PROBABILIDAD U. D. 15 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.
EXPERIMENTOS ALEATORIOS U. D. 15.1 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.
Experimentos aleatorios SUCESOS ALEATORIOS Hay muchos fenómenos en los que, antes de que se produzcan, se puede predecir el resultado. Mientras que hay otros que dependen del azar y se les llama sucesos aleatorios. En éstos últimos por mucho que se repita el experimento y en las mismas condiciones, no se puede predecir el resultado. El conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se llama ESPACIO MUESTRAL y se designa por E. Ejemplos: Lanzamiento de una moneda al aire. E={c, x} Lanzamiento de un dado al aire. E={1, 2, 3, 4, 5, 6} Extraer una carta de una baraja. E={AsB, 2B, 3B, …, RO} Extraer una bola en un sorteo de lotería. E={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Familias con dos hijos. E={VV,VM,MV,MM} @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.
TIPOS DE SUCESOS Suceso ELEMENTAL Es aquel formado por un único punto muestral, es decir por un único resultado del experimento. Suceso COMPUESTO Es el que está formado por dos o más sucesos elementales. Suceso SEGURO Es el que está formado por todos los resultados posibles. Suceso IMPOSIBLE Es aquel que nunca se verifica. Se representa por ø. Sucesos IGUALES Son los que están formados por los mismos puntos muestrales. Suceso CONTRARIO Es el que se verifica cuando no se realiza el suceso A. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.
COMPATIBILIDAD SUCESOS COMPATIBLES Dos sucesos, A y B, se los llama sucesos compatibles cuando se pueden dar a la vez. Ejemplo_1 Sea A el suceso “Que al lanzar un dado el resultado sea un 6” y sea B el suceso “Que al lanzar un dado el resultado sea un número par”. Ejemplo_2 Sea A el suceso “Al extraer una carta sea una copa” y sea B el suceso “Al extraer una carta sea un rey”. SUCESOS INCOMPATIBLES Dos sucesos, A y B, se los llama sucesos incompatibles cuando no se pueden dar a la vez. Sea A el suceso “Que al lanzar un dado el resultado sea un 5” y sea B el suceso “Que al lanzar un dado el resultado sea un número par” @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.
DEPENDENCIA SUCESOS INDEPENDIENTES Dos sucesos, A y B, consecutivos en el tiempo, se los llama sucesos independientes cuando el resultado del segundo suceso no depende del resultado obtenido en el primero. Ejemplo_1 En un juego de azar se lanzan dos dados al aire. Sea A el suceso “Que el resultado de un dado sea cualquier número” y B el suceso “Que el resultado del otro dado sume 7 con el del primero”. El resultado de cualquier dado es independiente, no depende, no tiene ninguna conexión ni influencia alguna con el resultado del otro. Ejemplo_2 Se extraen dos bolas de una urna opaca, una a continuación de la otra, devolviendo la primera a la urna antes de extraer la segunda. Al devolver la primera bola a la urna, el resultado de la segunda extracción es independiente del resultado de la primera. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.
TIPOS DE SUCESOS SUCESOS DEPENDIENTES Dos sucesos, A y B, consecutivos en el tiempo, se los llama sucesos dependientes cuando el resultado del segundo suceso depende del resultado obtenido en el primero. Ejemplo_1 En un juego de azar se lanza una moneda al aire. Si sale cara se elige una caja de tres propuestas, una de las cuales contiene el premio. Si sale cruz se elige una caja de cinco propuestas, dos de las cuales contienen el premio. Está claro que el suceso B, “Obtener el premio al abrir una caja”, depende del resultado del suceso A, pues las condiciones son distintas . Ejemplo_2 Se extraen dos bolas de una urna opaca, una a continuación de la otra, sin devolver la primera a la urna antes de extraer la segunda. El suceso B “Que la segunda bola extraída sea negra” está condicionado por el resultado de la primera extracción, pues hay una bola menos, independientemente del color de la bola en la primera extracción. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.
LEY DEL AZAR LEY DEL AZAR Aunque no se puede predecir el resultado, por ejemplo al lanzar un dado al aire, si se repite la experiencia muchas veces, se observa que cada una de las distintas posibilidades aparece aproximadamente el mismo número de veces. Las frecuencias absolutas y relativas tienden a igualarse. Veamos un ejemplo: Si lanzamos un dado (no trucado) al aire 6 veces, lo más seguro es que no obtengamos los seis resultados posibles. Si lo lanzamos 60 veces, es muy posible, casi seguro, obtener los seis resultados, aunque con distintas frecuencias relativas. Si lo lanzamos 6 millones de veces, es muy posible que cada resultado del 1 al 6 haya salido aproximadamente un millón de veces. Si seguimos lanzando el dado millones de veces más, la frecuencia de todas las modalidades se igualará, y tendrá un valor de: fr = 1/6 = 0,1667 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.
Ejemplo: MONEDA 10 hi 100 hi. 1000 10000 100000 Cara Cruz RESULTADOS DEL LANZAMIENTO DE UN MONEDA , TRAS 10, 100, 1000, 10000 y 100000 VECES, CON SU FRECUENCIA ABSOLUTA Y SU FRECUENCIA RELATIVA EN %. 10 hi 100 hi. 1000 10000 100000 Cara 2 20 35 624 62,4 5723 57,23 51327 51,33 Cruz 8 80 65 376 37,6 4277 42,77 48673 48,67 Para valores pequeños en el número de lanzamientos, las frecuencias relativas pueden diferir mucho, incluso alternarse (que el número de caras sea mayor que cruces y luego al revés); pero cuando el número de lanzamientos es muy elevado, las frecuencias relativas (hi) tienden a converger en el valor de hi = 0,50 = 50%, que es la probabilidad. Nota: Suponemos que la moneda no está trucada. PROBABILIDAD es el valor al que tienden las frecuencias relativas cuando el número de experiencias tiende a infinito o a un número muy elevado. Se expresa en tantos por uno o en porcentajes. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.
Ejemplo: DADO RESULTADOS DEL LANZAMIENTO DE UN DADO, TRAS 10, 100, 600 Y 1200 VECES, CON SU FRECUENCIA ABSOLUTA Y SU FRECUENCIA RELATIVA EN %. Exp 1 hi. 2 3 4 5 6 10 20 30 40 100 15 25 14 16 600 87 95 110 18 89 94 125 21 1200 197 204 17 189 207 210 193 Nota: Suponemos que el dado no está trucado. La PROBABILIDAD es el valor al que tienden las frecuencias relativas cuando el número de experiencias tiende a infinito o a un número muy elevado. Se expresa en tantos por uno o en porcentajes. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.
¿DADO TRUCADO? Caras 100 veces 1000 veces 10000 veces oo veces xi fi hi=pi 1 10 100 800 0,08 2 25 120 1000 0,10 3 13 313 1600 0,16 4 17 117 5 15 200 2800 0,28 6 20 150 3200 0,32 10000 Experimento Creemos que un dado está trucado. Para demostrarlo lo lanzamos miles de veces, anotando los resultados a los 100, 1000 ,10000, … lanzamientos. Conclusión: Dado trucado. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.
Otro ejemplo Amigos 10 días 100 días 1000 días … oo Días xi fi fr=pi 7 100 0,15 1 8 40 0,01 2 30 3 12 50 0,00 4 6 25 5 60 17 175 0,30 13 250 0,20 9 15 90 10 80 1000 0,991 Experimento Un grupo de 10 amigos quedan todos los días para salir. Día a día se observa la cantidad de ellos que salen y se apunta el resultado. Posteriormente se realiza una tabulación de resultados a los 10, 100 ,1000, … días. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.