Expresiones regulares AFD AFN AF Tema 2 Gramáticas lineales derecha Tema 1 Sistemas de Ecuaciones Método de los AF Método de las derivadas Expresiones regulares

Expresiones regulares Una expresión regular se define inductivamente como:  denota el lenguaje vacío.  denota {}.  a  , a denota {a}. Si r y s son expresiones regulares que denotan Lr y Ls: (r) denota también Lr. r + s denota Lr  Ls. r s denota Lr Ls. (r)* denota (Lr )*. Solo son E. R. las definidas de esa manera. ( ) * Prioridad de operadores Concatenación Unión

Propiedades de equivalencia (, ,  son E.R.) 1.  + ( + ) = ( + ) + . 2.  +  =  + . 3. () = (). 4. ( + ) =   +   ; ( + )  =   +  . 5.   =   = . 6.  +  =  +  = . 7. * =  8.  =  = . 9. * = . 10. * =  +  * . 11. (* + *)* = (* *)* = ( + )* . 12. ()* = (  )*. 13. (*)** = ( + )* . 14. (*)* = ( + )*  + .

Equivalencia entre A.F. y E.R. AF a partir de expresiones regulares  {a}  q0 qfA A   Unión qf q0   q0 qfB B  q0 qfA q0 qf A B Concatenación

AFD a partir de expresiones regulares: Mét. de derivadas Clausura    q0 qA qfA A qf  AFD a partir de expresiones regulares: Mét. de derivadas Dados: r E. R., x  * Dx(r) = x-1 r = {y  * xy  L(r)}

Reglas del cálculo de Derivadas a) Respecto a símbolos (a, b  , r, s E.R.) : 1. a-1  = . 2. a-1  = . 3. a-1 a =  ; a-1 b =  si a  b . 4. a-1 (r + s ) = a-1 r + a-1 s. - ( a-1r )s si   r 5. a-1 (r s ) = - ( a-1r )s + a-1s si   r 6. a-1 r* = (a-1 r ) r* b) Respecto a cadenas (a  , x  *) : 1. -1 r = r. 2. (xa) -1r = a -1(x -1r).

Obtención de autómatas a partir de E. regulares Un autómata A es equivalente a una expresión regular r sii L(A) = L(r) Entrada: Expresión regular r Salida: AFD A equivalente a r. Método: Calcular {x-1 r x  * } Definir A = (Q, , , q0, F) como sigue Q = {x-1 r x  * }  alfabeto de r (x-1 r , a) = (xa)-1r q0 = -1 r = r x-1 r  F    x-1 r

Sistemas (lineales) de ecuaciones en expresiones regulares X = rX + s con r, s, X expresiones regulares Solución (lema de Arden) X = r* s es solución. Es única si   r (p.10) a) r* s es solución rX + s = r r* s + s = (r r* + ) s = r* s b) Si   r  X = r* (s + t), t  *. rX + s = r r* (s + t) + s = r r* s + r r* t + s = (r r* + ) s + r r* t = r* s + r* t = r* (s + t) Como   r , r r* = r*

Sistema de ecuaciones lineales en e.r.: X1 = r11X1 + r12 X2 + ... + r1nXn + s1 X2 = r21X1 + r22 X2 + ... + r2nXn + s2 .................................................... Xn = rn1X1 + rn2 X2 + ... + rnnXn + sn Solución Método de Gauss aplicando lema de Arden para reducir Aplicación: - Autómatas s. de ecuaciones e. regular -Gramáticas

Sistemas de ecuaciones a partir de autómatas Entrada: A = (Q, , , q1, F); Q = {q1, q2 ,..., qn} Salida: Sistema de ecuaciones con X1 = L(A) Método: Por cada qi introducir variable Xi Si qi  F entonces Xi =....+  Si qj  (qi , a) entonces Xi =....+ a Xj (siendo a    {}) Ejemplo 1 X1 = 0 X1 + 1 X2 X2 = 1 X1 + 0 X2 +  q1 q2 1

Sistemas de ecuaciones a partir de gramáticas l. d. Entrada: G = (N, , P, S); Salida: Sistema de ecuaciones con S = L(G) Método: Por cada A  N introducir variable A. Si A  a  P, a    {} entonces A =....+ a Si A  aB  P, a    {} entonces A =....+ aB Ejemplo S  0 S | 1 A A  1 S | 0 A2 |  S = 0 S + 1 A A = 1 S + 0 A2 + 