Por: Alejandro Narváez Mejía PROYECTO DE GRADO: Aplicación de la dinámica de los fluidos computacionales a fluidos Newtonianos de viscosidad constante, incompresibles en régimen laminar. Por: Alejandro Narváez Mejía

Contenido Motivación Definición del Problema Objetivos Modelo Matemático Solución Numérica Dinámica de los Fluidos Computacionales (CFD) Simulaciones en BasicCFD Conclusiones y Recomendaciones Preguntas

Motivación

Definición del Problema Dinámica de los Fluidos Mecánica de Fluidos Ecuaciones de Navier-Stokes

Objetivos General: Específicos: Resolver numéricamente las ecuaciones de Navier-Stokes. Específicos: Discretizar las ecuaciones de Navier-Stokes mediante los FEM. Desarrollar un código de programación, BasicCFD.

Modelo Matemático Ecuación General de Transporte 𝜕 ρφ 𝜕t +𝛻∙ ρφ V =𝛻∙ Γ𝛻φ + S φ Si φ=1, Ecuación de Conservación 𝜕 ρ 𝜕t +𝛻∙ ρ V =0 Si φ= V , Ecuación de Momemtum 𝜕 ρ V 𝜕t +𝛻∙ ρ V V =𝛻∙ Γ 𝛻 V + S C

Suposiciones Fluidos Newtonianos isotrópicos de viscosidad constante. Ley de viscosidad de Stokes τ ij =− p− 2 3 μ 𝛻∙ V δ ij +μ 𝜕 v i 𝜕 x j + 𝜕 v j 𝜕 x i Si i=j=1, Si i≠j=0 … incompresible… ρ=constante … en régimen laminar… Re<35

𝜕 V 𝜕t + V ∙𝛻 V =−𝛻p+μ 𝛻 2 V + S C Ecuaciones de Navier-Stokes de fluidos Newtonianos de viscosidad constante, incompresibles en régimen laminar. Ecuación de Conservación 𝛻∙ V =0 Ecuación de Momemtum 𝜕 V 𝜕t + V ∙𝛻 V =−𝛻p+μ 𝛻 2 V + S C

Solución Numérica Método de los Elementos Finitos (FEM)

Discretización del Dominio (Mallado) Formulación Débil del Modelo Matemático Ω ρ D V Dt −μ 𝛻 2 V +𝛻∙p ∙v dΩ= Ω C ∙v dΩ Ω 𝛻∙ V ∙q dΩ=0 ∀ q ∈ L 0 2 Ω u i = H i u i v i = H i v i P j = W j P j ∀ v ∈ H 0 1 Ω

Aplicación del Teorema de Green-Gauss Ecuación de Momentum discretizada mediante FEM d dt Ω V ∙v dΩ + Ω V ∙𝛻 V ∙v dΩ + μ ρ Ω 𝛻 V ∙𝛻v dΩ − 1 ρ Ω p∙𝛻v dΩ = 1 ρ Ω C ∙v dΩ+ μ ρ Γ 𝛻 V ∙ n ∙v d Γ− 1 ρ Γ p∙ n ∙v dΓ Ecuación de Conservación discretizada mediante FEM Ω 𝛻∙ V ∙q dΩ=0

Dinámica de los Fluidos Computacionales (CFD) 𝐊 = K 11 0 K 13 0 0 K 22 K 23 0 K 31 K 32 0 K 34 0 0 K 43 0 T= u i v i p j c j 𝐟= f X f Y 0 0 𝐊 𝟏𝟏 =μ r,s 1 det J 𝜕y 𝜕s − 𝜕y 𝜕r − 𝜕x 𝜕s 𝜕x 𝜕r 𝜕 H i 𝜕r 𝜕 H i 𝜕s T 1 det J 𝜕y 𝜕s − 𝜕y 𝜕r − 𝜕x 𝜕s 𝜕x 𝜕r 𝜕 H i 𝜕r 𝜕 H i 𝜕s det J dr ds 𝐊 𝟏𝟑 =− r,s 1 det J 𝜕y 𝜕s − 𝜕y 𝜕r 𝜕 H i 𝜕r 𝜕 H i 𝜕s T W j det J dr ds + Γ H i T W j ∙ n X det J dΓ 𝐟 𝐗 = f X r,s H i T det J dr ds +u Γ H i T det J dΓ

Esquema de solución del sistema de ecuaciones no lineales K ij n T j = f j − K ij n−1 ∙ T j n−1 Esquema de solución Factorización de Doolitle

Simulaciones en BasicCFD Benchmarck I

Resultado analítico vs. Numérico - Error porcentual 0.01% - Número de Iteraciones 71

Benchmarck II

Curvas del campo de velocidad - Error porcentual 0.1% - Número de Iteraciones 90

Simulación: Túnel de Viento

Caso A: rotación del cilindro y fuerza gravitacional PLAY PLAY

Simulación: Truck

Resultados: Campo de Velocidad Campo de Presión

Conclusiones y Recomendaciones Discretización de las Ecuaciones de Navier-Stokes Método de Cuasi - compresión Ω 𝛻∙ V ∙q dΩ=c u i = H i u i v i = H i v i P j = W j P j

La evaluación del código fuente del BasicCFD se llevó a cabo mediante los problemas de Bechmark, tal evaluación indica que el error porcentual del software independiente es del 0.01%, por lo tanto el código es válido y funciona correctamente para fluidos Newtonianos, isotrópicos e incompresibles, en régimen laminar cuyo número de Reynold no sea mayor a 37.

Las ecuaciones constitutivas de los fluidos Newtonianos de viscosidad constante, isotrópicos e incompresibles son representados exitosamente con los coeficientes de viscosidad primario C 44 y secundario C 12 de la ley general de Stokes, sin embargo, la mayoría de los términos de viscosidad C ij que representan a los fluidos Newtonianos son términos desconocidos.

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