Generadores de Radiación Ionizante 1.2 Modelo del Filamento Dr. Willy H. Gerber Instituto de Fisica Universidad Austral Valdivia, Chile Objetivos: Comprender como los electrones logran abandonar el filamento para ser posteriormente acelerado en el equipo radiológico. www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-1-2-Modelo-del-Filamento-08.08

Electrones de valencia quasi libres x Cationes metálicos “Mar” de Electrones de Valencia no localizados www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-1-2-Modelo-del-Filamento-08.08

Paréntesis Mecánico Cuántico El electrón de conducción no se describe como una partícula “corpúsculo” si no como una “onda”. Dichas ondas “ocupan” el potencial del metal conductor de largo L, describiendo cada una un estado posible con energía bien definida. Función de onda n El vector de onda de la partícula es Largo de onda z/L Otras variables que se asocian a la onda son: El impulso La energía www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-1-2-Modelo-del-Filamento-08.08

L L L Electrones de valencia En un cupo de LxLxL Parámetros: Masa del electrón 9.11x10-31 kg Constante de Planck h = 6.63x10-34 Js L L L Su vector de onda es con nx, ny y nz los estados posibles. Si m es la masa, la emergía será: con h la constante de Planck ( ) ) www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-1-2-Modelo-del-Filamento-08.08

Espacio estado En el espacio de estados, estados con igual energía se encuentran distribuidos sobre una esfera: nz ny nx www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-1-2-Modelo-del-Filamento-08.08

Numero de estados El numero de estados en la esfera de radio n: en que los n pueden tomar valores entre 0 y el numero de electrones N. Por ello el volumen de la esfera debe ser dividido por 1/8: www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-1-2-Modelo-del-Filamento-08.08

Espacio estado Los estados con una energía entre E y E + dE se encuentran entre el espacio estado entre la esfera de radio E y la de radio E + dE: nz ny nx El numero de estados entre ambas superficies se puede calcular retando del numero total de estados en la esfera de radio E + dE aquellos de la esfera de radio E. www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-1-2-Modelo-del-Filamento-08.08

Densidad de estados Con 2 estados por spin “up” y “down” el numero es: www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-1-2-Modelo-del-Filamento-08.08

Probabilidad de que el estado este ocupado La probabilidad de que uno de los estados este ocupado esta dado por la función de Fermi: 1 5 F(E) E/EF EF=100kT EF=kT EF=2kT EF=10kT F(E) = 1; es seguro que un electrón ocupa el estado con F(E) = 0; es seguro que ningún electrón ocupa el estado E EF k T Energía [J] Energía de Fermi [J] Constante de Boltzmann [J/K] 1.38x10-23 m2 kg/s2 K Temperatura absoluta [K] www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-1-2-Modelo-del-Filamento-08.08

Energía de Fermi En el caso extremo de T -> 0: con lo que se puede calcular la energía de Fermi EF ya que el numero de electrones en el cubo de lado L es N [#/m3]. www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-1-2-Modelo-del-Filamento-08.08

Limites Situaciones limites www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-1-2-Modelo-del-Filamento-08.08

Distribución de electrones Con la temperatura los electrones comienzan a desplazarse a estados superiores: www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-1-2-Modelo-del-Filamento-08.08

Función de trabajo Libre Afinidad electrónica Conducción Fermi Valencia x www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-1-2-Modelo-del-Filamento-08.08

pz γ(pz) 1 ‒ γ(pz) Escape de electrones Condición para abandonar el conductor: Impuso mínimo que debe tener el electrón pz γ(pz) 1 ‒ γ(pz) γ(pz) pz m EF ϕ Coeficiente de reflexión [-] Impuso [kg m/s] Masa electrón [kg] Energía de Fermi [J] Función de trabajo [J] www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-1-2-Modelo-del-Filamento-08.08

Escape de electrones Numero de electrones con impulso entre (px,py,pz) y (px + dpx, py + dpy,pz + dpz) www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-1-2-Modelo-del-Filamento-08.08

Probabilidad de que el estado este ocupado La corriente de electrones es entonces: o sea Para calcular la corriente debemos modelar la función de densidad f www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-1-2-Modelo-del-Filamento-08.08

Probabilidad de que el estado este ocupado Para obtener la función f se puede recurrir a la densidad de estados Z. La relación entre el impulso y el modo del electrón: Con el volumen del espacio de fase y la energía se obtiene www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-1-2-Modelo-del-Filamento-08.08

Probabilidad de que el estado este ocupado Pasando del volumen de numero de estados al impulso Como nos interesa solo la componente en z se procede a integrar en x y y: Con lo que se obtiene la función densidad www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-1-2-Modelo-del-Filamento-08.08

Probabilidad de que el estado este ocupado Con y se obtiene la integral de la corriente Lo que nos permite derivar la ecuación de Richardson-Dushman con www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-1-2-Modelo-del-Filamento-08.08