Curso de Semiconductores Sesión 2 Prof. José Edinson Aedo Cobo, Msc. Dr. Eng. E-mail: joseaedo@udea.edu.co Departamento de Ingeniería Electrónica Grupo de Microelectrónica - Control Universidad de Antioquia

Objetivos Revisar la solución de algunos casos especiales de la ecuación de Schrodinger. Pozo de potencial. Modelo de Kronig-Penny Átomo de hidrógeno. - Estudiar la estructura del silicio, el germanio y GaAs.

Tópicos especiales de física moderna La ecuación de SchrÖdinger Es una de las ecuaciones fundamentales de la mecánica cuántica. Si la función de onda asociada a una partícula es Y (x,y,z) la Ecuación de onda de estado estacionario es: 2Y + (8p2m/h2)(E – W)Y = 0 siendo m la masa de la partícula. W es la energía potencial. E es la energía total.

Tópicos especiales de física moderna Ejercicio: Encontrar la ecuación de onda para los siguientes casos: W=∞ El electrón esta confinado en una caja de potencial E W=0 x=0 x=a El electrón se mueve en las Dos regiones Región 1 W Región 2 W=0 x=0

Tópicos especiales de física moderna 4. Encontrar la ecuación de onda asociada para átomo de hidrogeno: La energía potencial está dada por: EP = -q2/4pe0r - q q Ecuación de SchrÖdinger en coordenadas esféricas:

Tópicos especiales de física moderna 5. Encontrar la ecuación de onda asociada a un electrón en medio de una energía potencias que varia periódicamente (modelo de Kronig-Penny) x a L x=0 n=1 n=2 n=3 Epo b= a-L

Tópicos especiales de física moderna Problema de la caja de potencial: W=∞ Energía potencial W=∞ W=0 Un electrón E x=0 x=a Con: Solución:

Tópicos especiales de física moderna Átomo de Hidrogeno: La energía potencial para el átomo de hidrógeno esta dada por: EP = -q2/4pe0r - q q Ecuación de SchrÖdinger en coordenadas esféricas:

Tópicos especiales de física moderna E. Potencial Masa reducida Con y Solución:

Números cuánticos y el átomo de hidrogeno Al solucionar la ecuación de Schrodinger aparecen 3 números cuánticos asociados a cada coordenada ( a cada ecuación diferencial): Ecuación radial La ecuación radial tiene solución R(r) si existe un constante entera denominada n que se introduce en la solución y que está restringida a los valores 1,2, 3,…. La solución existe si y únicamente si número cuántico principal

Números cuánticos y el átomo de hidrogeno Similarmente al solucionar la ecuación de la coordenada : Ecuación en  La ecuación tiene solución () si existe un constante entera denominada l que se introduce en la solución y que está restringida a los valores 0,1,2, 3,…. (n-1) La solución existe si y únicamente si número cuántico orbital

Números cuánticos y el átomo de hidrogeno Similarmente al solucionar la ecuación de la coordenada : Ecuación azimutal La ecuación azimutal tiene solución () si existe un constante entera denominada ml que se introduce en la solución y que está restringida a los valores –l, -l+1,….+l La solución existe si y únicamente si número cuántico magnético

Números cuánticos y el átomo de hidrogeno Al solucionar la ecuación de Schrodinger aparecen 3 números cuánticos asociados a cada coordenada (cada ecuación diferencial): (n,l,ml) Cada posible conjunto de valores (n,l,ml) corresponde a un estado cuántico y por lo tanto a una función de onda diferente y por consiguiente una diferente distribución de probabilidad para el electrón alrededor del núcleo. El número de estados posibles dado el número cuántico n es n2. Así para n=1, tenemos l= 0 y ml= 0 un estado (1,0,0) para n=2 tenemos l=0, 1 y ml= -1,0, 1 (2,0,0), (2,1,-1), (2,1,0), (2,1,1) (4 estados) para n=3, ?

Números cuánticos Los tres números cuánticos aparecen den la solución de la ecuación de Schrodinger, sin embargo había evidencias experimentales que mostraban un número de estados 2 veces que el predicho por esta solución espacial: Se postuló un tercer número cuántico para el spin el cual puede tener do valores: ± 1/2 De esta forma el número de estados sería 2n2 Siendo n= 1,2,3…. Investigación 2 (opcional): Investigar en que consistía el experimento de Stern-Gerlach que demuestra la cuantización del spin 2. Explicar como los números cuánticos l y ml cuantizan el momentum angular y componente z del momentum angular.

Tópicos especiales de física moderna 5. Encontrar la ecuación de onda asociada a un electrón en medio de una energía potencias que varia periódicamente (modelo de Kronig-Penny) x a L x=0 n=1 n=2 n=3 Epo b= a-L

Tópicos especiales de física moderna Modelo de Kronig-Penney Es importante recordar: El teorema de Bloch el cual establece que si un sistema presenta un energía potencial periódica (con periodo a), entonces las soluciones de la ecuación de onda son de la forma: Y (x) = k(x)eiKx donde k(x) es periodica con periodo a o sea que k(x)= k(x+a)= k(x+na)

La formación de las bandas de energía Modelo de Kronig-Penney establece la siguiente solución: Si W > E Donde:

La formación de las bandas de energía Modelo de Kronig-Penny establece la siguiente solución: Si W < E Donde:

E E De acuerdo con las ecuaciones anteriores: K -p/L p/L -2p/L -p/L

La formación de las bandas de energía El concepto de masa efectiva m* del electrón Al someter a un campo eléctrico ξ, al electrón se le aplica una fuerza qξ se puede mostrar que dVg/dt = (4p2/h2) (d2E/dK2) qξ aceleración masa efectiva (1/m*) fuerza La masa efectiva esta dada por: (1/m*) = (4p2/h2) (d2E/dK2) Ejercicio: deducir la expresión anterior para la masa efectiva del electrón libre

La naturaleza de los semiconductores Una propiedad importante de los semiconductores: Al agregar cierto tipo de átomos (llamados impurezas) se pueden modificar significativamente las propiedades eléctricas del semiconductor: Ejemplo: agregando átomos de fósforo (P) o boro (Br) al Si. Típicamente: Desde un átomo de impureza por cada 109 átomos de silicio hasta un átomo de impureza por cada 103 átomos de silicio. Se modifican propiedades tales como la conductividad y la movilidad de los portadores (electrones y huecos)

Estructura de los semiconductores La disposición de los átomos al interior del material determina en gran Parte sus propiedades: De acuerdo con la disposición atómica los sólidos (semiconductores) se clasifican en: Amorfos Policristalinos. Cristalinos Fuente: “Fundamentos de semiconductores”

Cristales donde Son vectores primitivos Son números enteros Redes cristalinas simples Un cristal ideal es una repetición, en tres dimensiones, de unidades estructurales idénticas. “las redes critalinas simples son útiles para analizar las estructuras critalinas reales, aunque los semiconductores no cristalizan con estas estructuras simples” Cómo describir una estructura cristalina ? Red de Bravais: Es una matriz tridimensional de puntos generada por un conjunto de vectores unitarios linealmente independientes. Una red de Bravais consiste en todos los puntos generados por: donde Son vectores primitivos Son números enteros

Redes cristalinas (redes cúbicas) Ejemplos: La estructura cúbica simple. La estructura cúbica centrada en cara (FCC- Face centered cubic). La estructura cúbica centrada en cuerpo (BCC – Body centered cubic)

Cristales Celda primitiva: “Es una porción del espacio con un volumen determinado que al ser trasladado por todo los vectores de la red de Bravais, exactamente llena todo el espacio definido por dicha red” La celda es primitiva cuando es la más pequeña posible Una celda primitiva debe contener solo un punto de la red En el caso de una red de dos dimensiones:

Estructuras cristalinas La matriz de puntos se puede utilizar para describir la estructura básica del un cristal. Un cristal real se puede obtener considerando un red de Bravais y agregando una base ( celda primitiva). Una Base puede ser justo un átomo, dos átomos idénticos, dos átomos diferentes (NaCl, GaAs, ...). Tres átomos, …three atoms, ...hasta complejas moléculas enormes.

Estructuras cristalinas Semiconductores más usados: Si y Ge cristalizan en un estructura llamada diamante. Es similar a la FCC con cuatro átomos adicionales ubicados en las diagonales. Se puede también describir como dos redes FCC ínter penetradas. Lectura individual (resposabilidad de cada estudiante): Cuáles son las 14 redes de Bravais diferentes ?. En que se diferencian ?.

Estructuras cristalinas Estructura de diamante (Silicio y Germanio) La celda tiene: 1 átomos en cada esquina. (8 átomos) 1 átomo en cada cara (6 átomos) 4 internos localizados en las diagonales Dentro del cubo hay 8 átomos. Si, L = 5,43 A Ge, L = 5,64 A

Estructuras cristalinas Estructura Blenda de Zinc (zincblende structure)(GaAs ) en este caso a= 5,65 A

Lectura individual (responsabilidad de cada estudiante): Los indices de Miller son útiles para referirse a planos y direcciones en una red cristalina. Investigar que son los índices de Miller y cuales serían para planos simples. - Qué es la red reciproca ? Ejercicios numéricos: Calcular las densidades del Silicio y del GaAs a partir de las constantes de la red, los pesos atómicos y el número de Avogadro. 2. Cuál es la distancia entre los átomos más próximos en el silicio ?