SESIÓN DISTRIBUCIÓN BINOMIAL DE PROBABILIDAD PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA LAS CEA MTRA. MA. DEL CARMEN LÓPEZ MUNIVE SESIÓN DISTRIBUCIÓN BINOMIAL DE PROBABILIDAD

VARIABLES ALEATORIAS Variable Aleatoria Descripción numérica del resultado de un experimento Variable aleatoria discreta Una variable aleatoria que sólo puede asumir una sucesión finita o infinita de valores. Es aquella que toma, a lo más, una cantidad numerable (enteros) de valores distintos. Variable aleatoria continua Una variable aleatoria que puede asumir cualquier valor de un intervalo o conjunto de intervalos. Es aquella que puede tomar cualquier valor entre todos los contenidos de un intervalo de la recta.

Ejemplos de Variable Aleatoria Discreta Experimento Llamar a 5 clientes Vender un auto Inspección de 50 radios Variable Cantidad de clientes que hacen el pedido Sexo del cliente Radios defectuosos Valores posibles 0,1,2,3,4,5 0 Hombre 1 Mujer 0.1,2 … 50

Ejemplos de Variable Aleatoria Continua Experimento Funcionamiento banco Llenar lata 12.1 oz. Construir biblioteca Variable Tiempo en minutos entre llegadas de clientes Cantidad de onzas Porcentaje de avance de proyecto Valores posibles X ≥ 0 0 ≤ X≤ 12.1 0 ≤ X ≤ 100

Distribuciones discretas de probabilidad. Distribución de probabilidad Descripción de cómo se distribuyen las probabilidades entre los valores que puede asumir la variable aleatoria. Función de probabilidad Una función representada por f(x), que determina la probabilidad de que x asuma un valor determinado de una variable aleatoria discreta. Función de probabilidad discreta La que define las probabilidades iguales de distribución uniforme de probabilidad discreta.

Condiciones requeridas para una función de probabilidad discreta: f (x) ≥ 0 Σ f(x) = 1

Distribuciones discretas de probabilidad EJEMPLO. Variable aleatoria discreta y su distribución de probabilidad, ventas de autos en los últimos 300 días Una ventaja importante de definir una variable aleatoria y su distribución de probabilidad es que, una vez conocida la distribución, es relativamente fácil determinar la probabilidad de varios eventos que pueden interesar a quien toma decisiones. Número de Días Autos vendidos X f ( x ) 54 54/300= 0.18 117 1 117/300= 0.39 72 2 0.24 42 3 0.14 12 4 0.04 5 0.01 300

Función de distribución de probabilidad discreta. La que define las probabilidades iguales de la distribución uniforme de probabilidad discreta. FUNCIÓN UNIFORME DE PROBABILIDAD DISCRETA: f ( x ) = 1 / n n = cantidad de valores que pueda asumir la variable aleatoria EJEMPLO: Experimento de tirar un dado, donde n = 6 f(x) = 1/6 x = 1,2,3,4,5,6 f(x) = 1/6

Valor esperado y varianza Medida de la media o localización central ( o tendencia central) de una variable aleatoria Valor esperado Medida de la dispersión o variabilidad de una variable aleatoria. Varianza Del valor esperado de una variable aleatoria discreta Σ (x) = μ = Σ x f ( x ) Ecuación matemática

Valor esperado y varianza. Ejemplo: Ventas de autos en los últimos 300 días Venta promedio 1.5 autos por día. Ventas mensuales promedio = 30 (1.5) = 45 autos Número de Días Autos vendidos X f ( x ) X f (x) 54 0.18 0.00 117 1 0.39 72 2 0.24 0.48 42 3 0.14 0.42 12 4 0.04 0.16 5 0.01 0.05 300   1.50

Valor esperado y varianza Ecuación matemática de Varianza Ejemplo. Ventas de autos en los últimos 300 días Var(x) = s =S (x - m) f(x) 2 2 X (x - μ ) (x - μ )^2 f(x) (x - μ )^2 * f(x) -1.50 2.25 0.18 0.4050 1 -0.50 0.25 0.39 0.0975 2 0.50 0.24 0.0600 3 1.50 0.14 0.3150 4 2.50 6.25 0.04 0.2500 5 3.50 12.25 0.01 0.1225 1.2500

Valor esperado y varianza DEFINICIÓN: VARIANZA. Medida de la dispersión o variabilidad de una variable aleatoria. La varianza en la desviación, , x - μ, mide lo alejado que se encuentra un valor determinado del valor esperado o media μ, de la variable aleatoria.

Ecuación matemática de Varianza de una Variable Aleatoria Discreta Var (x) = σ^2 = Σ (x – μ ) ^2 f(x) = 1.25 Ecuación matemática de Varianza de una Variable Aleatoria Discreta Se define como la raíz cuadrada positiva de la Varianza s = Ö 1.25 =1.118 autos = Ö1.25 =1.118 autos Definición. Desviación Estándar

Distribución binomial de probabilidad DEFINICIÓN. Experimento binomial. Experimento probabilístico que tiene las 4 propiedades siguientes Propiedades de experimento binomial 1. El experimento consiste en una sucesión de n intentos o ensayos idénticos. 2. En cada intento o ensayo son posibles dos resultados. A uno lo llamamos éxito y al otro fracaso. 3. La probabilidad de un éxito, representa p, y la de un fracaso 1-p, y no cambian de un intento a otro. 4. Los intentos o ensayos son independientes.

DEFINICIÓN. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL DE PROBABILIDAD. Una distribución de probabilidad que muestra la probabilidad de x éxitos en n intentos, en un experimento binomial

Distribución Binomial de Probabilidad Si se cumplen las 4 condiciones se tiene un experimento binomial. EJEMPLO: VENDEDOR DE SEGUROS. El experimento consiste en 10 intentos idénticos, y cada experimento implica llegar a una familia. En cada intento son posibles dos resultados. La familia compra póliza (éxito) o la familia no compra (fracaso). La probabilidad de un éxito representa p=0.10, y la de un fracaso 1-p=0.90 y no cambian de un intento a otro. Los intentos son independientes, porque las familias se seleccionan aleatoriamente. El experimento es binomial. La variable aleatoria de interés es la cantidad de ventas. En este caso x puede asumir los valores 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10

Distribución Binomial de Probabilidad EJEMPLO: VENTA DE COCHES Primer cliente Segundo cliente Tercer cliente Resultados Valor de x S (S,S,S) 3 S (S,S,F) 2 F S (S,F,S) 2 S F (S, F,F) 1 F S (F, S,S) 2 S F (F, S, F) 1 F S (F,F, S) 1 F S = Compra F = No compra x = Cantidad de coches vendidos (F,F, F) F

Distribución Binomial de Probabilidad Ejemplo: Venta de Coches El experimento se puede describir como una sucesión de 3 intentos idénticos, uno para cada uno de los 3 clientes que entran a la tienda. En cada intento son posibles dos resultados. El cliente que compra (éxito) o el cliente que no compra (fracaso). La probabilidad de un éxito, representa p=0.30, y la probabilidad de fracaso 1-p=0.70 y se supone igual para todos los clientes. La decisión de compra de cada cliente es independiente de las decisiones de los demás clientes. La cantidad de resultados experimentales que dan exactamente x éxitos en n intentos se puede calcular con la siguiente fórmula: ( ) = n! n x! (n-x)! x

Distribución binomial de probabilidad. 3! ( )= = =3 donde x = 2 éxitos en los n = 3 intentos, el resultado indica que tres de los resultados producen dos éxitos. En el árbol vemos que son: (S,S,F), (S,F,S), (F, S,S) n! n x x! (n-x)! 2! (3-2)! ¿Cuántos resultados experimentales tienen 3 éxitos donde x = 3 éxitos en los n = 3 intentos? ( )= = =1 indica que un resultado produce un éxito. En el árbol vemos que es:(S,S,S) n! 3! n x x! (n-x)! 3! (3-3)! Esta fórmula se puede usar para determinar la cantidad de resultados experimentales que conducen a x éxitos

Para determinar la probabilidad de x éxitos en n intentos, debemos conocer la probabilidad asociada con cada uno de los resultados experimentales. Como los intentos de un experimento binomial son independientes, sólo se multiplican las probabilidades asociadas. La probabilidad de compra por parte de los dos primeros clientes, y de no compra por el tercero es: pp(1-p). Con una probabilidad de 0.30 de compra en cualquier intento tenemos: (0.30)(0.30(1-0.30)=(0.30)^2 * (0.70) = 0.063

PROBABILIDAD DEL RESULTADO EXPERIMENTAL Las otras dos series producen dos éxitos y un fracaso PRIMER CLIENTE SEGUNDO CLIENTE TERCER CLIENTE PROBABILIDAD DEL RESULTADO EXPERIMENTAL Compra No compra pp(1-p)= 0.063 p(1-p)p=0.063 (1-p)pp=0.063

Obsérvese que los 3 resultados con dos éxitos tienen la misma probabilidad. En cualquier experimento binomial, todas las series de resultados que producen x éxitos en n intentos tienen la misma probabilidad. La probabilidad de que cada serie de intentos produzca x éxitos en n intentos es: probabilidad de determinada serie de resultados con x éxitos es igual a p^x(1-p)^(3-2)=p^2(1-p)^1=0.063

Ejemplo: Venta de coches. La ecuación anterior indica que cualquiera de los resultados de dos éxitos tiene la probabilidad igual a: P^2 (1-p)^(3-2) = p^2 (1-p)^1 = 0.063

Distribución binomial de probabilidad. DEFINICIÓN. Función de probabilidad binomial, La función que se usa para calcular las probabilidades de un experimento binomial. f (x) = ( )= p (1-p) f (x) =la probabilidad de x éxitos en n intentos n =la cantidad de intentos ( )= p = la probabilidad de un éxito en cualquier intento (1-p)= la probabilidad de un fracaso en cualquier intento n x (n-x) x n! n x x! (n-x)!

Distribución binomial de probabilidad. Ejemplo: Venta de Coches PROB.DE COMPRA X ¦(x) Cero clientes 0 3! (.30) (0.70) =.343 0!3! Un cliente 1 3! (.30) (0.70) =.441 1!2! Dos clientes 2 3! (.30) (0.70) =.189. 2!1! Tres clientes 3 3! (.30) (0.70) =.027 3!0! =1.000 3 1 2 2 1 3 N=10 X=4 P=.30 DE TABLAS F(X)=.2001

Distribución binomial de probabilidad. VALOR ESPERADO Y VARIANZA PARA LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL DE PROBABILIDAD: E(x)=m = n p Var(x) = s = n p(1-p) se aplica cuando se tiene una cantidad conocida de n de intentos y una probabilidad conocida p de éxito 2 Ejemplo: Venta de Coches Con tres clientes: E(x)=m = n p= 3(.30)=.9 Con 1000 clientes: 1000(.30)=300 El resultado significa la cantidad esperada de clientes que harán una compra La toma de decisiones para aumentar la cantidad esperada de ventas es: aumentar clientes a entrar a la tienda y/o aumentar la probabilidad de compra

Distribución binomial de probabilidad. VALOR ESPERADO Y VARIANZA PARA LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL DE PROBABILIDAD: E(x)=m = n p Var(x) = s = n p(1-p) 2 Ejemplo: Venta de Coches Con tres clientes: E(x)=m = n p= 3(.30)=.9 varianza: Var(x) = s = n p(1-p)= 3(.3)(.7)=.63 desviación estándar = s =Ö .63 =.79 Con 1000 clientes: E(x)=m = n p= 1000(.30)=300 varianza: Var(x) = s = n p(1-p)=1000 (.3)(.7)=210 desviación estándar = s =Ö 210 = 14.49 n!

Distribución binomial de probabilidad. EJEMPLO 1 : Cierta compañía de ventas por teléfono de viajes , sabe por sus registros históricos que el éxito de una llamada, es decir, la venta de un viaje, es de 0.20. Si se hacen 10 llamadas telefónicas, encontrar: La probabilidad de que una llamada sea venta. La probabilidad de que no haya ventas. La probabilidad de que las 10 llamadas sean ventas.

En Minitab se capturan en una columna los valores deseados de las variables aleatorias, para que se calculen las probabilidades asociadas.

Posteriormente se selecciona del Menú Calc>Probability Distributions> Binomial

Elegir Probability, en “Number of Trials” capturar el número total de llamadas hechas ( 10 ) , y en “Probability of success” la probabilidad de éxito (venta) que es de 0.2 .En “Input Colum” seleccionar la columna C1 y en “Optional Storage” seleccionar C2.

Minitab guarda los valores de las probabilidades en la columna C2.

EJEMPLO 2: En un lote de producción generalmente existe el 0.03 de piezas defectuosas. Si se toma una muestra de 15 piezas , calcular: La probabilidad de ninguna pieza defectuosa . La probabilidad de a lo más ( máximo ) 2 piezas defectuosas. La probabilidad de por lo menos ( mínimo ) 2 piezas defectuosas.

Ejercicios 1. La empresa National Oil Company se dedica a operaciones de perforación exploratoria del sureste de Estados Unidos. Para financiar su funcionamiento, los inversionistas forman sociedades que proporcionan financiamiento para perforar una cantidad fija de pozos petroleros .Cada pozo perforado se clasifica como productivo o no productivo. La experiencia en este tipo de exploraciones indica que el 15% de los pozos perforados fueron productivos. Una sociedad recién formada proporciona el financiamiento para realizar perforaciones exploratorias en 12 lugares. a) ¿Cuál es la probabilidad de que los 12 pozos sean productivos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que los 12 pozos no sean productivos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente un pozo sea productivo?

2. Un proceso de producción opera con una salida de piezas defectuosas de 2%. Cada hora se toma una muestra de 50 unidades del producto y se cuenta el número de unidades no conformes. Si se encuentran una o más unidades no conformes, el proceso se detiene y el técnico de control de calidad debe buscar la causa de la producción no conforme. Determine la probabilidad de que esto ocurra, y comente el desempeño de esta regla de decisión.

3. Cuando una máquina nueva funciona bien, sólo el 3% de los artículos que produce tienen defectos. Suponga que se selecciona al azar dos partes producidas en la máquina, y que interesa la cantidad de partes defectuosas encontradas. Calcule: La probabilidad de no encontrar defectos. La probabilidad de encontrar exactamente un defecto La probabilidad de encontrar exactamente dos defectos.