Tema 3. Teoría de Juegos Introducción Juegos estáticos con información completa Juegos dinámicos con información completa Juegos estáticos con información incompleta

Introducción Juegos estáticos con información completa Juegos dinámicos con información completa Juegos estáticos con información incompleta Elementos del Juego Formas de representación del juego Juegos en función del tiempo Juegos según el tipo de información Juego.- Situación formal en la que un conjunto de individuos interaccionan entre ellos y presentan una interdependencia estratégica. Teoría de juegos o Teoría de la decisión interactiva.- estudio de problemas de decisión multipersonales donde existe conflicto estratégico. Tomar decisiones que más convengas para ganar teniendo que cumplir las reglas del juego… … y sabiendo que los demás jugadores también influyen en los resultados con sus decisiones. Tipos.- Cooperativos/No cooperativos.- ¿Acuerdo sobre las decisiones? estáticos/dinámicos.- ¿Simultaneidad en las decisiones? Información completa/incompleta.- ¿Conocimiento de las acciones y consecuencias?

Jugadores (N=1,2…n).- Participantes. Introducción Juegos estáticos con información completa Juegos dinámicos con información completa Juegos estáticos con información incompleta Elementos del Juego Formas de representación del juego Juegos en función del tiempo Juegos según el tipo de información Jugadores (N=1,2…n).- Participantes. Conjunto información.- Conocimiento del jugador en un momento del tiempo, sobre los valores de las diferentes variables, así como las acciones tomadas a lo largo del juego. Acciones (Ai).- Decisiones que puede tomar cada jugador en el momento jugar. Estrategias (Si).- Una estrategia es un plan de acción completo, es decir, es la regla que le indica al jugador qué acción elegir en cada momento del juego, dado su conjunto de información. Antes de jugar determina lo que va a jugar el jugador ante cada situación que pueda presentarse. Combinación o Perfil de estrategias (s=s1…si…sn).- Conjunto o vector de estrategias, por jugador. Resultados.- Modos de conclusión del juego. Pagos (ui [s]).- Jugador recibe pago al acabar juego.

Matriz de pagos. Enfatiza la simultaneidad. Introducción Juegos estáticos con información completa Juegos dinámicos con información completa Juegos estáticos con información incompleta Elementos del Juego Formas de representación del juego Juegos en función del tiempo Juegos según el tipo de información I. Forma estratégica Matriz de pagos. Enfatiza la simultaneidad. Amigos Lanzarse No Lanzarse Nash No Triunfa  (0) Rubia  (1) Amigas  (0,5) Triunfa  (1)

Forma de árbol.- Enfatiza la secuencia juego. Introducción Juegos estáticos con información completa Juegos dinámicos con información completa Juegos estáticos con información incompleta Elementos del Juego Formas de representación del juego Juegos en función del tiempo Juegos según el tipo de información II. Forma extensiva.- Forma de árbol.- Enfatiza la secuencia juego. Secuencial.- Movimientos sucesivos de los jugadores Simultáneo.- Movimientos simultáneos de los jugadores

II. Forma extensiva.- Elementos del árbol Introducción Juegos estáticos con información completa Juegos dinámicos con información completa Juegos estáticos con información incompleta Elementos del Juego Formas de representación del juego Juegos en función del tiempo Juegos según el tipo de información II. Forma extensiva.- Elementos del árbol Nudo. Punto en el juego en el cual algún jugador o la naturaleza toma una acción o el juego termina. [J1: (a,g)] / [J2: (b,c)] Sucesor de un nudo x. Nudo que puede ocurrir si se ha llegado al nudo x. Predecesor de un nudo x. Nudo que debe haber sido alcanzado antes de que el nudo x pueda alcanzarse. Nudo de comienzo. Nudo sin predecesor. Nudo de final. Nudo sin sucesor. [Pagos: d,e,f,h,i]. Rama. Acción del conjunto de acciones de un jugador en un determinado nudo. Trayectoria. Secuencia de nudos y ramas que llevan desde el nudo de comienzo al nudo final.

Juegos estáticos.- Los jugadores toman sus decisiones simultáneamente. Introducción Juegos estáticos con información completa Juegos dinámicos con información completa Juegos estáticos con información incompleta Elementos del Juego Formas de representación del juego Juegos en función del tiempo Juegos según el tipo de información Juegos estáticos.- Los jugadores toman sus decisiones simultáneamente. Juegos dinámicos.- Puede darse el caso de que un jugador conozca ya las decisiones de otro antes de decidir. Una situación de interacción estratégica es un juego secuencial si al menos un jugador conoce algo sobre las decisiones de otros jugadores en algún momento del juego en que le corresponda tomar una decisión. Deberá hacerse explicito el orden en que mueven los jugadores y la información que tiene cada uno de ellos al tomar sus decisiones. Jugador 0.- Si algún movimiento lo realizar naturaleza/azar

Conjunto de información.- Introducción Juegos estáticos con información completa Juegos dinámicos con información completa Juegos estáticos con información incompleta Elementos del Juego Formas de representación del juego Juegos en función del tiempo Juegos según el tipo de información Conjunto de información.- Conocimiento del jugador en un momento del tiempo, sobre los valores de las diferentes variables, así como las acciones tomadas a lo largo del juego. Conjunto de información de un jugador.- En cualquier punto específico del juego es el conjunto de los diferentes nudos en el árbol del juego que el sabe que pueden ser el nudo actual, pero entre los cuales no puede distinguir a través de una observación directa.

Introducción Juegos estáticos con información completa Juegos dinámicos con información completa Juegos estáticos con información incompleta Elementos del Juego Formas de representación del juego Juegos en función del tiempo Juegos según el tipo de información Juegos de información perfecta.- Cada conjunto de información está compuesto por un solo nudo. Cada jugador sabe donde se encuentra dentro del árbol. Ningún movimiento es simultaneo. Todos los jugadores observan los movimientos de la naturaleza. Un juego secuencial es de información perfecta si todos los jugadores están completamente informados acerca de las decisiones previas de todos los jugadores en cada punto del juego.

Introducción Juegos estáticos con información completa Juegos dinámicos con información completa Juegos estáticos con información incompleta Elementos del Juego Formas de representación del juego Juegos en función del tiempo Juegos según el tipo de información Juegos de información imperfecta.- No ocurre lo anterior. Todos los juegos simultáneos los son.

Juegos de información incompleta.- Introducción Juegos estáticos con información completa Juegos dinámicos con información completa Juegos estáticos con información incompleta Elementos del Juego Formas de representación del juego Juegos en función del tiempo Juegos según el tipo de información Juegos de información incompleta.- La naturaleza mueve primero (J0) y su movimiento no es observado por al menos uno de los jugadores. Un juego con información incompleta tiene también información imperfeccta. Algún conjunto de información de un jugador incluye más de un nudo. En caso contrario, Juegos de información completa.- Un juego de información completa pero imperfecta; Juegos simultáneos y juegos en los que la naturaleza hace movimientos que no son inmediatamente revelados a todos los jugadores.

Introducción Juegos estáticos con información completa Juegos dinámicos con información completa Juegos estáticos con información incompleta Soluciones mediante argumentos de dominación Soluciones mediante argumentos de equilibrio (EN) Aplicación (I). Duopolio de Cournot

Juegos estáticos con información completa

Si tu mejor respuesta es única  acción dominante. Introducción Juegos estáticos con información completa Juegos dinámicos con información completa Juegos estáticos con información incompleta Soluciones mediante argumentos de dominación Soluciones mediante argumentos de equilibrio (EN) Aplicación (I). Duopolio de Cournot Si tu mejor respuesta es única  acción dominante. Si existe alguna acción que nunca es mejor respuesta  acción dominada Si varias mejores respuestas, pero una que lo es siempre ante cualquier acción del rival  débilmente dominante Apartarse No Apartarse 2 , 3* 1 , 2 3 , 1 0 , 0 Apartarse No Apartarse 2 , -2 1 , -1 3 , -3

Introducción Juegos estáticos con información completa Juegos dinámicos con información completa Juegos estáticos con información incompleta Soluciones mediante argumentos de dominación Soluciones mediante argumentos de equilibrio (EN) Aplicación (I). Duopolio de Cournot Equilibrio de estrategia dominante iterada.- Es una combinación de estrategias que se encuentra eliminando una estrategia débilmente dominada del conjunto de estrategias de uno de los jugadores… …recalculando para encontrar las estrategias débilmente dominadas que quedan… …eliminando una de ellas y continuando el proceso hasta que sólo queda una estrategia para cada jugador.

EN ningún jugador tiene incentivos a desviarse unilateralmente. Introducción Juegos estáticos con información completa Juegos dinámicos con información completa Juegos estáticos con información incompleta Soluciones mediante argumentos de dominación Soluciones mediante argumentos de equilibrio (EN) Aplicación (I). Duopolio de Cournot Equilibrio de Nash (EN).- Es una combinación de estrategias (acciones) tal que la estrategia de cada jugador es la mejor respuesta a la de sus oponentes. EN ningún jugador tiene incentivos a desviarse unilateralmente. Relación entre EN y dominancia Si en un juego todos tienen estrategia dominante, entonces la combinación de estrategias dominantes es un EN Si la eliminación de estrategias dominadas da lugar a una única combinación de estrategias, entonces ésta constituye el único EN. En ningún EN un jugador puede utilizar una estrategia fuertemente dominada.

Ejemplo.- Dilema del prisionero Introducción Juegos estáticos con información completa Juegos dinámicos con información completa Juegos estáticos con información incompleta Soluciones mediante argumentos de dominación Soluciones mediante argumentos de equilibrio (EN) Aplicación (I). Duopolio de Cournot Ejemplo.- Dilema del prisionero Jugador 2 Confesar No Confesar Jugador 1 (-5,-5) (-1,-10) (-10,-1) (-2,-2) ¿Es a=(NC,C) un EN? U1 (NC,C)= -10 / U1 (C,C) = - 5  Incentivos a desviarse  No EN ¿Es a=(NC,NC) un EN? U1 (NC,NC)= -2 / U1 (C,NC) = - 1  Incentivos a desviarse  No EN ¿Es a=(C,C) un EN? U1 (C,C)= -5 / U1 (NC,C)= - 10  No Incentivos a desviarse  EN Confesar.- Es la estrategia dominante J1. Si J2 Confiesa: -5 > -10  Confiesa Si J2 No Confiesa: -1 > -2  Confiesa Jugador racional nunca elige la estrategia dominada

Ineficiencia en el sentido de Pareto de algún equilibrio. Introducción Juegos estáticos con información completa Juegos dinámicos con información completa Juegos estáticos con información incompleta Soluciones mediante argumentos de dominación Soluciones mediante argumentos de equilibrio (EN) Aplicación (I). Duopolio de Cournot Multiplicidad de equilibrios.- Juegos con más de un EN.  Establecer criterio de eficiencia: Pareto, equidad,… No existencia de equilibrio.- Puede darse en caso de restringir a estrategias puras.  Estrategias mixtas Estrategia pura.- Estrategias de los jugadores establecen planes de juego completos; es decir, establecen por adelantado lo que debe hacer cada jugador. Estrategia mixta.- Distribución de probabilidades sobre las estrategias puras. (Vector que recoge las probabilidades asignadas a las estrategias disponibles) Ineficiencia en el sentido de Pareto de algún equilibrio.

Objetivo.- Maximización del beneficio. Introducción Juegos estáticos con información completa Juegos dinámicos con información completa Juegos estáticos con información incompleta Soluciones mediante argumentos de dominación Soluciones mediante argumentos de equilibrio (EN) Aplicación (I). Duopolio de Cournot Duopolio de Cournot 2 empresas compiten en cantidades sobre un bien homogéneo y con idéntica estructura de costes. Objetivo.- Maximización del beneficio.

Cálculo del Equilibrio Nash. Introducción Juegos estáticos con información completa Juegos dinámicos con información completa Juegos estáticos con información incompleta Soluciones mediante argumentos de dominación Soluciones mediante argumentos de equilibrio (EN) Aplicación (I). Duopolio de Cournot Cálculo del Equilibrio Nash. Max Bº y obtenemos las “funciones reacción” o de mejor respuesta. Resolvemos sistema ecuaciones (q1, q2)

Juegos dinámicos con información completa II Juegos dinámicos con información completa

Estrategias 𝑆 1 = 𝐴,𝐵 𝑆 2 = 𝐴,𝐴 , 𝐴,𝐵 , 𝐵,𝐴 ,(𝐵,𝐵) Introducción Juegos estáticos con información completa Juegos dinámicos con información completa Juegos estáticos con información incompleta Forma normal y forma extensiva Subjuegos Inducción hacia atrás Aplicación (II). Duopolio de Stackelberg Estrategias 𝑆 1 = 𝐴,𝐵 𝑆 2 = 𝐴,𝐴 , 𝐴,𝐵 , 𝐵,𝐴 ,(𝐵,𝐵) 𝐴,𝐴 𝐽𝑢𝑔𝑎𝑟 𝐴 𝑠𝑖 𝐽1 (𝐴) (𝑎,𝑏) 𝐽𝑢𝑔𝑎𝑟 𝐴 𝑠𝑖 𝐽1 (𝐵) (𝑒,𝑓) 𝐴,𝐵 𝐽𝑢𝑔𝑎𝑟 𝐴 𝑠𝑖 𝐽1 (𝐴) (𝑎,𝑏) 𝐽𝑢𝑔𝑎𝑟 𝐵 𝑠𝑖 𝐽1 (𝐵) (𝑔,ℎ) 𝐵,𝐴 𝐽𝑢𝑔𝑎𝑟 𝐵 𝑠𝑖 𝐽1 (𝐴) (𝑐,𝑑) 𝐽𝑢𝑔𝑎𝑟 𝐴 𝑠𝑖 𝐽1 (𝐵) (𝑒,𝑓) 𝐵,𝐵 𝐽𝑢𝑔𝑎𝑟 𝐵 𝑠𝑖 𝐽1 (𝐴) (𝑐,𝑑) 𝐽𝑢𝑔𝑎𝑟 𝐵 𝑠𝑖 𝐽1 (𝐵) (𝑔,ℎ)

Introducción Juegos estáticos con información completa Juegos dinámicos con información completa Juegos estáticos con información incompleta Forma normal y forma extensiva Subjuegos Inducción hacia atrás Aplicación (II). Duopolio de Stackelberg Subjuego.- Es una parte de un juego completo que cuando se separa del juego constituye por sí mismo un juego. Consiste en un nudo que es único en cada conjunto de información, los nudos sucesivos a él y los pagos asociados a esos nudos finales. Cada juego tiene como subjuego a sí mismo.

Perfección en subjuego.- Introducción Juegos estáticos con información completa Juegos dinámicos con información completa Juegos estáticos con información incompleta Forma normal y forma extensiva Subjuegos Inducción hacia atrás Aplicación (II). Duopolio de Stackelberg Perfección en subjuego.- Una estrategia es perfecta en subjuegos cuando contiene un equilibrio en cada subjuego La solución de un juego en forma extensiva es perfecta en subjuegos. Equilibrio de Nash perfecto en subjuegos.- Es un equilibrio de Nash para el juego que, además, proporciona un equilibrio de Nash para todo subjuego propio del juego. Una combinación de estrategias es ENPS si cada jugador juega un equilibrio en cada subjuego. Permanece como equilibrio en todas las trayectorias posibles, la de equilibrio y cualquier otra de algún subjuego.

Introducción Juegos estáticos con información completa Juegos dinámicos con información completa Juegos estáticos con información incompleta Forma normal y forma extensiva Subjuegos Inducción hacia atrás Aplicación (II). Duopolio de Stackelberg En juegos finitos se puede calcular el equilibrio mediante la Inducción hacia atrás Se empieza resolviendo la elección óptima en los últimos nudos de decisión y entonces se sube por el árbol para calcular la decisión óptima en los penúltimos nudos de decisión, y así sucesivamente. Comenzamos hallando el equilibrio en el subjuego final, retrocedemos al subjuego mayor y así hasta llegar a la primera etapa del juego.

Duopolio de Stackelberg Introducción Juegos estáticos con información completa Juegos dinámicos con información completa Juegos estáticos con información incompleta Forma normal y forma extensiva Subjuegos Inducción hacia atrás Aplicación (II). Duopolio de Stackelberg Duopolio de Stackelberg 2 empresas compiten en cantidades sobre un bien homogéneo y con idéntica estructura de costes. Una de las empresas decide en primer lugar (líder) y la empresa seguidora decide en función de lo que diga la líder. Diferencia Cournot.- La empresa seguidora sabe lo que va a hacer la empresa líder.

Cálculo del Equilibrio Nash  Inducción hacia atrás Introducción Juegos estáticos con información completa Juegos dinámicos con información completa Juegos estáticos con información incompleta Forma normal y forma extensiva Subjuegos Inducción hacia atrás Aplicación (II). Duopolio de Stackelberg Cálculo del Equilibrio Nash  Inducción hacia atrás Max Bº de la empresa seguidora Max Bº de la empresa líder, una vez conocida función reacción empresa seguidora y obtenemos la función mejor respuesta a partir CPO.

Juegos estáticos con información incompleta III Juegos estáticos con información incompleta

Introducción Juegos estáticos con información completa Juegos dinámicos con información completa Juegos estáticos con información incompleta Transformación de Harsanyi Aplicación (III). Duopolio de Cournot Juegos Bayesianos estáticos Equilibrio Bayesiano de Nash Harsanyi.- Transformamos juegos de información incompleta en juegos de información completa, pero imperfecta añadiendo un movimiento inicial en el que la naturaleza elige entre distintos conjuntos de reglas. En un conjunto de información incompleta, la naturaleza mueve primero y su movimiento no es observado por al menos uno de sus jugadores. Un juego con información incompleta tiene también información imperfecta. Algún conjunto de información de un jugador incluye más de un nudo.

¿Conocemos realmente los costes de la otra empresa? Introducción Juegos estáticos con información completa Juegos dinámicos con información completa Juegos estáticos con información incompleta Transformación de Harsanyi Aplicación (III). Duopolio de Cournot Juegos Bayesianos estáticos Equilibrio Bayesiano de Nash Duopolio de Cournot ¿Conocemos realmente los costes de la otra empresa? Es difícil obtener información fiable sobre los costes del rival. El rival considera que es estratégicamente importante mantener a sus oponentes engañados sobre sus costes.

Cálculo del Equilibrio Nash. Introducción Juegos estáticos con información completa Juegos dinámicos con información completa Juegos estáticos con información incompleta Transformación de Harsanyi Aplicación (III). Duopolio de Cournot Juegos Bayesianos estáticos Equilibrio Bayesiano de Nash Cálculo del Equilibrio Nash. i. Max Bº y obtenemos las “funciones reacción” o de mejor respuesta.

iii. Resolvemos el sistema formado por q1; q2 (CA); q2 (CB); Introducción Juegos estáticos con información completa Juegos dinámicos con información completa Juegos estáticos con información incompleta Transformación de Harsanyi Aplicación (III). Duopolio de Cournot Juegos Bayesianos estáticos Equilibrio Bayesiano de Nash ii. Llamamos p a la probabilidad Costes (A) y 1-p a la probabilidad Costes (B) iii. Resolvemos el sistema formado por q1; q2 (CA); q2 (CB);

Ejemplo: “Dilema del prisionero” modificado Introducción Juegos estáticos con información completa Juegos dinámicos con información completa Juegos estáticos con información incompleta Transformación de Harsanyi Aplicación (III). Duopolio de Cournot Juegos Bayesianos estáticos Equilibrio Bayesiano de Nash Definimos [Ti] como el conjunto de posibles tipos (ti) del jugador i; siendo cada (ti) una especificación detallada y completa de la información privada que el jugador i pueda poseer. Ejemplo: “Dilema del prisionero” modificado Ambos jugadores realizan acción no confesar. Ambos jugadores se les va a aplicar pena correspondiente a un delito menor o la posibilidad puestos en libertad por falta pruebas. Supongamos que la jugada del azar, que sólo afecta a los pagos del juego si ambos jugadores deciden callar (no confesar), tiene lugar al inicio del juego y sólo el jugador 1 observa su resultado. El jugador 2 solo conoce las probabilidades que gobiernan dicha jugada. P=2/3 Confesar No Confesar (1,1) (5,0) (0,5) (4,4) P=1/3 Confesar No Confesar (1,1) (5,0) (0,5) (10,10)

Introducción Juegos estáticos con información completa Juegos dinámicos con información completa Juegos estáticos con información incompleta Transformación de Harsanyi Aplicación (III). Duopolio de Cournot Juegos Bayesianos estáticos Equilibrio Bayesiano de Nash Un juego bayesiano estático es un juego estático con información incompleta en el que cada jugador i € {1,…,n} tiene un conjunto de acciones disponibles Ai, pero además, al menos, uno de los jugadores dispone de alguna información privada. Harsany:. Tratamos a los jugadores que tengan información privada como si fueran jugadores con distintos tipos. Los jugadores comienzan el juego sabiendo su propio tipo pero no el de sus rivales.

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Introducción Juegos estáticos con información completa Juegos dinámicos con información completa Juegos estáticos con información incompleta Transformación de Harsanyi Aplicación (III). Duopolio de Cournot Juegos Bayesianos estáticos Equilibrio Bayesiano de Nash Probabilidad condicionada y teorema de Bayes.- Como cada jugador conoce su verdadero tipo ti, construye a partir de esta información y de la distribución de probabilidad a priori p, sus creencias o conjeturas probabilísticas sobre los tipos de los otros jugadores pi(t-i|ti) utilizando regla Bayes. En nuestro caso Si suponemos tipos independientes En este caso:

Secuencia temporal. La naturaleza o azar determina el perfil de tipos. Introducción Juegos estáticos con información completa Juegos dinámicos con información completa Juegos estáticos con información incompleta Transformación de Harsanyi Aplicación (III). Duopolio de Cournot Juegos Bayesianos estáticos Equilibrio Bayesiano de Nash Secuencia temporal. La naturaleza o azar determina el perfil de tipos. La naturaleza revela a cada individuo su tipo, pero no sabe qué tipo tiene el resto. Cada individuo elige simultáneamente su acción y se obtienen los pagos

Introducción Juegos estáticos con información completa Juegos dinámicos con información completa Juegos estáticos con información incompleta Transformación de Harsanyi Aplicación (III). Duopolio de Cournot Juegos Bayesianos estáticos Equilibrio Bayesiano de Nash Estrategia.- Plan de acción completo que especifica qué acción adoptar para cada uno de sus posible tipos (no sólo para el que realmente es? En un juego bayesiano las estrategias de cada jugador son funciones del espacio de tipos al espacio de acciones ¿ Por qué debe el jugador que tiene la información privada preocuparse por su acción para todo tipo t posible cuando él sabe que es un tipo concreto? La razón es que para decidir su curso de acción óptimo, necesita conjeturar sobre lo que plantea hacer su rival. Pero el rival no conoce el tipo de jugador que es, así que se formará creencias sobre las acciones de los diferentes tipos que tiene el jugador con información privada.

Ejemplo Confesar NO Confesar (C,C) (1 , 1) (5 , 0) (C,NC) (2/3 , 7/3) Introducción Juegos estáticos con información completa Juegos dinámicos con información completa Juegos estáticos con información incompleta Transformación de Harsanyi Aplicación (III). Duopolio de Cournot Juegos Bayesianos estáticos Equilibrio Bayesiano de Nash Ejemplo Confesar NO Confesar (C,C) (1 , 1) (5 , 0) (C,NC) (2/3 , 7/3) (20/3 , 10/3) (NC,C) (1/3 , 11/3) (13/3 , 8/3) (NC,NC) (0 , 5) (6 , 6) Pagos correspondientes a la situación previa a cualquier acción de los jugadores al azar

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Cálculo del equilibrio Introducción Juegos estáticos con información completa Juegos dinámicos con información completa Juegos estáticos con información incompleta Transformación de Harsanyi Aplicación (III). Duopolio de Cournot Juegos Bayesianos estáticos Equilibrio Bayesiano de Nash Cálculo del equilibrio Para encontrar el equilibrio necesitamos pensar cómo las creencias cambian a lo largo del juego Suponemos que los jugadores son racionales bayesianos, es decir, actualizan sus creencias con la regla de Bayes. Equilibrio Bayesiano es el equilibrio de Nash cuando los jugadores actualizan sus creencias de acuerdo a la regla de Bayes. El proceso de búsqueda del equilibrio tiene tres fases: Se Propone una combinación de estrategias. Se observan las creencias que generan esas estrategias. Se comprueba que dadas esas creencias y las estrategias de los otros jugadores, cada jugador está eligiendo una mejor respuesta para ´el mismo.

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Introducción Juegos estáticos con información completa Juegos dinámicos con información completa Juegos estáticos con información incompleta Transformación de Harsanyi Aplicación (III). Duopolio de Cournot Juegos Bayesianos estáticos Equilibrio Bayesiano de Nash

Referencias Bibliográficas Pérez Navarro, J., Jimeno Pastor, J.L., & Cerdá Tena, E. (2004). Teoría de juegos. Madrid: Pearson Prentice Hall.