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Problema Dual Asociado a todo problema de programación lineal, existe otro problema lineal, llamado DUAL. La relación entre el problema Dual y el original, llamado problema PRIMAL, son extremadamente útiles en múltiples situaciones, ya que tiene importancia teórica , económica y práctica

Considere los problemas

Problema 1 Problema 2

Problema Dual (2) El aspecto más importante de la teoría de la Dualidad es la interpretación y la ayuda que brinda en el análisis de sensibilidad, puesto que la solución óptima del problema dual es la que permite conocer los precios sombra.(Incremento en la f.o. por unidad adicional de recurso)

Por qué el Análisis de Sensibilidad ? Algunos o todos los valores usados como parámetros y coeficientes en la formulación del problema primal, son solamente ..... ESTIMACIONES del futuro. Es necesario investigar el efecto que tendría la variación de éstos, en la solución óptima encontrada.

Por qué el Análisis de Sensibilidad ? Ciertos valores empleados en el modelo pueden ser DECISIONES DE GERENCIA. Se debe investigar el rango en el cual pueden fluctuar estas decisiones para no afectar la solución óptima encontrada.

Por qué el Análisis de Sensibilidad ? La resolución de modelos analíticos proporciona una Solución óptima y un valor óptimo de la F.O. Podría ser solución óptima del Sistema, si el modelo lo representa muy bien. Una solución óptima implementada en el Sistema Real debe ser retroalimentada y “mejorada”. Entonces, una Solución óptima es una información muy pobre dentro de la realidad.....Es indispensable más análisis.

TEORIA DE DUALIDAD Si el primal es: Sujeta a:

TEORIA DE DUALIDAD El Problema Dual, tendrá la siguiente forma: Sujeta a:

Relación Primal- Dual F.O. Primal F.O. Dual X Y Los precios sombra de los resultados primales son los resultados del problema dual, los que tendrán como precios sombra a los resultados del primal

Relaciones duales Relación primal Relación dual equivalente Maximización Minimización Coeficientes en la función objetivo Lado derecho de las restricciones Coeficientes de la función objetivo Coeficientes de la j-ésima variable Coeficientes de la j-ésima restricción Coeficientes de la i-ésima restricción Coeficientes de la i-ésima variable j-ésima variable >=0 j-ésima restricción >= j-ésima variable irrestricta en signo j-ésima restricción tipo igualdad i-ésima restricción tipo igualdad i-ésima variable irrestricta en signo i-ésima restricción <= i-ésima variable >=0

Problema Dual Problema Primal Máx. Z = 5X1 + 8X2 Sujeto a: X1 y X2 ≥ 0 (Y1) (Y2) (Y3) Problema Dual Mín Yo = 10Y1 + 50Y2 + 25Y3 Sujeto a: Y1 + 3Y2 + 3Y3 ≥ 5 Y1 + 6Y2 + 2Y3 ≥ 8 Y1, Y2 y Y3 ≥ 0 (X1) (X2)

Problema Dual Problema Primal Máx. Z = 3X1 + 4X2 – 2X3 S.a: X1 ≥ 0 X2 ≤ 0 X3 Libre (Y1) (Y2) (Y3) (Y4) Problema Dual Mín Yo = 12Y1 + 6Y2 - 40Y3 + 10Y4 S.a: 4Y1 - 2Y2 - 5Y3 + 3Y4 ≥ 3 -12Y1 + 3Y2 + Y3 + 4Y4 ≤ 4 3Y1 + Y2 - 6Y3 - 2Y4 = -2 Y1, Y2 ≥ 0 ; Y3 ≤ 0 ; Y4 Libre (X1) (X2) (X3)

Interpretación económica del dual Se debe tener claro que “el precio sombra o precio dual en los resultados primales es igual al valor de las variables duales. Esto se entenderá económicamente como que, un aumento unitario en los “bi” disponibles o requeridos, generará un aumento en la F.O. igual al precio dual.

Interpretación económica La existencia de un mercado para los recursos escasos y el conocimiento de las variables duales (precios sombra) capacitan al planificador para tomar las decisiones más convenientes para sus propósitos. Este análisis permite evidencias el efecto de los cuellos de botella, fallas en el aprovisionamiento oportuno, importaciones demoradas, etc. Así como aprovechar oportunidades del mercado

Interpretación económica Generalmente el problema primal tiene la interpretación de maximizar utilidades de producción, sujetas a restricciones por escasez de recursos. El problema dual asociado, se interpretará como la minimización de costos para la organización El precio dual se puede entender como el “precio justo” que la organización da al uso de sus recursos

Interpretación económica Cada unidad “Xj” tiene un vector de requerimientos “aij” de los “i” recursos escasos, y una aportación marginal Cj a la F.O. Si cada recurso “i” tiene un precio de oportunidad “Yi”, entonces el monto logrado al utilizarlos en otra alternativa debe superar la contribución que se obtiene en la actividad modelada. Yi x m * Am x i ≥ Cj

Interpretación práctica El tiempo requerido para resolver un problema de programación lineal depende exclusivamente del número de restricciones, y no del número de variables. Si el problema primal tiene “n” variables y “m” restricciones; el problema dual tendrá “m” variables y “n” restricciones. Si todos los coeficientes son los mismos y los resultados son relacionados, entonces se deberá escoger la resolución del problema con menor número de restricciones.

Ejercicio: Una empresa produce dos modelos de artículos electrónicos, que utilizan resistores, capacitores y chips. La siguiente tabla presenta un resumen de los datos del problema

Formule el modelo de programación lineal que ayude en la decisión de cuántos artículos de cada tipo fabricar para maximizar los ingresos. Formule el problema dual. Si la solución final primal está dada por

b) Determine el valor de las variables duales b) Determine el valor de las variables duales. Es decir el valor de un resistor, de un capacitor y de un chip. c) Si un nuevo contratista le ofrece capacitores a 1.00. ¿Debe aceptar la propuesta?