Computacion Inteligente 2017/4/1 Computacion Inteligente Relaciones fuzzy

Contenido Vectores y matrices fuzzy Relaciones crisp Relaciones fuzzy 2017/4/1 Contenido Vectores y matrices fuzzy Relaciones crisp Relaciones fuzzy Extension de un conjunto fuzzy por una relacion crisp Extension de un conjunto fuzzy por una relacion fuzzy: composicion

Vectores y matrices fuzzy 2017/4/1 Vectores y matrices fuzzy

Vectores y matrices fuzzy 2017/4/1 Vectores y matrices fuzzy Un vector fuzzy es un vector cuyos elementos tienen valores dentro del intervalo [0,1] Una matriz fuzzy es la aglomeracion de vectores fuzzy.

2017/4/1 Suma de matrices fuzzy

Multiplicacion de matrices fuzzy 2017/4/1 Multiplicacion de matrices fuzzy

2017/4/1 Relaciones crisp

2017/4/1 Conjunto Producto Sean A y B dos conjuntos no vacíos, el conjunto producto o producto Cartesiano A × B se define como A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B } El concepto de producto Cartesiano puede ser extendido a n conjuntos.

Conjunto Producto: ejemplo 2017/4/1 Conjunto Producto: ejemplo A = {a1, a2, a3}, B = {b1, b2}

2017/4/1 Relaciones crisp Sean A y B dos conjuntos y existe una propiedad especifica entre los elementos x de A e y de B, Esta propidedad puede ser descrita usando el par ordenado (x, y). Un conjunto de tales pares (x, y), x ∈ A and y ∈ B, es denominado una relacion R.

Relaciones crisp R = { (x,y) | x ∈ A, y ∈ B } 2017/4/1 Relaciones crisp R = { (x,y) | x ∈ A, y ∈ B } R es una relacion binaria y un subconjunto de A × B. El termino “x esta en relacion R con y” se denota como (x, y) ∈ R o x R y con R ⊆ A × B.

Relacion crisp: ejemplo 2017/4/1 Relacion crisp: ejemplo Sea: A = {1,2,3} y B = {2,3,4} El producto carteciano A × B: {(1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,2), (3,3), (3,4)} R = “el primer elemento no es menor que el segundo elemento” R = {(2,2), (3,2), (3,3)}

Relacion crisp como un mapeo 2017/4/1 Relacion crisp como un mapeo R = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B, y = f(x)} f : A → B

Dominio y rango de una relacion 2017/4/1 Dominio y rango de una relacion Sea R una relacion entre A y B Dominio dom(R) = { x| x ∈ A, (x, y) ∈ R para algun y ∈ B } Rango ran(R) = { y | y ∈ B, (x, y) ∈ R para algun x ∈ A }

Relacion crisp: representacion 2017/4/1 Relacion crisp: representacion Grafica Grafico dirigido

Relacion crisp: representacion 2017/4/1 Relacion crisp: representacion Matricial O tambien: R = {(a1,b1), (a2,b2), (a3,b2), (a4,b2)} Una relacion es un conjunto en el espacio producto

Relacion crisp: ejemplo 2017/4/1 Relacion crisp: ejemplo Sea: A = {1,2,3} y B = {2,3,4} R = “el primer elemento no es menor que el segundo elemento” R = {(2,2), (3,2), (3,3)}

Relaciones crisp: ejemplo 2017/4/1 Relaciones crisp: ejemplo x esta en relacion R con y “y es el cuadrado de x”

Operaciones sobre relaciones 2017/4/1 Operaciones sobre relaciones Union: T = R ∪ S Si (x, y)∈R o (x, y)∈S, entonces (x, y)∈T Interseccion: T = R ∩ S Si (x, y)∈R y (x, y)∈S, entonces (x, y)∈T Complemento

Operaciones sobre relaciones 2017/4/1 Operaciones sobre relaciones Composicion R ⊆ A × B, S ⊆B × C T = R • S ⊆ A × C si y solamente si al menos existe un tal que

Composicion de relaciones 2017/4/1 Composicion de relaciones Relacion composicion Ejercicio: R = “es el hermano de” S = “es el padre de” Expresar verbalmente: R • S, S • S

Composicion: ejemplo Sea: A = {1,2,3}, B = {2,3,4} y C = {1,2,3} 2017/4/1 Composicion: ejemplo Sea: A = {1,2,3}, B = {2,3,4} y C = {1,2,3} R = “el primer elemento no es menor que el segundo elemento” R = {(2,2), (3,2), (3,3)} S = “el primer elemento es mayor que el segundo elemento” S = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)} R • S = {(2,1), (3,1), (3,2)}

2017/4/1 Relaciones fuzzy

2017/4/1 Relaciones crisp La relacion clasica representa la presencia o ausencia de interaccion entre elementos de dos conjuntos. La relacion se puede expresar por la funcion caracteristica μR : A × B → {0, 1}

2017/4/1 Relaciones difusas En las relaciones fuzzy la fuerza de la asociacion (correlacion) se representa por grados de pertenencia.

Relaciones multidimensionales 2017/4/1 Relaciones multidimensionales En general: Tanto las relaciones crisp como las difusas se pueden definir en un espacio carteciano multidimensional. . .

2017/4/1 Relaciones difusas La relacion R ⊆ A × B se considera como un conjunto fuzzy en el espacio A × B

Relacion difusa: ejemplo 2017/4/1 Relacion difusa: ejemplo La relacion R se considera como un conjunto fuzzy en el espacio A × B

Relacion Fuzzy Ejemplos: x esta cerca de y (x e y son numeros) 2017/4/1 Relacion Fuzzy Ejemplos: x esta cerca de y (x e y son numeros) x depende de y (x e y son eventos) x e y se parecen (x, e y son personas u objectos) Si x es grande, entonces y es pequeña (x es una observacion e y es una accion correspondiente)

Relacion fuzzy : representacion 2017/4/1 Relacion fuzzy : representacion

Relacion fuzzy: Forma matricial 2017/4/1 Relacion fuzzy: Forma matricial Forma matricial

La relacion con expresion de conocimiento 2017/4/1 La relacion con expresion de conocimiento La relación fuzzy es principalmente útil para expresar conocimiento: Asumamos que el conjunto A es un conjunto de eventos y R una regla Entonces por la regla R, la posibilidad de ocurrencia del evento c luego de ocurrir el evento a es de 0.8, en el ejemplo

Dominio y rango de una relacion fuzzy 2017/4/1 Dominio y rango de una relacion fuzzy Sea R una relacion fuzzy entre los conjuntos crisp A y B Dominio Rango

Operaciones sobre relaciones fuzzy 2017/4/1 Operaciones sobre relaciones fuzzy Asumimos que R ⊆ A × B y S ⊆ A × B. Relacion Union: ∀ (x, y) ∈ A × B μR∪S (x, y) = Max [μR(x, y), μS(x, y)] = S(μR(x, y) , μS(x, y)) ¿Cómo es la forma matricial de la union? Operador generalizado

Operaciones sobre relaciones fuzzy 2017/4/1 Operaciones sobre relaciones fuzzy Asumimos que R ⊆ A × B y S ⊆ A × B. Relacion Interseccion: ∀ (x, y) ∈ A × B μR∩S (x, y) = Min [μR(x, y), μS(x, y)] = T(μR(x, y) , μS(x, y)) Operador generalizado

Operaciones sobre relaciones fuzzy 2017/4/1 Operaciones sobre relaciones fuzzy Asumimos que R ⊆ A × B Relacion Complemento: ∀ (x, y) ∈ A × B

Operaciones sobre relaciones fuzzy 2017/4/1 Operaciones sobre relaciones fuzzy Ejercicio: Sean R ⊆ A × B y S ⊆ A × B Encontrar la union, la interseccion y el complemento.

Composicion de relaciones fuzzy 2017/4/1 Composicion de relaciones fuzzy Dos relaciones fuzzy R y S estan definidas sobre los conjuntos A, B y C: R ⊆ A × B, S ⊆ B × C. La composition S•R de las dos relaciones R y S se expresa por la relacion de A a C S • R ⊆ A × C

Composicion de relaciones fuzzy 2017/4/1 Composicion de relaciones fuzzy Asumimos que R ⊆ A × B y S ⊆ B × C. Composicion max-min: ∀ (a,b) ∈ A × B (b,c) ∈ B × C

Composicion de relaciones fuzzy 2017/4/1 Composicion de relaciones fuzzy Otra composicion: max-prod En general: Operador generalizado

Composicion de relaciones fuzzy 2017/4/1 Composicion de relaciones fuzzy Forma matricial

Composicion de relaciones fuzzy 2017/4/1 Composicion de relaciones fuzzy Otra representacion de la composicion

La composicion con expresion de conocimiento 2017/4/1 La composicion con expresion de conocimiento Las relaciones R y S son las expresiones de reglas que guian la ocurrencia de un evento o un hecho. La regla R indica la posibilidad de B cuando A ocurre. La regla S indica la posibilidad de C cuando B existe. Entonces, la posibilidad de C cuando A ha ocurrido puede ser inducida de S•R Esta manera de actuar es llamada una “inferencia” Supongamos que las relaciones R y S son las expresiones de reglas que guian la ocurrencia de un evento o un hecho. Entonces la posibilidad de ocurrencia del evento B cuando el evento A ha ocurrido esta dada por la regla R. Y la regla S indica la posibilidad de C cuando B existe. La posibilidad de C cuando A ha ocurrido puede ser inducida de S•R Esta manera de actuar es llamada una “inferencia”, que es un proceso que produce nueva información. Este es un proceso que produce nueva información

Propiedades de la composicion 2017/4/1 Propiedades de la composicion Asociatividad: Distributividad sobre la union: Distributividad sobre la intersection: Monotonicidad:

Extension de un conjunto fuzzy por una relacion crisp 2017/4/1 Extension de un conjunto fuzzy por una relacion crisp

Extension por relacion crisp. Def. 2017/4/1 Extension por relacion crisp. Def. Sea R ⊆ A × B una relacion crisp de A a B Esta relacion crisp puede ser expresada por el mapeo f Then we can obtain make fuzzy set B’ in B by R and A.

Extension por relacion crisp. Def. 2017/4/1 Extension por relacion crisp. Def. Dada la relacion crisp expresada por el mapeo f, Entonces podemos obtener el conjunto fuzzy B’ en B por R y A’ Then we can obtain make fuzzy set B’ in B by R and A.

2017/4/1 Ejemplo Sea el conjunto fuzzy A “el conjunto de personas con una enfermedad contagiosa” y el conjunto B el conjunto crisp “el conjunto de personas en contacto con personas infectadas” Example 3.11 Let fuzzy set A be "the set of people with an infectious disease" and the crisp set B be "the set of people having been in contact with the infected people".

Notese que R es una relacion crisp. 2017/4/1 Ejemplo La relacion de contacto R esta dada por la figura The contact relation is given by R in Fig Notese que R es una relacion crisp. De la figura, b1 estuvo en contacto con a1 y a3

2017/4/1 Ejemplo Con tal relacion y conjunto A, el conjunto de infectados B’ en B esta dado por Para b1 Para b2 Para b3 With such a set A and relation R, the infectious set B’ in B can be obtained as follows :

2017/4/1 Ejemplo Forma matricial

El principio de extensión 2017/4/1 El principio de extensión Podemos generalizar la extension de un conjunto fuzzy. Sea la funcion f del espacio X a Y, f(x1, x2, ... , xr) : X → Y Entonces el conjunto fuzzy B en Y puede ser obtenido por la funcion f y los conjuntos fuzzy A1, A2, ... , Ar en X como sigue:

El principio de extensión 2017/4/1 El principio de extensión Ai son cojuntos fuzzy en X La imagen de A bajo f(.) es un conjunto fuzzy B

El principio de extensión 2017/4/1 El principio de extensión Por ejemplo, El principio de extension permite, la extensión de las operaciones con números (valores crisp) 5+4 numero real a operaciones con conjuntos difusos “aprox 5”+ “aprox 4” valor fuzzy funcion

El principio de extensión 2017/4/1 El principio de extensión Ejercicio: Hallar B y = f (x) = x + 4: A = 0.1/2 + 0.4/3 + 1/4 + 0.6/5; y = f (x1, x2) = x1 + x2 : A1 = 0.1/2 + 0.4/3 + 1/4 + 0.6/5; A2 = 0.4/5 + 1/6;

2017/4/1 Fuzzy Sets Extension de un conjunto fuzzy por relacion fuzzy

Extension por relacion fuzzy 2017/4/1 Extension por relacion fuzzy Dados un conjunto fuzzy A’ definido en A, y una relacion fuzzy R ⊆ A × B Puede existir una funcion de mapeo que exprese la relacion fuzzy R Extension by fuzzy relation Definition(Extension of fuzzy relation) For given fuzzy set A, crisp set B and fuzzy relation R ⊆ A × B, there might be a mapping function expressing the fuzzy relation R. Membership function of fuzzy set B’ in B is defined as follows :

Extension por relacion fuzzy 2017/4/1 Extension por relacion fuzzy Dados un conjunto fuzzy A’ definido en A, y una relacion fuzzy R ⊆ A × B Entonces podemos obtener el conjunto fuzzy B’ en B por R y A’ Extension by fuzzy relation Definition(Extension of fuzzy relation) For given fuzzy set A, crisp set B and fuzzy relation R ⊆ A × B, there might be a mapping function expressing the fuzzy relation R. Membership function of fuzzy set B’ in B is defined as follows :

Calculo de la extension por relacion fuzzy 2017/4/1 Calculo de la extension por relacion fuzzy La funcion de pertenencia del conjunto fuzzy B’ in B esta dada por donde A y R representan matrices fuzzy

Calculo de la extension por relacion fuzzy: Composicion 2017/4/1 Calculo de la extension por relacion fuzzy: Composicion Notese el simbolo usado: La operacion realizada es definida como composicion (Zadeh, 1973)

Extension por relacion fuzzy 2017/4/1 Extension por relacion fuzzy Ejemplo

2017/4/1 Ejemplo Sea el conjunto fuzzy A “el conjunto de personas con una enfermedad contagiosa” y el conjunto B el conjunto crisp “el conjunto de personas en contacto con personas infectadas” Example 3.11 Let fuzzy set A be "the set of people with an infectious disease" and the crisp set B be "the set of people having been in contact with the infected people".

Notese que R es una relacion fuzzy. 2017/4/1 Ejemplo El grado de contacto esta dada por la relacioin R The contact relation is given by R in Fig Notese que R es una relacion fuzzy. De la figura, b1 tuvo cierto grado de contacto con a1 y a3

2017/4/1 Ejemplo Con tal relacion R y conjunto A, el conjunto de infectados B’ en B esta dado por Para b1

2017/4/1 Ejemplo Con tal relacion R y conjunto A, el conjunto de infectados B’ en B esta dado por Para b2 With such a set A and relation R, the infectious set B’ in B can be obtained as follows :

2017/4/1 Ejemplo Con tal relacion R y conjunto A, el conjunto de infectados B’ en B esta dado por Para b3 El conjunto B’

2017/4/1 Ejemplo Forma matricial

Extension por relacion fuzzy: interpretacion grafica 2017/4/1 Extension por relacion fuzzy: interpretacion grafica

Ejercicio Dada la relacion fuzzy R y el conjunto singleton A 2017/4/1 Ejercicio Dada la relacion fuzzy R y el conjunto singleton A Calcular el conjunto fuzzy correspondiente B en Y

Solucion Dada una relacion fuzzy R y el conjunto singleton A 2017/4/1 Solucion Dada una relacion fuzzy R y el conjunto singleton A el conjunto fuzzy correspondiente B es La extension en B de un conjunto singleton en A, definido en x=xs, por la relacion R es simplemente hacer un corte de la relacion R a lo largo de x=xs, y proyectar el corte sobre Y.

Extension por varias relaciones fuzzy 2017/4/1 Extension por varias relaciones fuzzy La extension de un conjunto fuzzy por relacion fuzzy tambien es posible con varias relaciones Es decir, el conjunto fuzzy A puede ser propagado a traves de mas de una relacion mediante la operación composicion Extension of fuzzy set and fuzzy relation is also possible among the several relations and sets. That is, the fuzziness in fuzzy set A can be propagated through more than one relations and sets.

2017/4/1 Ejercicio Dados los conjuntos y las relaciones Encontrar C’

2017/4/1 Fuentes J.-S. Roger Jang, Slides for Fuzzy Sets, Ch. 2 of Neuro-Fuzzy and Soft Computing. CS Dept., Tsing Hua Univ., Taiwan. Humberto Martínez Barberá, Control Difuso. Universidad de Murcia. 2000 Robert Babuska. Fuzzy and neural control. DISC Course Lecture Notes (October 2001) Robert Babuska. Course Fuzzy and Neural Control, 2001/2002.

2017/4/1 Fuentes R. Babuska, H.B. Verbruggen, H. Hellendoorn, Promising Fuzzy Modeling and Control Methodologies for Industrial Applications, 1999 René Jager, Fuzzy Logic in Control. PHD thesis, 1995. Javier Echauz, Sistemas y Controles Inteligentes, Universidad de Puerto Rico, 2000 L.X. Wang, “Adaptive Fuzzy Systems and Control: Design and Stability Analysis”, Prentice-Hall, 1.994

2017/4/1 Fuentes Kwang-Hyung Lee, Textbook CS670 Fuzzy Theory, http://if.kaist.ac.kr/lecture/cs670/textbook/, septiembre 2001 J. Galindo Gómez, Conjuntos y Sistemas Difusos (Lógica Difusa y Aplicaciones). Departamento de Lenguajes y Ciencias de la Computación, Universidad de Málaga, 2002? Vojislav Kecman, Fuzzy logic basics. Slides accompanying the MIT Press book: Learning and Soft Computing. 2001