f(-x) y: Si f(x) es impar, entonces: f(x) = -f(x) y I = 0. Aunque no lo digamos, a partir de ahora calcularemos siempre el Valor Principal, V.P.

Lemas de Jordan Camille Jordan (Lyon 1838 – París 1922)

1er Lema de Jordan Sea f(z) una función analítica (con la posible excepción de un número finito de singularidades) definida en el sector de circunferencia (r) delimitado por θ1 ≤ θ ≤ θ2 y radio r tal que δ(r) θ2 θ1 r x

2º lema de Jordan Sea f(z) una función analítica (con la posible excepción de un número finito de singularidades) definida en el sector de circunferencia (r) delimitado por θ1 ≤ θ ≤ θ2 y radio r tal que δ(r) θ2 θ1 r

3er lema de Jordan Sea a R+ y f(z) una función analítica (con la posible excepción de un número finito de singularidades) definida en el sector de circunferencia (r) del semiplano superior y  0, delimitado por 0 ≤ θ1 ≤ θ ≤ θ2 ≤ y radio r tal que δ(r) θ2 θ1 r Nota: Si a R- , el resultado sigue cumpliéndose para un sector de circunferencia (r) del semiplano inferior y ≤ 0, delimitado por - ≤ θ1 ≤ θ ≤ θ2 ≤0.

4º lema de Jordan Sea f(z) una función analítica definida en el sector de circunferencia () del semiplano superior y  0: Si z = z0 polo simple  γ(ε) Demostración: Si z = z0 es un polo simple de f(z), la función se puede escribir de la forma: -ε +ε z0 Donde h(z) es una función analítica en un entorno de z0 y por lo tanto:

Aplicando límites: Observemos que con el recorrido en sentido contrario da lo mismo con un signo menos De manera análoga, podemos hacerlo en el semiplano inferior; teniendo en cuenta el sentido en que lo recorremos.

LEMAS DE JORDAN 1º 2º 3º 4º Si z = z0 polo simple

Integral tipo 2 Con R(x) una función racional que no posee polos en el eje real, aunque puede tener polos no reales. Vamos a exigir: Por ejemplo, supón que R(x) = P(x)/Q(x) donde el grado de P(x) es n y el grado de Q(x) es m  n + 2. En compleja: Por el primer lema de Jordan.

Por el primer lema de Jordan.

Dos polos en el semiplano superior Ejemplo: El grado del denominador es 4 y del numerador 2. Tomamos C como un semicírculo cerrado de radio r que contiene a los polos: Dos polos en el semiplano superior Dos polos en el semiplano inferior Los del semiplano inferior quedan fuera del contorno C

Por el teorema del residuo:

Calcular Como el integrando es par, nos es más fácil calcular Pasando a complejos: y se cumple por tanto aplicamos el lema 1:

Evaluar: Los polos son: en el semiplano superior están z1 = ei/4 y z2 = e3i/4.

a lo largo del contorno de la figura (con R De otra manera... Calcular: integrando a lo largo del contorno de la figura (con R C R γ2 γ3 γ1 ; polos simples: sólo z0 es polo interior.

Sobre γ3, z = ix, por tanto dz = idx

Si existen polos en el eje real, sencillamente hay que tener en cuenta que su contribución es de i en vez de 2i. Por ejemplo:

Integral tipo 3 Siendo f(z) una función analítica en todo punto del semiplano cerrado , salvo quizá en un número finito de puntos. Si los puntos singulares no están sobre el eje real: Estando el sumatorio extendido a los puntos singulares de f(z) contenidos en el plano y > 0

En el caso de que la función f(z) posea puntos singulares sobre el eje real se utiliza el lema 4: Si z = z0 polo simple: γ(ε) z0 +ε -ε

Aclaraciones

Pasemos el integrando a forma exponencial

P3. Junio 2007 Calcular la integral real: Respuesta. Calcularemos la integral -R R C ib -ib

Observemos que |eiaz| = |eia(x + iy)| = |e-y + iax| = |e-y|, que tiende a cero cuando y→0, lo que implica que z→0 y R→0; por ello, se toma el semiplano superior. -R R C ib -ib Sea C el circuito del dibujo:

Observa que la función es par y estamos calculando el doble del valor I:

P1. Septiembre 2006 (2.5 puntos) Calcular el valor de la integral Respuesta.

-R R CR z1 Puntos singulares de

Tomando límites en (1): Por ser f analítica en γ y en su interior salvo en z1 (Tª de Cauchy-Goursat) Caso k > 0

Caso k = 0

Integral tipo 4 Condiciones: R(x) es una función racional y 0 <  < 1.

Demostración Lema 1 Lema 2

P1. Septiembre 2005 a) Calcular el valor de la integral Respuesta.

Integral tipo 5 R(x) función racional R(z) sin polos en el semieje real x≥0 A continuación demostraremos que: y de esa demostración obtendremos también:

(I) Demostración: Usaremos con 0<argz≤2π como determinación del logaritmo. (I) tomamos límites para y igualando con la expresión (I) y dividiendo por 2πi:

Ejemplo: en este caso, R(x) es ; lo multiplicamos por y queda:

; análogamente al ejemplo anterior: Otro ejemplo: Con ; análogamente al ejemplo anterior:

5. Calcular utilizando la teoría de residuos. Examen JUNIO 02/03: P-1

P2. Septiembre 2007 1. Calcular la integral Re (z)‏ Im (z)‏ 1. Calcular la integral Indicación: Utilice el contorno de la figura y la determinación (-π/2, 3π/2) con Respuesta. Calculamos a lo largo del contorno dado Γ, la integral

para lo que buscamos los puntos singulares del integrando interiores a Γ. Como los puntos donde no es analítica no son interiores al contorno, basta con calcular los ceros del denominador que, en este caso son los puntos z = ±i. El único punto singular interior al contorno es z = i, de modo que El punto z = i es un polo simple de la función, pues ésta se puede expresar en la forma siendo analítica y no nula en z = i pues

con lo que y Como entonces El límite

y se puede afirmar por el Lema 1 de Jordan que Por ser y se puede afirmar por el Lema 1 de Jordan que

El segmento T1 lo parametrizamos en la forma z = xeiπ, de modo que con lo que El segmento T2 lo parametrizamos en la forma z = x, de modo que

con lo que Sumando todas las contribuciones y, tomando límites cuando R → ∞ y ε → 0 queda

Como la integral real se deduce que

Un último comentario:

Números primos (parte II)

Georg Friedrich Bernhard Riemann Riemann hacia 1859 extendió por prolongación analítica la función zeta al plano complejo: con un polo simple en s = 1. Y probó que había profundas conexiones entre esta función y la distribución de los números primos. Ueber die Anzahl der Primzahlem unter einter gegebenen Grösse (1859) Sobre el número de números primos menores que una magnitud dada.

La contribución genial de Riemann fue conectar los ceros de (s) con el comportamiento asintótico de (x). Gran parte del trabajo se debe al descubrimiento de una ecuación funcional que relaciona (s) con (1-s), en una simetría respecto al eje Re(s) = 1/2. La función zeta de Riemann tiene ceros (triviales) en -2, -4, -6, ... (los polos de  (s/2)).  Usando el producto de Euler es fácil demostrar que el resto de ceros están en la franja crítica 0 < Re(s) < 1, y son simétricos sobre la línea crítica Re(s)=1/2.  La hipótesis de Riemann asevera que todos estos ceros están realmente sobre la línea crítica.

De hecho, Euler ya había hecho parte del trabajo De hecho, Euler ya había hecho parte del trabajo. En 1749 Euler sugirió que la función zeta real satisface la siguiente relación exótica: Observemos que si x > 1, (x) es distinta de cero. Si x = -2, -4, -6, ... cos(x/2)  0, pero (x) es infinita, de modo que (x) es infinita. Puesto que (1-x) para estos valores es finita, no queda más remedio que (x) sea cero para estos valores.

Riemann demostró que los pares negativos s = -2, -4, -6, Riemann demostró que los pares negativos s = -2, -4, -6, ... son ceros triviales de la función zeta. Y que existían infinitos ceros no triviales en la banda crítica: También "demostró" que el número de ceros N(T) no triviales:  =  + i que satisfacen 0 <   T es aproximadamente:

Para relacionar (s) con (x) definió una función prime counting "pesada": Mientras (x) es una función escalonada que suma uno para cada primo, (x) es una función escalón que añade 1/m para cada potencia pm de un primo p. Veamos un ejemplo concreto, que resultará revelador. Calculemos, por ejemplo:

Todos los pm  20 son: {2, 22, 23, 24, 3, 32, 5, 7, 11, 13, 17, 19}. Entonces:

Observa que aunque el sumatorio sea infinito, en realidad solo tenemos un número finito de términos. Ahora, utilizando la inversión de Möbius: Donde se usa la función de Möbius definida como: cero cuando m es divisible por un cuadrado y como (-1)k en caso contrario (donde k es el número de distintos factores primos de n).

Riemann mostró que (x) puede determinarse a partir de los ceros  de (s) mediante: (demostrado rigurosamente por H. von Mangoldt) Observa, de nuevo, que para un x dado, esta serie es finita: a partir de un cierto valor de n, x1/n < 2.

Así que: sugiere que la función zeta conoce a los números primos y eso fue lo que desveló Riemann: que sugiere que los ceros de la función zeta conocen la distribución de los números primos.

Aproximando (x) usando los primeros 500 ceros de la función zeta. La animación muestra como la aproximación se va haciendo mejor a medida que utilizamos más y más ceros (H. Riesel y G. Göhl).

Idem: aproximando (x) usando los primeros 500 ceros de la función zeta, ahora en el intervalo 190 a 230.

La función zeta ζ(s) de Riemann Bernhard Riemann hacia 1859 generalizó la función zeta a números s = x + iy complejos. Aquí vemos una representación gráfica del módulo de la función z de Riemman: |ζ (s)|. Obsérvese el polo en s = 1.

Aquí vemos una representación gráfica del módulo de la inversa de la función z de Riemman: |1/ζ (s)|. De este modo podemos ver fácilmente los ceros de la función z como polos. Los ceros parece que vayan paralelos y cercanos al eje imaginario.

Grafica de y frente al módulo: Hipótesis de Riemann: (La conjetura más famosa hoy de la matemática). La hipótesis de Riemman afirma que todos los ceros no triviales tienen la parte real igual a ½. Es decir que son de la forma: ½ + iy. Grafica de y frente al módulo:

Los 100.000 primeros millones de ceros de la función zeta están en la “línea crítica ½” (2005).

. . . La principal broma de Hardy era que consideraba a Dios su enemigo personal. Entiéndase: Dios no tenía nada más urgente que hacer que fastidiarlo. Como ejemplo de la permanente lucha de Hardy con Dios, Pólya contaba la siguiente historia: “Un año Hardy permaneció en Dinamarca con Bohr hasta el final de sus vacaciones de verano, de manera que estaba obligado a volver a Inglaterra para comenzar sus lecciones. Sólo había un pequeño bote disponible (no había tráfico aéreo en aquel tiempo). Como es sabido, a veces el Mar del Norte puede estar bastante revuelto y la probabilidad de que un pequeño bote como aquel se hundiera no era exactamente cero. Sin embargo, como no tenía otra opción, Hardy embarcó en él, pero envió unapostal a Bohr, con el siguiente texto: ‘He probado la Hipótesis de Riemann. G. H. Hardy.’ George Pólya (1887 - 1985) ¿No lo cogen? Es que no conocen la teoría subyacente a la postal. . . . Si el bote se hundía y Hardy se ahogaba, todo el mundo creería que él había probado la Hipótesis de Riemann. Pero Dios no consentiría que él (Hardy) tuviera ese gran honor y por esto no dejaría que el bote se hundiera. Obviamente, puesto que Hardy llegó a salvo a Inglaterra, esta forma de seguro fue efectiva".