UNIDAD II ANALISIS DE DECISIONES Diapositivas Unidad II M.A. Erika Straffon Del Castillo

3 rojas 7 negras si es rojasi es negra 6 rojas 8 rojas 4 negras 2 negras Caja 2Caja 3 Ejemplo 1 Conceptos básicos de probabilidad suponga que hay tres cajas que contienen bolas rojas y negras, de las siguiente manera: Caja 1: 3 rojas y 7 negras Caja 2: 6 rojas y 4 negras Caja 3:8 rojas y 2 negras Suponga que se extrae una bola de la caja 1; si es roja, se extrae una bola de la caja 2. Si la bola extraída de la caja 1 es negra, entonces se extrae una de la caja 3. El diagrama se ilustra el juego.

Considera las siguientes preguntas: 1.- ¿Cuál es la posibilidad de extraer una bola roja de la caja 1? Esta probabilidad es incondicional o marginal e igual a 0.30 (la probabilidad marginal de sacar una negra es 0.70). 2.- Suponga que se extrae una bola de la caja 1 y es roja; ¿cuál es la probabilidad de sacar otra bola roja de la caja 2 en la segunda extracción? La respuesta es Éste es un ejemplo de una posibilidad condicional; es decir, la probabilidad de extraer una bola roja la segunda vez si se saca una bola roja de la caja 1 es una probabilidad condicional. 3.- Suponga que la primera bola que se sacó es negra; ¿cuál es la probabilidad condicional de que la segunda bola (esta vez de la caja 3) sea roja? La probabilidad es de La extracción de la caja 1 (el suceso que condiciona o condicionante) es muy importante para determinar las probabilidades de una bola roja (o negra) en la segunda extracción.

4.- Suponga que antes de extrae bolas se plantea la pregunta: ¿cuál es la probabilidad de sacar dos bolas rojas? Aquí sería una probabilidad conjunta; el suceso sería una bola roja en ambas extracciones. El cálculo de la probabilidad conjunta es un poco más complicado que en las preguntas anteriores, por lo que será útil un poco de análisis. Los cálculos son: P(A y B) = P( B | A ) * P (A) Marginal*Condicional =Conjunta SucesoP(A) P(B | A) =P(A y B) RRP(R) = 0.30P(R | R)= 0.60P(RR)= 0.18 RNP(R) = 0.30P(N | R)= 0.40P(RN)= 0.12 NRP(N) = 0.70P(R | N)= 0.80P(NR)= 0.56 NNP(N) = 0.70 P(N | N)= 0.20 P(NN)= 0.14

Diagrama de árbol v Primera extracción Caja 1 Segunda extracción Caja 2 Tercera extracción Caja 3 Negra P(N) = 0.7 Roja P(R) = 0.3 Roja P(R/R) = 0.60 Negra P(N/R) = 0.40 Roja P(R |N) = 0.80 Negra P(N|N) = 0.20 Probabilidades Suceso conjuntas RR P(RR) = 0.18 RN P(RN) = 0.12 NR P(NR) = 0.56 NN P(NN) = 0.14 Las probabilidades conjuntas se pueden resumir como sigue: Dos bolas rojasP(RR)= 0.18 Una bola roja en la primera extracción y una negra en la segundaP(RN)= 0.12 Una bola negra en la primera extracción y una roja en la segundaP(NR)= 0.56 Dos bolas negrasP(NN)=

Tabla de probabilidades conjunta; las intersecciones de las filas y de las columnas son probabilidades conjuntas. Segunda Extracción RN Probabilidad marginal del resultado en la primera extracción Primera Extracción R P(RR)P(RN) N P(NR)P(NN) Probabilidad marginal del resultado en la segunda extracción

El valor monetario esperado de la alternativa B es de 25,000 dólares. Con base a ello, se preferiría B en lugar de A; sin embargo, si la persona fuera adversa al riesgo, podría cambiar la preferencia. Observe que con la alternativa B hay un 30% de probabilidad de obtener beneficios y un 10% de perder dinero. Beneficios (miles de dólares) Utilidad Ejemplo2 Utilidad como la base de la toma de decisiones Suponga una persona debe escoger dos alternativas. La alternativa A comprende un contrato en el que la compañía obtendría con seguridad beneficios de 20,000 dólares. La alternativa B, por otra parte, es la introducción de un nuevo producto y se desconocen las ventas que lograría el producto y, por consiguiente, los beneficios. La gerencia asignó las probabilidades que a continuación se muestran en las diversas posibilidades de obtención de beneficios:

Ahora bien, el decisor debe evaluar a través de la función de utilidad la alternativa con base en los valores de utilidad, en vez de los valores monetarios. Para calcularse la utilidad esperada se deberá multiplicar las probabilidades por las cantidades de utilidad y, sumando. Dando como resultado una utilidad esperada calculada es de Observe que la utilidad de los 20,000 dólares es de Por tanto, la utilidad esperada de la alternativa de B es menor que la utilidad del contrato que representa 20,000 dólares seguros y debe aceptarse el contrato seguro. Probabilidad Beneficios (miles de dólares) Utilidad Valores esperados$

Ejemplo 3 Distribución normal Ejemplo 3.1; Suponga que nos interesa una variable aleatoria normalmente distribuida, X, con media µ = 8 y desviación estándar σ = 3, y deseamos encontrar las siguientes probabilidades: 1.- P(X 10) 2.- P(X > 10) 3.- P(X < X 15) El primer paso es estandarizar la variable aleatoria X para el valor = 10: Después de busca la probabilidad de P(Z 0.67) en la tabla A y se encuentra que es igual a La probabilidad de que X sea menor que 10 es Observe que P(X 10) es igual que P(X < 10), ya que la probabilidad de que sea exactamente 10 se define como cero si la distribución de probabilidad es continua.

Para complementar el ejemplo de probabilidad normal, se hará uso de esta información para desarrollar otros ejercicios. Ejemplo 3.2; Se sabe que para X = 19, Z = 0.67 y que: P(X 10) = P(Z 0.67) = Entonces: P(X > 10) = 1 – P(X 10) = Si la probabilidad de que X sea menor que 10 es 0.75, la probabilidad de que X sea mayor que 10 es En términos de áreas, si el área a la izquierda de 10 es 0.75 y el área total bajo la función de densidad es 1, entonces el área a la derecha de 10 es (1 – 0.75) o Ejemplo 3.3; Se desea determinar el área C de la siguiente figura.

Ahora se puede calcular el área D: P( 10 > 15) = P (Z > 2.33)= 1 – P(Z 2.33) = 1 – = La probabilidad de que X sea mayor que 10 y menor que 15 (o, lo que es lo mismo, que Z sea mayor que 0.67 y menor que 2.33) es el área de C + D menos el área de D: P(10 10) – (X > 15) = P (Z > 0.67) – P (Z > 2.33) = – = En la tabla A (ubicada en la Sección de Información del Curso) se encuentra: P (Z 2.33) = El área C + D es P(X > 10) y el área D es P(X > 15). El primer paso es saber que P(X > 10) = , del anterior ejemplo. Para determinar el área D, o P(X > 15), lo primero que hay que hacer es calcular Z para el valor de X = 15.

Ejemplo 4 Teoría de juegos Considera la matriz de pagos siguiente que representa la ganancia del jugador Z. Los cálculos de los valores minimax y maximin se muestran en la matriz: Jugador B Mínimo del reglón Jugador A maximin Maxímo de columna minimax Cuando el jugar A juega su primera estrategia, puede ganar 8,2,9 o 5, dependiendo de la estrategia elegida por el jugador B. Puede garantizar, sin embargo, una ganancia de por lo menos mín {8, 2, 9,5} = 2, independientemente de la estrategia elegida por el jugador B, de igual manera, si A juega su segunda estrategia, garantiza un ingreso de al menos mín {6, 5, 7, 18} = 5; si juega su tercer estrategia, garantiza un ingreso de por lo menor mín {7, 3, -4, 10} = -4.

Referencias bibliográficas Bierman, Bonini y Hausman (1994). Análisis cuantitativo para la toma de decisiones. Wilmington, Delaware: Addison-Wesley Iberoamericana. Taha, Hamdy A. (2004) Investigación de operaciones. México: Alfaomega Por consiguiente, el valor mínimo en cada renglón representa la ganancia mínima garantizada a A si éste juega sus estrategias puras. Estas se indican en la matriz anterior como mínimo de renglón. Ahora, el jugador A, eligiendo su segunda estrategia, está maximizando su ganancia mínima. Esta ganancia está dada por máx {2, 5, -4} = 5.