Matemática Básica para Economistas MA99 UNIDAD 6 Clase 14.2 Tema: Función Exponencial Función Logarítmica

Fragmento del discurso del ex Presidente del Consejo de Ministros, Pedro Pablo Kuczynski, en la presentación del Presupuesto de la República del año 2006: “El manejo adecuado de la economía ha permitido otras mejoras: Se ha generado un incremento importante en los niveles de crédito provenientes de las cajas municipales y las EDIPYMES, hacia el sector de las micro y pequeñas empresas, alrededor de 200% del crecimiento en el periodo 2001-2004. Además, los créditos de consumo y los créditos hipotecarios han aumentado respectivamente en 43 y 29% en el mismo periodo. Sobre este último tema hay que destacar que las colocaciones del Fondo MiVivienda han mostrado un crecimiento exponencial, alcanzando un nivel que se ve reflejado en el mayor dinamismo del sector construcción”

Comportamiento Exponencial:

Definición La función f definida por: Se llama función exponencial con base b.

Gráfica x 2x -2 ¼ -1 ½ 1 2 4 3 8

Gráfica x (½)x -3 8 -2 4 -1 2 1 ½ ¼

En general: Si 0 < b < 1 Si b > 1 f(x) f(x) x x

Función exponencial natural: Es la función exponencial cuya base es igual a “e”, donde e = 2.71828… x ex -2 0.14 -1 0.37 1 2.72 2 7.39 3 20.01

Función Logarítmica: Introducción Pregunta de reflexión ¿A qué exponente debe elevarse 10 para producir los números: a. 1000 ? b. 0,001 ? c. -1000 ? d. 50 ?

Logaritmo común (en base 10) y = log x significa 10y = x Ejemplos: log 1= 0, Porque 100=1 log 0,01 = -2, Porque 10-2=0,01 log 10 = ½ , Porque 101/2 = 10

Logaritmo natural común (base e) y = ln x significa ey = x Ejemplos: ln 1= 0, Porque e0=1 ln 10 = 2,3025… Porque e2,3025…=10 ln ek = k , Porque ek = k

y = loga x significa ay = x Logaritmo en base “a” y = loga x significa ay = x donde a: base y: exponente

Forma exponencial logarítmica 32 = 9 4-3 = 1/64 (1/5)-2 = 25 103 = 1000 e0 = 1 log3 9 = 2 log4 (1/64) = -3 log1/5 25 = -2 log 1000 = 3 ln 1 = 0

Función logaritmo f(x) = logax La función logaritmo de base a, donde a > 0 y a  1, se define como: f(x) = logax Observación: 1. Si x1  x2 , entonces loga x1  loga x2 2. Si loga x1= loga x2, entonces x1= x2

. . . . x y Gráficas de y = 2x, y = log2 x 1 0 2 1 4 2 1/4 -2 1/2 -1 1/4 -2 1/2 -1 1 0 2 1 4 2 1/2 1 2 4 2 1 1/2 -1 -2 y = 2x . . . y = log 2x .

Gráficas de y = ex, y = lnx

. . . . x y Gráfica de y = log1/2 x 1 0 2 -1 4 -2 1/4 2 1/2 1 1/4 2 1/2 1 1 0 2 -1 4 -2 1/2 1 2 4 2 1 1/2 -1 -2 y = (1/2)x . . y = log1/2x . .

Gráfica de y = logax para a >1 y = bx De la gráfica: loga1 = 0 logaa = 1 loga0 no definido logax < 0 si x<1 logax > 0 si x>1 Es creciente 1 b b 1 y = log bx

Función Exponencial Graficar: y = e-x Graficar: y = ex+2 La población proyectada P de una ciudad está dada por: Donde t es el número de años después de 1990. Pronosticar la población para el año 2010.

Función Logarítmica Graficar las siguientes funciones, indicando su dominio y rango: y = ln(x-3) y = ln(-x) y = ln(x+1) – 2 y = -ln(x+3) + 1