UNIDAD 2

ELEMENTOS DE PROBABILIDAD

COMPARACIÓN ENTRE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

La probabilidad y la estadística son dos campos ajenos pero relacionados de las matemáticas.- Se ha dicho que “la probabilidad es el vehículo de la estadística”.- Es decir, que si no fuera por las leyes de la probabilidad, la teoría de la estadística inferencial no sería posible.- A continuación se ilustrará la relación y la diferencia entre esta rama de las matemáticas (probabilidad) y estadística, mediante la observación de dos cajas.- Estadística ???? Probabilidad 5A 5R 5B

Se sabe que la caja de Probabilidad, contiene fichas de póquer: cinco azules, cinco rojas y cinco blancas.- La probabilidad intenta responder preguntas como “si se extrae una ficha de la caja, ¿Cuál es la probabilidad de que sea azul?.- En la caja de Estadística se ignora cual es la combinación de fichas.- Se extrae una muestra y con base en los resultados obtenidos en esta, se hacen conjeturas sobre lo que se cree que hay en la caja.- Observe la diferencia: la probabilidad, pregunta sobre la posibilidad de que ocurra algo específico (seleccionar una ficha azul) cuando se conocen las posibilidades, es decir se conoce la población.- Por otro lado, la estadística pide extraer una muestra, describirla y luego hacer inferencia sobre la población con base en la información que se obtuvo de la muestra.-

La probabilidad constituye la base para el estudio de los métodos de la ESTADISTICA INFERENCIAL.-

PRIMEROS TEÓRICOS SOBRE PROBABILIDAD.- Jacobo Bernoulli (1654-1705), Abrahan De Moivre (1667-1754), el reverendo Thomas Bayes (1702-1761), Joseph Lagrange (1736-1813), desarrollaron fórmulas y técnicas para el cálculo de las probabilidades En el siglo XIX, Pierre Simón, marques de Laplace (1749- 1827) unificó todas estas primeras ideas y compiló la primera teoría general de las probabilidades.-

Sin tener en cuenta la profesión que se haya elegido, algo si es seguro; en algún momento se han de tomar decisiones.- Con mucha frecuencia esto tendrá que hacerse sin conocer todas las consecuencias de tales decisiones.- Por ejemplo, los inversionistas deben decidir sobre la conveniencia de invertir en una acción en particular, con base en sus expectativas sobre rendimientos futuros.- Los empresarios, al decidir comercializar un producto enfrentan la incertidumbre sobre la posibilidad de éxito.- En cada caso, como sucede con la mayoría de los asuntos comerciales, se han de tomar decisiones sin toda la información correspondiente.-

Todo esfuerzo por reducir el nivel de incertidumbre en el proceso de toma de decisiones incrementará enormemente la probabilidad de que se tome decisiones más inteligentes y bien informadas.- Al mejorar la habilidad para juzgar la ocurrencia de eventos futuros, se puede minimizar el riego y la especulación arriesgada relacionadas con el proceso de toma de decisiones.-

Las decisiones en los negocios, en la industria y empresas en general se basan en el análisis de incertidumbres en muchas de las situaciones que se le presentan.- Por ejemplo: a)¿Cuál es la probabilidad de que cambien las ventas si se incrementan los precios?.- b) ¿Cuál es la probabilidad de que un proyecto se termine a tiempo?.- c) ¿Cuál es la probabilidad de que una nueva inversión sea rentable?.- d) ¿Cuál es la probabilidad de que el nuevo método de trabajo aumente la productividad?.- e) Etc.-

cálculo de las probabilidades se facilita mucho El estudio y cálculo de las probabilidades se facilita mucho si conocemos algo antes de TEORÍA DE CONJUNTOS.- VEAMOS ENTONCES LO ELEMENTAL DE ESTE TEMA.-

TEORIA DE LOS CONJUNTOS

Algunas consideraciones de teoría de conjuntos. Fue Georg Cantor (1845-1918) quién en la segunda mitad del siglo XIX empezó a desarrollar la teoría de conjunto y esta no solo es importante en el campo de las probabilidades y de la estadística sino que es fundamental en el desarrollo de toda la matemática moderna. Veremos de conjunto solo lo elemental que necesitamos para entender probabilidades ya que su teoría es muy amplia.

CONJUNTO ELEMENTOS Es una colección bien definida de objetos. Son los objetos o cosas de que esta formado el conjunto

Por ejemplo, el curso de Estadística es un conjunto donde los elementos son las personas que lo componen; María, Sara, Luís, Vanesa, Roberto, etc................................ Simbolizamos a los conjuntos con letras mayúsculas, A; B; C;...........y con letras minúsculas a los elementos de esos conjuntos, a, b, c,........etc..

Un conjunto se puede describir de dos manera diferente, por: METODO DE LISTA METODO DE LA REGLA

Supongamos que nos estamos refiriendo a los alumnos de este curso, que son Susana, Luís, Carla, María, Beatriz y Pedro. Por el método de lista, a este conjunto que llamó A podremos describirlo como; A =  Susana, Luís, Carla, María, Beatriz, Pedro  Por el método de la regla será; A =  x / x es un alumnos del curso de Estadística  Esto lo leemos como; A es el conjunto de todas las x tales que x es un alumno de este curso de Estadística.- La línea vertical / se lee tal que o tales que, según corresponda.

Conjunto Universal: es el conjunto más extenso por el cual hay interés en un análisis dado. Se simboliza al conjunto universal con U. Observamos aquí que hay una total coincidencia entre lo que es una “población estadística” y el conjunto universal. Subconjunto: decimos que A es un subconjunto de B si cada elemento de A es también un elemento de B. Observamos aquí que “muestra” es un subconjunto del conjunto “población”. Por ejemplo si retomamos el ejemplo anterior, si:

CONJUNTO IGUALES Y DISTINTOS B =  Susana, Luís  decimos que B es un subconjunto de A que esta formado por; A =  Susana, Luís, María, Beatriz, Pedro  CONJUNTO IGUALES Y DISTINTOS Dos conjuntos A y B son iguales si ambos contienen exactamente los mismos elementos. Por ejemplo: Si A = 1,2,3,4 B = 1,2,3,4 decimos que A = B Si tenemos: A = 1,2,3,4 B = 1,2,3,4,5,6 decimos que A  B

Conjunto vacío: El conjunto que no contiene ningún elemento se llama conjunto vacío y se lo simboliza con . Por ejemplo el conjunto A esta formado por todos los argentinos que viajaron a la Luna, evidentemente el conjunto A será: A = 

Operaciones con conjuntos. Veremos como pueden formarse nuevos conjuntos realizando operaciones con ellos. Los resultados de estas operaciones los explicaremos por medio de los diagramas de Venn, nombre que proviene del lógico ingles John Venn (1834-1923), que fue quien creo esta forma de representar conjuntos.

Por ejemplo: U = 1,2,3,4,5 donde A =  1,2,3 en un diagrama de Venn, será: U 5 1 2 A 3 4 A

Llamamos “complemento” De un subconjunto A del conjunto universal U, al conjunto que consta de todos los elementos de U que no son elementos del conjunto A. Simbolizamos al complemento con una línea sobre la notación del conjunto, por ejemplo A o también con A’.- Del ejemplo anterior: A = 4,5

Intersección de dos conjuntos La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto que contiene todos los elementos de A y de B, es decir que son los elementos comunes. Simbolizamos a la intersección con  .- Ejemplo: El conjunto A consta de todos los alumnos de 5º año que toma Ingles y el conjunto B consta de todos los alumnos que toman geografía del 5º año. El conjunto que consta de todos los alumnos que toman Ingles y Geografía es la intersección de A y B. U B A A ∩ B

U Por ejemplo: A = 1,2,3 B = 4,5,6 Se dice que dos conjuntos A y B son mutuamente excluyentes cuando no tienen elementos en común. U B A Por ejemplo: A = 1,2,3 B = 4,5,6 A y B son mutuamente excluyentes puesto que no tienen elementos en común. A  B =   

UNION DE DOS CONJUNTOS U A La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto que consta de todos los elementos que son elementos de A o de B o de ambos. Se simboliza la unión con  Por ejemplo: A = {1,2,3,4 } B = {3,4,5,6 } U B A A  B = {1,2,3,4,5,6}

RELACIONES IMPORTANTES ENTRE LOS CONJUNTOS: PROPIEDAD DISTRIBUTIVA A (B U C) = ( A ∩ B) U (A ∩ C) A U (B C) = (A U B) ∩ (A U C) LEYES DE MORGAN A U B = A ∩ B A ∩ B = A U B

VEAMOS UN EJEMPLO COMPLETO: Dado el conjunto Universal U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y damos A = {1,2,3,4} B = {3,4,5,6} Calcular: a) hacer el diagrama de Venn. b) A  B c) A  B d) A e) Complemento de A  B.

U 7 8 9 A 1 2 B 5 6 10

Solución b) A  B = {1,2,3,4,5,6} c) A  B = {3,4} d) A = {5,6,7,8,9,10} e) A  B = {1,2,5,6,7,8,9,10}

Mencionar a continuación el número de motores en cada conjunto.- EJERCICIOS PARA HACER EN CLASE 1.- Veinte motores se sacan de una línea de ensamble y se examinan para ver si tienen defectos.- Once de los motores no tienen defectos, ocho tienen defectos en el acabo exterior y 3 tienen defectos en su armado y no funcionarán.- Sea A el conjunto de motores que tienen defectos de armado y F el conjunto que tiene defectos en su acabado exterior.- Con A y F, escribir una notación simbólica para: Elaborar un diagrama de Venn para A y F.- El conjunto de motores que tienen los dos tipos de defecto.- El conjunto de motores que tiene por lo menos un tipo de defecto.- El conjunto de motores que no tiene defectos.- El conjunto de motores que tienen exactamente un tipo de defecto.- Mencionar a continuación el número de motores en cada conjunto.-

Mencionar a continuación el número de facturas en cada conjunto.- 1.- Veinte facturas de ventas se sacan en una Auditoria de cierto comercio grande y se examinan para ver si tienen errores.- Once de las facturas no tienen errores, ocho tienen errores en su confección y 3 tienen errores en su monto.- Sea A el conjunto de facturas que tienen errores en su monto y B el conjunto que tiene errores en su confección.- Con A y B, escribir una notación simbólica para: Elaborar un diagrama de Venn para A y B.- El conjunto de facturas que tienen los dos tipos de errores.- El conjunto de facturas que tiene por lo menos un tipo de error.- El conjunto de facturas que no tiene errores.- El conjunto de facturas que tienen exactamente un tipo de error.- Mencionar a continuación el número de facturas en cada conjunto.-

Mencionar a continuación el número de cerámicas en cada conjunto.- 1.- De un lote de cerámico para piso exterior se sacan al azar veinte de ellos para examinarlos si tienen fallas.- Once de los cerámicos no tienen fallas, ocho tienen fallas en el brillo, y 3 tienen fallas en las terminación.- Sea A el conjunto de cerámicas que tienen fallas en el brillo y B el conjunto de cerámicas que tienen fallas en la terminación.- Con A y B, escribir una notación simbólica para: Elaborar un diagrama de Venn para A y B.- El conjunto de cerámicas que tienen los dos tipos de fallas.- El conjunto de cerámicas que tiene por lo menos un tipo de falla.- El conjunto de cerámica que no tiene fallas.- El conjunto de cerámicas que tienen exactamente un tipo de falla.- Mencionar a continuación el número de cerámicas en cada conjunto.- o

Mencionar a continuación el número de viviendas en cada conjunto.- 1.- En un barrio se seleccionan veinte viviendas al azar para estudiar la cantidad de hijos en edad escolar que hay.- Once de las viviendas no tienen hijos en edad escolar, ocho tienen hijos en edad escolar primaria y 3 tienen hijos en edad escolar secundaria.- Sea A el conjunto de viviendas con hijos en escolaridad primaria y B el conjunto de viviendas que tienen hijos en escolaridad secundaria.- Con A y B, escribir una notación simbólica para: Elaborar un diagrama de Venn para A y B.- El conjunto de viviendas que tienen hijos en los dos tipos de escolaridad.- El conjunto de viviendas que tiene hijos por lo menos en un tipo de escolaridad.- El conjunto de viviendas que no tiene hijos en ninguna escolaridad.- El conjunto de viviendas que tienen hijos exactamente en un tipo de escolaridad.- Mencionar a continuación el número de viviendas en cada conjunto.-

Mencionar a continuación el número de turistas en cada conjunto.- 1.- De un contingente de turistas que vinieron este invierno a La Rioja se seleccionan veinte al azar para estudiar que recorrieron de la provincia.- Once de los turistas no fueron a ningún lado, ocho fueron a Talampaya y 3 fueron a Chilecito.- Sea A el conjunto de turistas que fueron a Talampaya y B el conjunto de turistas que fueron a Chilecito.- Con A y B, escribir una notación simbólica para: Elaborar un diagrama de Venn para A y B.- El conjunto de turistas que fueron a los dos lados.- El conjunto de turistas que fueron por lo menos a uno de los dos lugares.- El conjunto de turistas que no fueron a ninguno de los dos lugares.- El conjunto de turistas que fueron exactamente a uno de los dos lugares.- Mencionar a continuación el número de turistas en cada conjunto.-

Mencionar a continuación el número de presos en cada conjunto.- 1.- En una cárcel se decide seleccionar al azar veinte presos para estudiar si tienen enfermedades venéreas de alto riesgo.- Se encontró que once de ellos no tienen ninguna de estas enfermedades.- Ocho de los presos tienen Sida y tres tienen sífilis.- Sea A el conjunto de presos que tienen sida y B el conjunto de presos que tienen sífilis.- Con A y B, escribir una notación simbólica para: Elaborar un diagrama de Venn para A y B.- El conjunto de presos que tienen las dos enfermedades.- El conjunto de presos que tiene por lo menos una de las dos enfermedades.- El conjunto de presos que no tienen ninguna de las dos enfermedades.- El conjunto de presos que tienen exactamente una de las dos enfermedades.- Mencionar a continuación el número de presos en cada conjunto.-

2.- De 25 microcomputadoras disponibles en un almacén, 10 de ellas tienen tarjetas adaptadoras para una impresora, 5 tienen tarjetas adaptadoras para un módem y 13 no tienen ninguna de éstas.- Utilizar A para representar a aquellas que tengan tarjetas de impresoras, M para las que tienen tarjeta de módem y, luego, representar simbólicamente los siguientes conjuntos, así como mencionar el número de microcomputadoras que hay en cada uno.- a) Las que tienen ambas tarjetas.- b) Las que no tengan tarjeta alguna.- c) Las que solo tengan tarjetas para impresora.- d) Las que tengan exactamente una de las tarjetas.- Solución

3.- Una empresa adquiere una nueva maquina que debe instalarse y probarse antes de que este lista para su uso.- La empresa esta segura de que no tardara mas de 7 días en instalarla y probarla.- Sea A el evento “ se necesitaran mas de 4 días para que la maquina este lista” y B el evento “se necesitaran menos de 6 días para que la maquina este lista”.- a) Describa el evento que es complementario del evento A.- b) Describa el evento que es la intersección de los eventos A y B.- c) Describa el evento que es la unión de los eventos A y B.- d) ¿son los eventos A y B mutuamente excluyentes?.- e) ¿son los eventos A y B colectivamente exhaustivos?.- f) Demuestre que (A ∩ B) U ( A ∩ B) = B g) Demuestre que A U ( A ∩ B) = A U B Solución

VISTO LO BASICO DE TEORIA DE LOS CONJUNTOS PODEMOS AHORA INTRODUCIRNOS EN LO ELEMENTAL DEL MUNDO DE LAS PROBABILIDADES

El término Probabilidad se refiere al estudio de la aleatoriedad y la incertidumbre.- Probabilidad, es la posibilidad o la oportunidad de que ocurra un evento o suceso específico.- La probabilidad es una proporción o fracción cuyo valor se encuentra entre 0 y 1 inclusive.- La probabilidad es 1 cuando el evento ocurrirá con seguridad.- La probabilidad es 0 cuando el evento nunca va a ocurrir.- Se la explica siempre en %.-

En el estudio de las probabilidades definimos: Experimento: un proceso que genera resultados bien definidos.- Ejemplos: Tirar un dado al aire.- Los sueldos de los empleados de una empresa.- Las ventas de un comercio en cierto período.- Observar las piezas producidas por una máquina.- Tomar un test de CI a un grupo de alumnos.- El estudio de metros cuadrados construidos en la ciudad.- Etc.-

Ejemplo: tirada al aire de un dado Experimento Aleatorio Es aquel que proporciona diferentes resultados aún cuando se repita siempre de la misma manera.- Ejemplo: tirada al aire de un dado Experimento Aleatorio

Es el conjunto de todos los resultados de un experimento aleatorio Lo simbolizamos con S ESPACIO MUESTRAL Ejemplos: Experimento aleatorio: tirar un dado al aire. S = {1,2,3,4,5,6} Experimento aleatorio: tirar una moneda al aire S= {cara, cruz}

EVENTO : SON CADA UNO DE LOS RESULTADOS DEL EXPERIMENTO ALEATORIO LOS QUE TIENEN UN VALOR DE PROBABILIDAD SON LOS EVENTOS: EVENTO : SON CADA UNO DE LOS RESULTADOS DEL EXPERIMENTO ALEATORIO Pueden ser: Simples o Compuestos Ejemplo Experimento aleatorio: tirar un dado al aire S = {1,2,3,4,5,6} Pr (Salga un 4) es un evento simple Pr (Salga un número par) es un evento compuesto

TECNICAS DE CONTEO UTILES EN PROBABILIDADES

En muchas de las decisiones empresariales, comerciales o de otra índole, requieren que se cuente el número de subconjuntos que se pueden obtener de un conjunto.- Cuando calculamos probabilidades, nos encontramos que necesitamos poder calcular el número de resultados posibles y favorables a un evento, donde es imposible contarlos simplemente como en el caso de la tirada de un dado al aire.- Para estos casos debemos recurrir a las llamadas técnicas de conteo.- Por ejemplo, una línea de ventas que consta de 10 productos, ¿Cuántos subconjuntos de 3 productos se pueden ofrecer a los clientes?.- Así como este podríamos dar muchos ejemplos.- Vamos analizar cuatro técnicas de conteo que consideramos que son las que más se suelen presentar, son: regla multiplicación, permutaciones, permutaciones con repetición y combinaciones.-

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN.- “Si hay que hacer m operaciones y si las primeras se pueden hacer de n1 formas y sin importarme como se hicieron las primeras la segundas se pueden hacer de n2 formas y así sucesivamente para las m operaciones, entonces la cantidad de operaciones que podemos hacer será: n1 * n2 * n3 * ……….. * nm Veamos un ejemplo:- Supongamos que estamos seleccionando en forma aleatoria a tres artículos de un proceso de producción.- Se examina a cada uno de ellos y se le califica en defectuosos (D) y no defectuosos (N).- Entonces: 2 * 2 * 2 = 8 formas Cuando son pocas las formas que pueden darse, se suele calcular los eventos del espacio muestral por medio de un DIAGRAMA DE ARBOL.-

1º ART. 2º ART 3º ART EVENTOS D DDD D N DDN D DND N N DNN D NDD N NDN D NND N NNN

NUMERO DE ORDENACIONES.- Supongamos que tenemos un número x de objetos que hay que ordenar.- Cada uno solo puede utilizarse una vez.- ¿Cuántas series diferentes son posibles?.- Podemos imaginar que en este problema se nos pide que coloquemos cada uno de los objetos en cada una de las cajas colocadas en fila.- x X-1 X-2 2 1 ………. El número total de formas posibles de ordenar x objetos viene dado por: x ( x-1) (x-2)……….(2) (1) = x ! Donde x ! Es = x factorial.-

PERMUTACIONES Y COMBINACIONES. Al seleccionar los elementos en los subconjuntos, la distinción entre permutaciones y combinaciones depende si el orden de las selecciones hace diferencia.- Si un orden es suficiente para constituir otro subconjunto entonces se trata de permutaciones.- Si dos subconjuntos se consideran iguales debido a que simplemente se han reordenado los mismos elementos, entonces se involucran combinaciones.- Dado un conjunto de n elementos, el número de permutaciones, cada uno de tamaño r, se determina como, el número de permutaciones de n elementos tomados r a la vez: n ! nPr = ( n - r) !

El número de combinaciones de n elementos tomados r a la vez es: n C r = r ! (n - r) ! Ejemplos: 1.- Supongamos que hay que seleccionar dos letras de A, B, C, D, E y colocarlas en orden:¿Cuántas permutaciones son posibles?.- 5P2 = = 20 5 ! 3 !

Los 20 casos son: AB A C A D AE BC BA CA DA EA EC CB BD BE CD CE DE DB EB DC ED Un jefe de personal tiene 8 candidatos para cubrir cuatro puestos parecidos.- Cinco son hombres y tres son mujeres.- Si todas las combinaciones de candidatos tienen las mismas posibilidades de ser elegidas.- ¿Cuál es el número de combinaciones posibles de 4 candidatos elegidos de 8?.- Ahora bien, para que no se contrate a ninguna mujer, los 4 candidatos seleccionados deben provenir de los hombres, entonces, ¿Cuál es el número de combinaciones para esta selección?.-

2.- Si recordamos el caso en donde teníamos 10 productos y deseamos empacar de a tres para ofertas al cliente.- Si se considera que el orden en el cual se ofrecen los 3 productos no influirá en los clientes , es decir, que el orden no hará diferencia alguna , se debe hallar el número de combinaciones de 10 elementos tomados de a 3.- 10 ! 10C3 = --------------------- = 120 formas 3 ! (10 – 3) ! Si la investigación sugirió que el orden en el cual se empacaran los 3 productos afectarían las ventas, se debería determinar el número de permutaciones de los 10 productos tomados 3 a la vez, 10 ! 10P3 = --------------------- = 720 formas (10 - 3) !

3.-Se tienen cinco aspirantes Ingenieros recién recibidos, (Juan, Darío, María, Susana y Natalia) para dos trabajos idénticos.- Un supervisor selecciona dos aspirantes para ocupar esos puestos.- a) Hacer una lista de los modos posibles en que se pueden ocupar los puestos.- Es decir, hacer una lista de todas las selecciones posibles de dos de los cinco aspirantes.- b) Sea A el conjunto de selecciones que contienen por lo menos un hombre.- ¿Cuántos elementos tiene A ?.- c) Sea B el conjunto de selecciones que contienen exactamente un hombre.- ¿Cuántos elementos tiene B?.- d) Escribir el conjunto que contiene dos mujeres, en términos de A y B.- e) Hacer una lista de los elementos en A, A  B, A  B, y A ∩ B

Se estudian diferentes enfoques para determinar la probabilidad de ocurrencia de ciertos fenómenos aleatorios Probabilidad empírica o probabilidad frecuencial Probabilidad clásica o a priori o de Laplace Probabilidad subjetiva

El matemático ruso Kolgomoroff en 1933 Estableció tres axiomas para tener en cuenta en la asignación de probabilidad de un evento, Qué son: Dado un evento A 0 ≤ P (A) ≤ 1 Si S es el espacio muestral del experimento P (S) = 1 3) Si A y B son eventos mutuamente excluyentes P (A U B) = P (A) + P (B) Estos axiomas se deben cumplir al asignar probabilidad a un evento por cualquier enfoque

PROBABILIDAD CLASICA O A PRIORI O DE LAPLACE Es apropiado para asignar probabilidad cuando los resultados del experimento son igualmente probables.- Surgió con los juegos de azar.- Por ejemplo, Si son posibles n resultados experimentales, una probabilidad de 1/n es la que corresponde a cada evento.-

Calculo de una probabilidad será: Nº de formas en que puede ocurrir el evento A P (A) = ---------------------------------------------------------- Número total de posibles resultados

EJEMPLO DE PROBABILIDAD CLÁSICA Se lanza un dado al aire.- ¿Cuál es la probabilidad de que se de un 5? 1 P (5) = ---------- = 0,167  17 % 6 Se tiene un mazo de 52 cartas.- Se decide sacar una carta al azar.-¿Cuál es la probabilidad de que se de un as?.- 4 P (as) = ------- = 0,077  8 % 52

PROBABILIDAD EMPÍRICA O FRECUENCIAL.- Es apropiado para asignar probabilidad cuando se cuenta con datos para estimar la proporción del tiempo en que ocurrirá el resultado experimental si el experimento se repite un número grande de veces.- Evidentemente podemos usar este enfoque siempre que tengamos frecuencias.-

Calculo de una probabilidad será: Número de veces que ha ocurrido el evento A en el pasado P (A) = ------------------------------------------------------------------------------ Número total de observaciones

EJEMPLO DE PROBABILIDAD FRECUENCIAL Nºde hijos de obreros de la empresa xi Obreros 0 20 1 45 2 57 3 39 4 28 5 14 6 9 Se decide seleccionar una familia al azar.- ¿Cuál es la probabilidad de que esta tenga 3 hijos?.- 39 P (3) = --------- = 0,1840 212  18 %

PROBABILIDAD SUBJETIVA Es apropiado para asignar probabilidad cuando se da un experimento en donde no se puede aplicar ninguno de los dos enfoques vistos, y asignamos probabilidad en base al conocimiento del hecho que tenemos.- Por ejemplo: la probabilidad de que mañana llueva es del 70%.-

ALGUNAS RELACIONES BASICAS DE PROBABILIDAD

COMPLEMENTO DE UN EVENTO Dado un evento A, el complemento de A que simbolizamos con A’, es el que esta formado por todos los elementos que no están en A.- En un diagrama de Venn, será: Ejemplo Un gerente de ventas después de revisar los datos dice que la probabilidad de hacer una venta es de 0,80.- La probabilidad de no hacer una venta será: P (A’) = 1 - P (A) = 1 - 0,80 = 0,20 S A’ A El evento A y A’ son mutuamente excluyentes, entonces: P (A) + P (A’) = P (S) pero P (A) + P (A’) = 1 despejando nos queda; P (A’) = 1 - P (A)

LEY ADITIVA O TEOREMA DE LA SUMA Es útil cuando se tiene dos eventos y se desea conocer la probabilidad de que ocurra al menos uno de ellos.- Dado los eventos A y B nos interesa conocer la probabilidad de que suceda A o el evento B o ambos.- Se expresa como, P (A U B)

S Entonces P (A U B) = P (A) + P (B) Para poder aplicar la ley aditiva debemos conocer como son los eventos A y B a) Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes, es decir no tienen entre ellos elementos en común.- S Entonces P (A U B) = P (A) + P (B) A B

P (A U B) = P (A) + P (B) - P ( A ∩ B) b) Si los eventos A y B no son mutuamente excluyentes, es entonces porque tienen elementos que son comunes a ambos.- En ese caso: S A B Podemos decir P (A U B) = P (A) + P (B) - P ( A ∩ B)

Calcular las probabilidades de los eventos E, B y C.- EJERCICIO PROPUESTO: 1.- El gerente de compras desea hacer pedidos de PAPEL a tres proveedores posibles, a los que enumera 1, 2 y 3.- Todos los vendedores son iguales en lo que respecta a la calidad y precio, por lo tanto, el gerente escribe cada número en un trozo de papel; mezcla los papeles y a ciegas selecciona uno de ellos.- Se coloca el pedido con el vendedor cuyo número salió seleccionado.- Sea E, el evento en el que se ha seleccionado al proveedor i ( i = 1, 2, 3), B el evento en el que se selecciona al proveedor 1 o 3; y C el evento en el que el proveedor 1 no se selecciona.- Calcular las probabilidades de los eventos E, B y C.-

PROBABILIDADES MARGINALES Y CONJUNTAS

Si tenemos información como para elaborar una tabla de contingencia, observamos como ya hemos visto, que tenemos frecuencias absolutas marginales y frecuencias absolutas conjuntas.- De aquí que podemos entonces calcular Probabilidades Marginales y Conjuntas aplicando el enfoque frecuencial.-

VEAMOS UN EJEMPLO: Supongamos que una gran Empresa tiene 1200 empleados de los cuales 960 son hombres y 240 mujeres.- En los últimos dos años fueron Jerarquizados solamente 324 empleados de los cuales 288 son hombres.- Con esta información elaboramos la siguiente tabla: HOMBRES (H) MUJERES (M) TOTAL (A) JERARQUIZADOS 288 36 324 (B) NO 672 204 876 960 240 1200

LAS PROBABILIDADES MARGINALES SE CALCULAN CON LOS VALORES QUE SE UBICAN EN LOS MARGENES; Y COMO LOS VALORES DEL CUERPO DE LA TABLA SON VALORES CONJUNTOS, PODEMOS CALCULAR CON ELLOS PROBABILIDADES CONJUNTAS, CADA VALOR ME INDICA UNA INTERSECCION DE AMBOS.- Veamos un ejemplo, con nuestra tabla.- Supongamos seleccionar un empleado al azar.- ¿Cuál es la probabilidad de que: Sea una Mujer.- Sea uno No Jerarquizado.- Sea un Hombre y Jerarquizado.- Sea una Mujer y No Jerarquizado.-

P (M) = 240/1200 = 0,20 ⇒ 20% b) P (B) = 876/1200 = 0,73 ⇒ 73% SOLUCION P (M) = 240/1200 = 0,20 ⇒ 20% b) P (B) = 876/1200 = 0,73 ⇒ 73% P (A ⋂ H) = 288 / 1200 = 0,24 ⇒ 24 % d) P ( M ∩ B) = 204 / 1200 = 0,17 ⇒ 17 %

Si de la tabla queremos aplicar la regla adictiva será: Se selecciona un empleado al azar; ¿Cuál es la probabilidad de que sea un Hombre o Un Jerarquizado? ¿Cuál es la probabilidad de que sea un Hombre o una Mujer? Solución P (H U A) = P (H) + P (A) - P (H ∩ A) = = 960/1200 + 324/1200 - 288/1200 = = 996/1200 = 0,83 ⇒ 83 % b) P (H U M) = 960/1200 + 240/1200 = 1200/1200 = 1,00

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Con frecuencia, la probabilidad de un evento se ve influida por la ocurrencia de otro evento relacionado.- Suponga que tenemos un evento A con P (A).- Si obtenemos nueva información y vemos que ha ocurrido un evento relacionado, representado por B; quisiéramos aprovechar esta información para calcular una nueva probabilidad del evento A.- Esta nueva probabilidad del evento A, se llama Probabilidad Condicional y se escribe P (A / B) y se lee “ Probabilidad de A dado B” o también “Probabilidad de que habiéndose dado B se de A”

LA PROBABILIDAD CONDICIONAL P (A / B) SE PUEDE CALCULAR COMO La relación entre la probabilidad conjunta de A y B y la probabilidad marginal del evento que se dio, es decir P (A ∩ B) P ( A / B) = P (B) Siempre que P (B) > 0.-

Esta ley se basa en la definición de la probabilidad condicional.- LEY DE MULTIPLICACION Se usa para determinar la probabilidad de una intersección de dos eventos.- Esta ley se basa en la definición de la probabilidad condicional.- De la fórmula de probabilidad condicional podemos despejar P (A ∩ B) y entonces tendremos: P (A ∩ B) = P (B) P ( A / B) o también P (A ∩ B) = P (A) P ( B / A)

EVENTOS INDEPENDIENTES Un concepto básico de la teoría de la probabilidad de particular importancia por sus aplicaciones a la estadística es el de INDEPENDENCIA.- Si tenemos dos eventos A y B, la idea de independencia estadística es que la ocurrencia del evento A no cambia la probabilidad de que el evento B suceda, entonces, será: P (A ∩ B) = P (A) * P (B) De no darse esto, A y B no son independientes y decimos que los eventos son dependientes.-

P (A/B) = P (A) y también P (B/A) = P (B) Dado dos eventos A y B independientes, recordemos que en el caso de probabilidades condicionadas P (A/B) = P (A) y también P (B/A) = P (B) Porque: P (A ∩ B) P (A) * P (B) P ( A / B) = ---------------- = ------------------------- = P (A) P (B) P (B) P ( B / A) = ---------------- = ------------------------- = P (B) P (A) P (A)

EJEMPLO PARA EVENTOS INDEPENDIENTES El Gerente de una Estación de Servicio, sabe por su experiencia que el 70% de los clientes usan Tarjeta de Crédito para cargar combustible.- ¿Cuál es la probabilidad de que los dos clientes siguientes que compren combustible usen tarjetas de créditos?.- Solución Si llamamos con A que el Primer cliente use Tarjeta de Crédito.- Si llamamos con B que el Segundo cliente use Tarjeta de Crédito.- P (A ∩ B) = P (A) * P (B) = 0,70 * 0,70 = 0,49  49 %.-

De la tabla de contingencia también podemos calcular probabilidades condicionales Veamos esto en nuestro ejemplo de los 1200 empleados: a) Por definición, será: P (B ∩ H) 672 / 1200 672 P (B / H) = ------------------ = ------------------ = -------- = 0,70 ⇒ 70 % P (H) 960 / 1200 960

Con espacio muestral reducido será: También podemos calcular una Probabilidad Condicional en función del espacio muestral del evento que ya se dio de antemano.- Veamos esto en nuestro ejemplo de los 1200 empleados: Con espacio muestral reducido será: 672 P (B / H) = = 0,70 ⇒ 70 % 960

PARA RECORDAR: NO SE DEBEN CONFUNDIR ENTRE SI EL CONCEPTO DE EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES CON EL DE EVENTOS INDEPENDIENTES.- DOS EVENTOS CUYAS PROBABILIDADES SON DISTINTAS DE CERO NO PUEDEN SER DE MANERA SIMULTANEA MUTUAMENTE EXCLUYENTES E INDEPENDIENTES ENTRE SI.- SI OCURRE UNO DE LOS EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES, EL OTRO NO SUCEDE, ASI QUE LA PROBABILIDAD DE QUE OCURRA EL OTRO EVENTO SE REDUCE A CERO.- EN CONSECUENCIA SON DEPENDIENTES.-

VEAMOS UN EJEMPLO COMPLETO DE APLICACIÓN.-

El Colegio de Ingenieros de cierta provincia chica tiene los siguientes datos sobre la edad y el estado civil de sus 140 socios.- EDAD ESTADO CIVIL TOTAL S.- soltero C.- casado A.- menos de 30 años 77 14 91 B.- 30 años o más 28 21 49 105 35 140

Se decide seleccionar un socio al azar: Aplique las probabilidades marginales para comentar sobre la edad de los socios del Colegio.- Aplique las probabilidades marginales para comentar sobre el estado civil de los socios del Colegio.- ¿Cuál es la probabilidad de que sea soltero y tenga menos de 30 años?.- Si un socio tiene menos de 30 años.- ¿Cuál es la probabilidad de que sea soltero?.- El estado civil de los socios, ¿es independiente de su edad?.- Explique aplicando probabilidad.- Solución

P (A) = 91/140 = 0,65  65 % P (B) = 49/140 = 0,35  35 % Mayor probabilidad de que sea menor de 30 años el elegido al azar por edad.- b) P (S) = 105/140 = 0,75  75% P (C) = 35 / 140 = 0,25  25% Mayor probabilidad de que sea soltero el elegido al azar por estado civil.-

P (S ∩ A) = calculado por probabilidad conjunta será: Calculado por regla de la multiplicación será: P (S ⋂ A) = P (A) P( S/A) = 91/140 * 77/91 = = 77/140 = 0,55  55 %.- o también P (S ⋂ A) = P (S) P (A/S) = 105/140 * 77/ 105 = = 77/140 = 0,55  55 %

d) P (S / A) por definición será: P (A) 91/140 91 Por espacio muestral reducido, el calculo sería: 77 P (S/A) = --------- = 0,8462 ⇒ 85 %.- 91

e) Para demostrar que Estado Civil y Edad son eventos independientes se tiene que cumplir la igualdad, P ( S ∩ A) = P (S) * P (A) Luego: P (S ∩ A) = 77 / 140 = 0,55 ⇒ 55 % P (S) * P (A) = 105/140 * 91/ 140 = 9555/19600 = = 0, 4875 ⇒ 49 %.- Luego P ( S ∩ A) ≠ P (A) * P (B) Entonces S y A no son independientes.-

Cuando nos dan la tabla de probabilidad.- VEAMOS UN EJEMPLO COMPLETO DE APLICACIÓN.- Cuando nos dan la tabla de probabilidad.-

TEOREMA DE PROBABILIDAD TOTAL

Muchas veces interesa la probabilidad de ocurrencia de un evento, pero solo se conoce la probabilidad de ocurrencia del mismo asociado a factores relacionados (o sea las probabilidades condicionadas a los distintos factores) y las probabilidades de ocurrencia de dichos factores.- Veamos el caso para dos eventos, pero se puede generalizar para n eventos.- Supongamos poder dividir el espacio muestral en dos eventos que llamamos E1 y E2 Se da un cierto evento A y observamos que: A = (E1 ∩ A) U (E2 ∩ A) S A E1 E2

Como cada una de estas situaciones planteadas son mutuamente excluyentes, por el 3º axioma de probabilidad, será: P (A) = P (E1 ∩ A) + P (E2 ∩ A) Pero por regla de la multiplicación sabemos que lo expresado es P (A) = P (E1) P (A/E1) + P (E2) P (A/E2) Veamos un ejemplo.- En base a un estudio anterior, se sabe que las viviendas de cierto barrio adjudicado el 60% son gente de Bajos Recursos y el 40% de Clase Media.- Entre la gente de Bajos Recursos el 30% no las modificaron, entre los de Clase Media el 10% no las modificaron.- ¿Cuál es la probabilidad de que una vivienda elegida al azar de las del barrio no sea una modificada?.- Solución

P (C ) = P (A) P (C/A) + P (B) P (C/B) Veamos que datos disponemos según el enunciado: A = Bajos Recursos  P (A) = 0,60 B = Clase Media  P (B) = 0,40 Llamo con C = no la modificaron P ( C/A) = 0,30 P (C/B) = 0,10 P (C ) = P (A) P (C/A) + P (B) P (C/B) = 0,60 * 0,30 + 0,40 * 0,10 = 0,18 + 0,04 = 0,22  22%

TEOREMA DE BAYES.- Del teorema de probabilidad total podemos hacer una ampliación.- Supongamos que ahora se elige una vivienda al azar y se encuentra que no fue modificada.- ¿Cuál es la probabilidad de que se haya adjudicado a gente de Bajos Recursos?.- Observamos que esta pregunta no es más que una probabilidad condicional, P (A ∩ C) P (A/C) = -------------------- P (C) Sabemos que el numerador no es más que una intersección que como conocemos de antemano ciertas probabilidades, aplicamos el Teorema de la multiplicación y el denominador no es más que la probabilidad total que calculamos antes.- Por lo tanto nos queda,

P (A ∩ C) P (A) P (C/A) 0,60 * 0,30 P (A/C) = ----------------- = --------------------- = ----------------- = P (C) P( C) 0,22 0,18 = ------------ = 0,8182  82 % 0,22 Esto es lo que conocemos como TEOREMA DE BAYES.-

Este teorema se lo debemos al Clérigo Thomas Bayes (1702 – 1761), que estaba muy interesados en las matemáticas.- Haciendo una generalización sería : Si B1, B2……..Bj, forman una partición de S y A es cualquier evento en S, entonces: P (Bj) * P (A / Bj) P ( Bj / A) = ∑ P(Bj) P (A/Bj) Donde j = 1,2,3………..k.-

VEAMOS UN EJEMPLO DE APLICACION:

Una Cía. Compra neumáticos de dos proveedores I y II Una Cía. Compra neumáticos de dos proveedores I y II.- El proveedor I tiene un antecedente de suministrar con 10 % de defectos, en tanto que el proveedor II, tiene una tasa de solo el 5% de defectos.- Supóngase que el 40% de las existencias actuales vinieron del proveedor I. Si se toma una llanta al azar de esa existencia: a) ¿Cual es la probabilidad de que sea una defectuosa?.- b) ¿Si se dio una defectuosa, calcular la probabilidad de que la haya suministrado el proveedor I? Solución

a) P (A ) = P(B1) * P(A/B1) + P(B2) * P(A/B2) Sea A = el evento de que el neumático sea defectuoso. Sea Bi el evento en el que un neumático lo haya vendido el proveedor i = I, II y nótese que B1 y B2 forman una partición del experimento que consiste en seleccionar un neumático.- Entonces tenemos como dato: P(B1) = 0.40 P(B2) = 0.60 P(A/B1) = 0.10 P(A/B2) = 0.05 a) P (A ) = P(B1) * P(A/B1) + P(B2) * P(A/B2) = 0,40 * 0,10 + 0,60 * 0,05 = = 0,04 + 0,03 = 0,07  7%

b) P (B1) * P (A/B1) P( B1 / A) = = P (B1) * P (A/B1) + P (B2) * P (A/B2) 0,40 * 0,10 = = 0,5714  69 % 0,40 * 0,10 + 0,60 * 0,05 El Proveedor I tiene mayor probabilidad de haber surtido el neumático defectuoso que el Proveedor II.

Ejemplo 2 de Bayes.- El Departamento de Personal de una empresa muy grande ha descubierto que solo el 60 % de los candidatos entrevistados están realmente calificados (Q) para asumir un cargo en la compañía.- Una revisión de los registros de la firma muestra que quienes estaban calificados, el 67% tuvo un entrenamiento previo en estadística (T), mientras que el 20% de quienes no estaban calificados habían recibido instrucción estadística mucho antes.- Es decir: P (Q) = 0,60 P ( T/Q) = 0,67 P (T/Q) = 0,20 El director de personal puede ver claramente que dado que usted esta calificado, es más probable que usted tenga algo de capacitación en estadística que si no está calificado 0,67 > 0,20.- Se perdió mucho tiempo entrevistando a los candidatos que resultaron no calificados; sin embargo, el director está considerando conceder entrevistas solo a aquellos candidatos que tengan capacitación en estadística.-

El espera incrementar la probabilidad de encontrar candidatos calificados para ocupar el cargo.- La pregunta sería entonces, ¿ es más probable que usted esté calificado dado que ha tenido capacitación, P (Q/T)?.- Si es así, el departamento de in podría evitar demoras y costo innecesario restringiendo las entrevistas solo a aquellos candidatos que tengan capacitación en análisis estadístico.- SOLUCION Utilizando la regla de probabilidad condicional, P (Q ∩ T) P (Q) * P ( T/Q) 0,60 * 0,67 P (Q/T) = = = P (T) P (T) P (T)

Debido a que los registros de la empresa no proporcionan P (T), se debe utilizar el teorema de Bayes para hallar el denominador.- Existen dos formas en las que un candidato puede tener entrenamiento previo: 1) el candidato puede estar calificado y tener capacitación P (Q ∩ T) y 2) el candidato puede no estar calificado y tener entrenamiento P (Q ∩ T).- Por tanto, P (T) = P (Q ∩ T) + P (Q ∩ T) = 0,60 * 0,67 + 0,40 * 0,20 = = 0,482 Entonces: 0,60 * 0,67 P (Q/T) = = 0,834 0,482 Conclusión: Para aumentar la probabilidad de entrevistar solo candidatos calificados, el departamento de personal debería entrevistar solamente a los candidatos que tienen capacitación en análisis estadístico.-

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- En cierta planta de montaje, tres máquinas B1. B2, B3, montan 30,0%, 45,0% y 25% de los productos respectivamente.- Se sabe por experiencia pasada que 2%, 3% y 2% de los productos ensamblados por cada máquina, respectivamente tienen defectos.- Ahora suponga que se selecciona de forma aleatoria un producto terminado: a) ¿Cuál es la probabilidad de que éste defectuoso?.- b) ¿Cuál es la probabilidad de que si es defectuoso, este ensamblado por la máquina B3?.- Solución Respuestas: a) 0,0245 b) 0,2041

2.- Una planta de ensamble recibe sus reguladores de voltaje de tres proveedores diferentes, 60% del proveedor B1, 30% del proveedor B2 y 10% del proveedor B3.- Si el 95% de los reguladores de voltaje que provienen de B1, 80% de los reguladores del proveedor B2 y el 65% de los reguladores del proveedor B3, tienen un rendimiento de acuerdo a las especificaciones, nos gustaría saber la probabilidad de: Que cualquier regulador de voltaje recibido por la planta dé un rendimiento según las especificaciones.- Llame A evento de que un regulador recibido por la planta tiene rendimiento conforme a las especificaciones.- Que un regulador de voltaje específico, cuyo rendimiento corresponde a las especificaciones, provenga del proveedor B3.-

3.- A medida que ciertos artículos llegan al final de una línea de producción, un inspector elige aquellos que serán sometidos a una inspección completa.- Diez por ciento de todos los artículos producidos son defectuosos.- Sesenta por ciento de todos los artículos defectuosos y veinte por ciento de todos los artículos buenos son sometidos a una inspección completa.- Dado que un artículo es sometido a una completa, a) ¿Cual es la probabilidad de que sea defectuoso?.-

4.- Los clientes se encargan de evaluar los diseños preliminares de varios productos.- En el pasado, el 95% de los productos que con mayor éxito en el mercado recibieron buena evaluación, el 60% de los productos con éxito moderado recibieron buenas evaluaciones, y el 10% de productos de escaso éxito recibieron buenas evaluaciones.- Además, el 40% de los productos ha tenido mucho éxito, el 35% un éxito moderado, y el 25% una baja aceptación.- a) ¿Cuál es la probabilidad de que un producto obtenga una buena evaluación?.- Si un nuevo diseño obtiene una buena evaluación, b) ¿ cual es la probabilidad de que se convierta en un producto de gran éxito?.-

5.- Los motores eléctricos que salen de dos líneas de ensamble se almacenan en una bodega común, dicha bodega contiene un número igual de motores de cada línea.- Los motores se muestran periódicamente en esa bodega y se prueban.- Se sabe que el 10% de los motores de la línea 1 son defectuosos y el 15% de la línea 2 son defectuosos.- Si se selecciona un motor al azar en la bodega y se encuentra que tiene defectos.- Calcular la probabilidad de que provenga de la línea 1.-

6.- Si se dispone de dos métodos, el A y el B para enseñar determinada destreza en manufactura.- El índice de reprobados es de 20% para el método A y 10% para el método B.- Sin embargo, el método B es más caro y por lo tanto, solo se usa el 30% del tiempo y el método A el otro 70%.- A un trabajador se lo adiestra con uno de los dos métodos, pero no puede aprender en forma correcta.- ¿Cuál es la probabilidad de que se haya adiestrado con el método A?.-

7.- Un armador de ventiladores eléctricos usa motores de dos proveedores A y B.- La Compañía A suministra el 90% y la Compañía B el otro 10% de los motores.- Supóngase que se sabe que el 5% de los motores que suministra A son defectuosos y que el 3% de los que suministra B son defectuosos.- Se encuentra que un ventilador ya armado tiene un motor defectuoso.- ¿Cuáles la probabilidad de que ese motor haya sido suministrado por la Compañía B?.-

8.- Un depósito tiene lámparas de tres tipos, el 45% son de tipo A, el 35% son de tipo B y el 20% son de tipo C.- Se sabe además que los porcentajes de defectuosas son en cada tipo, 2%, 3% y 5%, respectivamente.- Se toma del depósito una lámpara al azar; ¿Cual es la probabilidad de que sea defectuosa (D)?.-

VARIADOS

2. - Una compañía tiene dos expendios al menudeo 2.- Una compañía tiene dos expendios al menudeo.- Se sabe que el 30% de los clientes potenciales compran productos solo en la tienda I, el 50% compra en la tienda II, el 10% compra en la tienda I y II, y el 10% de los consumidores no compra en ninguna de las dos tiendas.- Sea A el evento en el que un cliente potencial, seleccionado al azar, compra en la tienda I, y B el evento en el que compra en la tienda II.- Calcular las siguientes probabilidades: a) P (A) b) P (A U B) c) P (B) d) P( A ∩ B) e) P (A U B) f) P( A ∩ B) g) P (A U B) Solución

3.- Para encontrar defectos se inspeccionan las partes hidráulicas del tren de aterrizaje que provienen de una instalación de reparación de aviones.- Los antecedentes muestran que 8% tienen defectos solo en los ejes, 6% tienen defectos solo en los bujes y que el 2% tienen defectos tanto en los ejes como en los bujes.- Si se seleccionan al azar las partes hidráulicas que se usarán en una aeronave, determinar la probabilidad de que se tengan: a) Un defecto en los bujes.- b) Un defecto en un eje o en un buje.- c) Solo uno de los tipos de defectos.- d) Ningún defecto en los ejes o en los bujes.- Solución

4.- La probabilidad de que una Industria americana se localice en La Rioja es de 0,70, de que se localice en San Juan es de 0,40 y de que se localice en La Rioja o en San Juan o en ambas es de 0,80.- Cual es la probabilidad de que la industria se localice en: Ambas ciudades.- En ninguna de ellas.- Solución

EJERCICIOS PROPUESTOS: 1.- De 100 estudiantes que terminaron un postgrado de Estadística, 20 eran ejecutivos.- Diez obtuvieron A en el curso y tres de estos eran ejecutivos.- Supongamos que B representa a los ejecutivos.- Suponga que el estudiante seleccionado al azar es ejecutivo.- a) Muestre estos hechos en un diagrama de Venn.- b) Se desea conocer la probabilidad de que el estudiante obtuviera una A.- Solución

2.- Suponga que un supervisor debe seleccionar un trabajador para un puesto especial.- Lleva a cabo la selección mezclando los cuatro nombres y tomando uno al azar.- Sea A el evento de que se selecciona el trabajador 1 o 2.- B el evento de que se selecciona el trabajador 1 o 3.- C el evento de que se selecciona el trabajador 1.- ¿Son independientes A y B?.- ¿Son independientes A y C?.- Solución

3.- Los registros indican que las partes que salen de un taller de reparación de componentes hidráulicos en una instalación de reparación de aviones, el 20% tendrá un defecto en el eje, el 10% tendrá defectos en un buje y el 75% no tendrá defectos.- Para un articulo seleccionado al azar de esta producción, calcular las probabilidades de que: A: el articulo tenga por lo menos un tipo de defecto.- B: el articulo solo tenga defectos en el eje.- Solución

4.- Una sección de un circuito eléctrico tiene dos relevadores en paralelo como mostramos en la siguiente figura.- Los relevadores trabajan en forma independientes, y cuando se conecta un interruptor, ambos cierran en forma correcta con una probabilidad de tan solo 0,80.- Si ambos relevadores están abiertos, calcular la probabilidad de que la corriente pase de S a T cuando se conecta un interruptor.- Sea O un relevador abierto y C un relevador cerrado.- Además A representa el evento de que la corriente pasa de S a T.- 1 S T 2

5.- Suponga que un Arquitecto en el trayecto, de su casa al estudio hay tres semáforos.- Cuando el Arquitecto llega a un semáforo, puede este estar en rojo (R) o en verde (V).- Enumere el espacio muestral, indicando todas las secuencias posibles de luces rojas y verdes que pueden ocurrir en un viaje desde su casa al estudio.- -- En el supuesto que cada elemento del espacio muestral tiene la misma probabilidad de ocurrir: b) ¿Cual es la probabilidad de que en el siguiente recorrido al estudio, usted deba detenerse durante una sola luz roja?.- c) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona deba detenerse durante por lo menos una luz roja?.- Solución

6.- Un estudio de Arquitectura compra papelería a uno de los tres vendedores que llamo V1 , V2 , V3 .- Se ordena un pedido por día, tal que (V2 V3) significa que el vendedor V2 recibe el pedido el primer día y el vendedor V3 lo recibe el segundo día.- Determine el espacio muestral de este experimento de solicitar papelería en dos días sucesivos.- Suponga que se seleccionaron los vendedores al azar cada día y asigne probabilidad a cada evento del espacio muestra.- c) Sea A el evento de que el mismo vendedor recibe los dos pedidos.- Sea B el evento de que V2 consigue por lo menos un pedido.- Calcule las siguientes probabilidades: P (A) P (B) P (A U B) P ( A ∩ B)

7.- Un estudio de mejoramiento de la producción de un fabricante de semiconductores proporciono datos de defectos para una muestra de 450 placas de silicio.- Los siguientes datos presenta un resumen de las respuestas a dos preguntas, ¿se encontraron partículas en el troquel que produjo la placa de silicio? Y ¿las placas eran buenas o malas?.- Calidad de la placa Condición del troquel Total Sin partículas Partículas Buenas 320 14 334 Malas 80 36 116 400 50 450

Suponga que se sabe que una placa de silicio es mala, ¿Cuál es la probabilidad de que fuera producida con un troquel que tenía partículas?.- Suponga que se sabe que una placa de silicio es buena, ¿Cuál es la probabilidad de que fuera producida con un troquel que tenía partículas?.- ¿son estos dos eventos, una placa buena y un troquel sin partículas estadísticamente independientes?.- Explique su respuesta.-

8.- La probabilidad de que un hombre casado vea un cierto programa de TV de Arquitectura es de 0,40 y la de que una mujer casada lo haga es de 0,50.- La probabilidad de que un hombre vea el programa dado que su esposa lo hace es de 0,70.- Encuentre las probabilidades de que: a) Una pareja de casados vea el programa.- b) Una esposa vea el programa dado que su esposo lo hace.- c) Al menos una persona de un matrimonio vea el programa.-

9. - Se sabe que el 42% de los Arquitectos son mujeres 9.- Se sabe que el 42% de los Arquitectos son mujeres.- Se sabe además que el 24% de las mujeres y el 16% de los hombres Arquitectos son desocupados.- Hallar la probabilidad de que un Arquitecto elegido al azar este desocupado.- ¿Cual es la probabilidad de que tenga trabajo?.- ¿Cuál es la probabilidad de que si se dio un Arquitecto desocupado , este sea un hombre?.-