El rompecabezas de dos piezas Material extraído de:Rompecabezas de dos piezas, de Developing geometrical reasoning in the secondary school: outcomes of trialing teaching activities in classrooms; de Brown, M; Jones, K. y Taylor, R. 2003. Este rompecabezas de dos piezas se hace a partir de un cuadrado, con un corte que va desde un vértice hasta el punto medio de un lado. LA ELABORACIÓN DE ESTE PPT HA SIDO REALIZADA POR ADRIANA MANRIQUE, NÉSTOR ROBERTS Y ANA BRESSAN en el marco del POSTÍTULO DOCENTE DE ACTUALIZACIÓN ACADÉMICA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA PARA EL NIVEL PRIMARIO. ISFD 813. PUELO. CHUBUT

Primera parte (Trabajo en parejas). Con estas dos piezas: a)¿Cuántas figuras distintas se pueden hacer haciendo coincidir los lados de igual longitud? b)¿Qué figuras son? ¿Puedes nombrarlas? c)¿Cómo pueden asegurar que las piezas determinan cada una de esas figuras? d) ¿Cuál de ellas posee mayor área? ¿Y mayor perímetro? Justifica tus apreciaciones. (Respondan en un poster haciendo los dibujos y dando las respuestas correspondientes)

Primera parte 1.a)¿Cuántas figuras distintas se pueden hacer haciendo coincidir los lados de igual longitud? 1.b)¿Qué figuras son? ¿Puedes nombrarlas?

Paralelogramo propiamente dicho Triángulo rectángulo Cuadrado Paralelogramo propiamente dicho Triángulo rectángulo Trapecio isósceles Pentágono irregular convexo Trapezoide rectángulo Pentágono irregular cóncavo Pentágono Irregular convexo

1. c) ¿Cómo pueden asegurar que las piezas determinan cada una de las figuras (antes mencionadas)? Respuestas empíricas Porque utilizamos material concreto para realizar las distintas figuras. Podemos asegurar que las piezas forman esas figuras porque compusimos cada una de las figuras nombradas. Se puede asegurar recortando las piezas y formando las diferentes figuras. Explicación correcta pero sin demostración Cuando cumplen con las propiedades de las figuras formadas por las piezas. Trapecio isósceles: “tiene un par de lados paralelos llamados base”, “tiene dos lados no paralelos iguales” Polígono cóncavo: “es la región del plano delimitada por tres o más segmentos”, “tiene un ángulo que mide 180º”, “una diagonal es exterior”. Razonamiento deductivo: Es una pentágono irregular cóncavo porque tiene 5 lados no todos iguales (tres valen lo mismo que el lado del cuadrado original, y dos son iguales a la hipotenusa del triángulo rectángulo original) y 5 ángulos distintos (uno recto, uno mayor que un recto pero convexo, dos agudos distintos y un cóncavo mayor que dos rectos) (Con trigonometría podemos sacar el valor de los ángulos agudos del triángulo rectángulo usando la función tangente y luego calcular todos los ángulos del pentágono). Es un trapecio porque es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos (porque uno es igual a un lado del cuadrado y otro es parte de un lado opuesto al mismo) y es isósceles porque los lados no paralelos son iguales ya que corresponden a la hipotenusa del triángulo original.

d) ¿Cuál de ellas posee mayor área. ¿Y mayor perímetro d) ¿Cuál de ellas posee mayor área? ¿Y mayor perímetro? Justifica tus apreciaciones. Las figuras obtenidas tendrán todas la misma área ya que son partes del mismo cuadrado. El ÁREA de “todas” las figuras obtenidas será de: X² (Dos polígonos son equivalentes si se pueden descomponer en sumas de polígonos respectivamente congruentes, la equivalencia es la igualdad en áreas). El PERÍMETRO sí será diferente, algunas figuras tendrán mayor perímetro que otras: “las figuras de mayor perímetro serán aquellas en las que los lados de contacto son los de menor longitud.” Para poder calcular el perímetro de algunas figuras modelizamos, para ello calculamos primero la medida de la hipotenusa del triángulo rectángulo(“Y”) y lo hicimos aplicando el Teorema de Pitágoras (triángulo rectángulo). C²= X² + (1/2X)²  C²= X² + ¼ X²  C²= 5/4X²  C=√5 . X 2

Comprobación del perímetro

Segunda parte: a)¿Por qué hay solo 8 figuras? b)¿Qué pasa si el corte va de vértice a vértice? ¿Y si el corte va de un vértice al punto que está a 1/3 del lado? ¿Y si el corte va de un vértice al punto que está a ¼ del lado? c)¿Cómo obtener un trapecio isósceles? d) El lugar en el que se hace el corte, ¿afecta el número y el tipo de figuras que se pueden hacer? ¿Por qué? e)¿Cuál es la razón entre el área de las dos piezas en cada una de las figuras obtenidas? Explique cómo llegó al resultado. f)¿Qué pasa con el área si se usa un rectángulo en que la razón de sus lados es 1:2? ¿1:3? ¿1:n? g)¿Qué pasa si se superpone una pieza sobre la otra? (considerando los casos anteriores)

Segunda parte: 2.a) ¿Por qué hay solo 8 figuras? Hay solo 8 figuras porque los dos polígonos en que se descompone el cuadrado original (triángulo rectángulo escaleno y trapecio rectángulo) tienen 4 pares de combinaciones de lados de igual longitud. Cada par de lados de igual longitud tiene solo dos formas posibles de combinación distintas (anverso y reverso del triángulo). Es por eso que las figuras distintas que se pueden hacer haciendo coincidir los lados de igual longitud son ocho en total.

Paralelogramo propiamente dicho 2.b) ¿Qué pasa si el corte va de vértice a vértice? Darían 6 figuras pero tres son coincidentes con las otras tres. Paralelogramo propiamente dicho Cuadrado Triángulo isósceles

2.b) ¿Y si el corte va de un vértice al punto que está a 1/3 del lado? Si ocurre esto se forman un cuadrilátero (trapecio rectángulo) y un triángulo (rectángulo). Las figuras posibles de formar en este caso son en total seis y todas ellas son distintas entre sí. a f” b f e c d

Pentágono irregular convexo Cuadrado Trapezoide rectángulo Trapecio isósceles Pentágono irregular convexo Paralelogramo propiamente dicho

2.b) ¿Y si el corte va desde un vértice al punto que está a ¼ del lado? Si ocurre esto también se forman un cuadrilátero (trapecio rectángulo) y un triángulo (rectángulo). Las figuras posibles de formar aquí también son seis y todas ellas son distintas entre sí. a f” b f e c d

Trapezoide rectángulo Paralelogramo propiamente dicho Trapecio isósceles Pentágono irregular convexo Cuadrado Pentágono irregular convexo Trapezoide rectángulo

Conviene mirarlo así para no saltearse ni repetir figuras

2.c) ¿Cómo obtener un trapecio isósceles? (Distintas respuestas) Con un triángulo rectángulo y un trapecio rectángulo se puede armar un trapecio isósceles. Solo se deben colocar los ángulos rectos de ambas piezas de manera que queden suplementarios y adyacentes, en lo que será la base mayor de un trapecio isósceles. Cuando el corte que sale desde un vértice del cuadrado va hacia la mitad, la tercera y/o la cuarta parte de un lado del mismo se generan, como ya dijimos antes, un cuadrilátero (trapecio rectángulo) y un triángulo (rectángulo), en estos casos ubicando de determinada forma a ambas figuras se puede formar un trapecio isósceles. En el caso en que el corte va de vértice a vértice como las figuras que se generan son dos triángulos jamás se podrá armar un trapecio isósceles. Para que se forme el trapecio isósceles, en los casos donde sí se puede hacerlo, se debe hacer coincidir el cateto mayor del triángulo rectángulo con el lado no paralelo perpendicular a la base del trapecio rectángulo, de modo que el cateto menor del triángulo sea consecutivo a la base mayor del trapecio. Cateto menor del triángulo más la base mayor del trapecio rectángulo formarán la “base mayor” del “trapecio Isósceles” que se origine.

Siempre es posible obtener un trapecio isósceles con estos cortes (menos con el que va de vértice a vértice).Tomé el triángulo original y lo invertí tomando como eje de simetría la extensión de la base menor; luego lo trasladé dos veces (primero según la base menor y luego según el lado perpendicular del trapecio igual al cateto mayor) hasta hacer coincidir el ángulo recto del triángulo con el del trapecio. Dado que quedan dos ángulos adyacentes rectos, sus lados son semirrectas opuestas, por lo tanto pertenecen a la misma recta que será la base mayor del trapecio (por lo tanto se mantiene el paralelismo de las bases) y cuyos lados no paralelos son iguales a la hipotenusa del triángulo. (Nótese que en esta respuesta existe justificación geométrica de la figura obtenida)

2.d) El lugar en el que se hace el corte ¿afecta el número y el tipo de figuras que se pueden hacer? ¿Por qué? El lugar en el que se hace el corte, afecta el número y el tipo de figuras que se pueden hacer porque determina la cantidad de lados congruentes que quedarán entre ambas figuras y que por lo tanto podrán o no superponerse (coincidir). Las posibilidades son de ocho figuras distintas en el caso de que se una un vértice con el punto medio del lado del cuadrado, y serán seis las posibilidades cuando el corte salga desde un vértice y vaya a cualquier otro punto del lado.

¿Qué movimientos del triángulo permiten transformar el cuadrado en el trapecio? Una simetría axial y una traslación Simetría axial traslación Trapecio Isósceles

2.d) El lugar en el que se hace el corte, ¿afecta el número y el tipo de figuras que se pueden hacer? ¿Por qué? Pensamos que sí, porque determina la cantidad de lados congruentes que quedarán entre ambas figuras y que por lo tanto podrán o no superponerse (coincidir). Las posibilidades son de ocho figuras distintas en el caso de que se una un vértice con el punto medio del lado del cuadrado, y son seis las posibilidades cuando el corte salga desde un vértice y vaya a cualquier otro punto del lado.

Razones entre áreas ¿Cuál es la razón entre el área del triángulo y del cuadrado según los distintos cortes? 2.3)¿Cuál es la razón entre el área de las dos piezas en cada una de las figuras obtenidas?

X X/2 X X/2 X 1 : (2n - 1) 1 : (2.2 – 1) 1 : (4 – 1) 1 : 3

2.f)¿Qué pasa con el área si se usa un rectángulo en que la razón de sus lados es 1:2? ¿1:3? ¿1:n?

DISTANCIA AL CORTE NÚMERO DE CORTES ÁREA TRIÁNGULO ÁREA TRAPECIO RAZÓN ENTRE ÁREAS TRIÁNGULO/TRAPE CIO 1/2 2 1/4 3/4 1/3 o 1:3 1/3 3 1/6 5/6 1/5 o 1:5 …. 1/n n 1/2n (2n-1)/2n 1/(2n-1)

Conclusiones sobre la razón entre áreas en el Rompecabezas de 2 piezas No importa si es un cuadrado o un rectángulo lo que importa son los puntos de corte. No importan las dimensiones del rectángulo o del cuadrado. Lo que importa son los puntos de corte que determinan la cantidad de triángulos en que se dividen, y por lo tanto, sus áreas. Si el corte es de 1/n el número de triángulos será 2n. Cuanto mayor es n quedarán triángulos de área menor y la razón área triángulo/área trapecio se irá achicando (o lo que es lo mismo, la de área trapecio/área triángulo se agrandará). Cuando la razón es 1 implica que el corte va de un vértice al vértice opuesto y quedan dos triángulos congruentes lo que justifica ese resultado.

Las razones resultan iguales que las que se dan en el cuadrado. 2.g)¿Qué pasa si se superpone una pieza sobre la otra? (considerando los casos anteriores) Las razones resultan iguales que las que se dan en el cuadrado.

Extensión: Haz lo mismo que en la primera parte con un rompecabezas de tres piezas, usando siempre todas las piezas.

Nosotros pudimos armar 19 figuras distintas. ¿Cuántas figuras distintas se pueden hacer haciendo coincidir los lados de igual longitud? Nosotros pudimos armar 19 figuras distintas.

¿Cuál de ellas posee mayor área? ¿Cuál de ellas tiene mayor perímetro? Todas las figuras poseen la misma área. Dos polígonos son equivalentes si se pueden descomponer en sumas de polígonos respectivamente congruentes, la equivalencia es la igualdad en áreas . ¿Cuál de ellas tiene mayor perímetro? Tendrán mayor perímetro aquellas figuras en donde los lados que se contacten sean los de menor longitud

Extensión b) Si lo deseas, haz lo mismo que en la primera parte con un rompecabezas de 5 piezas.

Ustedes ¿Sacarían algo? Contenidos que consideraron los docentes que se trabajan con el Rompecabezas de dos piezas (Adaptado del trabajo de García-Bertinetti-Barría) Primera parte: Relaciones espaciales de ubicación (arriba, adelante, frente, ...); de orientación (a la izquierda, hacia abajo, …); de dirección (horizontal, vertical, paralela, …). Relaciones entre rectas. Paralelas. Perpendiculares. Oblicuas. Figuras: elementos, propiedades que las caracterizan. Identificación, comparación, clasificación y análisis con distintos criterios. Dibujo y construcción. Relaciones entre perímetros y áreas. Congruencias y semejanzas de figuras. Propiedades. Representaciones a escala. Transformaciones isométricas: traslaciones, rotaciones y simetrías. Segunda parte: ponen lo mismo, pero omiten Relaciones entre rectas. Ustedes ¿Sacarían algo? ¿Agregarían algo?