Dinámica del movimiento circular Instituto de Física - Facultad de Ingeniería Universidad de la República Dinámica del movimiento circular Anahí Martínez – Paola Kochen Proyecto PMME Física General 1 – Curso 2007

Contenidos: Objetivo Introducción Fundamento Teórico Problema Comportamiento del sistema al variar sus parámetros Conclusiones

Objetivo: Observar cómo influyen los distintos parámetros en el equilibrio del sistema.

Fundamento teórico: Leyes de Newton: Primera ley : Si Segunda ley: Tercera ley (de acción y reacción): www.cosmosmagazine.com Sir Isaac Newton

Fuerza de rozamiento: La fuerza de rozamiento es una fuerza que aparece cuando hay dos cuerpos en contacto. Exciten dos fuerzas de rozamiento: fuerza de rozamiento estático (fs) y fuerza de rozamiento dinámico (fk). fk: fs:

Movimiento circular uniforme: Es aquel movimiento en el que un móvil se desplaza alrededor de un punto central, siguiendo la trayectoria de una circunferencia, de tal modo que en tiempos iguales recorra espacios iguales. Dinámica: por la segunda ley de Newton: Sabemos que: , entonces:

El problema: m   g Una perla de masa m se mueve enhebrada en una guía rectilínea inclinada un ángulo α respecto a la vertical. La guía gira en torno a un eje vertical a velocidad angular constante impuesta y de valor ω.

Pregunta 1: Si el contacto entre la perla y la guía es liso, ¿A qué distancia del eje de giro la perla permanece en equilibrio relativo a la guía?

Resolución, pregunta 1: 1- Diagrama del cuerpo libre 2- Ecuaciones de la perla: mg N Ncos Nsen m   g ĵ î

3- Según el cociente de las ecuaciones anteriormente planteadas:

Pregunta 2: Si el contacto entre la perla y la guía es rugoso (presentando un coeficiente de rozamiento estático μs (μs <1) y dinámico μk (μk <1)), ¿Cuál es la velocidad angular máxima ω para la cual la perla permanece en equilibrio relativo a la guía a una distancia Do del eje de giro? Considere que α = 45º.

Resolución, pregunta 2: 1- Diagrama del cuerpo libre: 2- Ecuaciones de la perla: fs cos N mg Nsen  fs fs sen ĵ î  g Ncosα

3- Despejamos la normal de la segunda ecuación (respecto al versor î), y sustituimos este valor en la primera (es decir, respecto al versor ĵ) Despejamos fs:

4- Sabemos que: Es decir que la fuerza de rozamiento estático no tiene un valor fijo, sino que un rango de valores.

a). Ahora lo que hacemos es a) Ahora lo que hacemos es sustituir la normal en la desigualdad, y luego sustituimos el valor de fs, obteniendo:

b) Realizando el procedimiento anterior nuevamente obtenemos:

Es decir que ω puede variar en un rango de :

Para el caso particular de α = 45º, obtenemos: Es decir que la velocidad angular máxima es:

Comportamiento del sistema al variar sus parámetros Caso 1) El contacto entre la perla y la guía es liso. Analizamos el gráfico de la velocidad angular, en función del ángulo (en grados); para observar como varía la misma acorde el ángulo adquiere distintos valores. Mantenemos fijo D0 / D0= 1m

Si analizamos la ecuación obtenida, observamos que existe una proporcionalidad inversa entre ω y el ángulo. Por ende, es coherente el gráfico adjunto en donde si mantenemos la distancia del eje de giro fija, la velocidad angular disminuye a medida que el ángulo de giro toma valores más grandes.

Caso 2 ) En este segundo caso el contacto entre la perla y la guía es rugoso. Para un mejor análisis y entendimiento nos planteamos los gráficos de las respectivas velocidades angulares, máxima y mínima; en función del ángulo (en grados); manteniendo fijo D0 / D0 = 1m y considerándose dos µ (mu) distintos / µ 1 = 0,2 y µ 2 = 0,8

En éste análisis observamos que la velocidad angular máxima en determinados valores del ángulo (a medida que éste varía) no existe, pues si analizamos el denominador de dicha ecuación tenemos que: Se tiene que cumplir:

Notamos que cuando: no existe ωmax alguno. Y cuando: el valor de ωmax tenderá a infinito. Si ωmax no existe, la perla nunca desliza hacia arriba, cualquiera sea la velocidad angular.

En éste análisis observamos que la velocidad angular mínima en determinados valores del ángulo (a medida que éste varía) no existe, pues si analizamos el numerador de dicha ecuación observamos que se tiene que cumplir dicha relación: Pues está claro que si es menor no existe ωmín alguno. Si ωmín no existe, la perla nunca desliza hacia abajo, cualquiera sea la velocidad angular.