conceptos de dominación UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID Departamento de Fundamentos del Análisis Económico I Soluciones de juegos: conceptos de dominación Rafael Salas marzo de 2005
Soluciones de los juegos Se trata de predecir lo que los jugadores racionales van a hacer, descentralizadamente: Proceso de optimización Compatibilidad entre estrategias SOLUCIÓN DE UN JUEGO: perfiles de estrategias óptimos y compatibles
Tipos de soluciones Los basados en principios de dominación Los basados en conceptos de equilibrio Existen conexiones entre ambos tipos de solución
Principios de dominación I (I) Principio de dominancia estricta Un jugador nunca juega estrategias estrictamente dominadas NOTACIÓN PREVIA Dado un juego G={{1,...,n}; S1,...,Sn; U1,...,Un}. Dado un perfil de estrategias s=(s1,...,sn) S=S1xS2x...xSn donde s1S1,..., snSn Simplificadamente denominamos s=(si,s-i) S Nótese que s-i=(s1,...,si-1, si+1 ,...,sn) S-i
Estrategias estrictamente dominadas DEFINICIÓN Dado un juego G={{1,...,n}; S1,...,Sn; U1,...,Un}. si es una estrategia estrictamente dominada para el jugador i si existe otra s’i tal que Ui(s’i,s-i) > Ui(si,s-i), s-i S-i Es razonable que no use si, pues puede aumentar su utilidad independientemente de lo que haga el resto
4. Dilema de los presos JUG 2 2 4 2 JUG 1 1 4 1 CA CO 2 4 CA 2 JUG 1 1 CO 4 1 En rojo, estrategias estrictamente dominadas .
Estrategias estrictamente dominante DEFINICIÓN Dado un juego G={{1,...,n}; S1,...,Sn; U1,...,Un}. s’i es una estrategia estrictamente dominante para el jugador i si Ui(s’i,s-i) > Ui(si,s-i), si s’i Si s-i S-i Nos da paso a una primera solución...
4. Dilema de los presos JUG 2 2 4 2 JUG 1 1 4 1 CA CO 2 4 CA 2 JUG 1 1 CO 4 1 En azul, estrategias estrictamente dominantes .
Equilibrio en estrategias estrictamente dominantes EEED SOLUCIÓN: Equilibrio en estrategias estrictamente dominantes EEED (si*,s-i*) es un EEED si y sólo si Ui(si*,s-i) > Ui(si,s-i), si si* Si, s-i S-i, i Es decir si y sólo si (si*,s-i*) son estrategias estrictamente dominantes
4. Dilema de los presos JUG 2 CA CO 2 4 CA 2 JUG 1 1 CO 4 1 .
4bis. Oligopolio JUG 2 1000 , 1000 -200 , 1200 JUG 1 1200 , -200 A B 1000 , 1000 -200 , 1200 A JUG 1 1200 , -200 600 , 600 B .
4bis. Oligopolio JUG 2 1000 1200 1000 -200 JUG 1 -200 600 600 1200 . A
Ejemplo 5: Halcón-paloma JUG 2 H P 2-k H 2-k 4 JUG 1 4 2 P 2 Para k<2 .
Ejemplo 9: Empresas rivales JUG 2 L NL 40 -50 L 40 100 JUG 1 100 -50 NL -50 -50 .
Propiedades del EEED Si existe, es único Puede que no exista Ejemplo 5 con k 2 Ejemplo10: Jugador 1 tiene dos estrategias puras {s1, s2 } y el jugador 2 tiene tres {t1, t2, t3}. Si U1(si, tj)= ij y U2(si, tj)= (i-2)(j-2) Binmore, p. 131 Si existe es muy potente, requiere muy poca información. Por contrapartida es muy restrictivo
Principios de dominación II (II) Principio de dominancia débil Un jugador nunca juega estrategias débil dominadas
Estrategias débilmente dominadas DEFINICIÓN Dado un juego G={{1,...,n}; S1,...,Sn; U1,...,Un}. si es una estrategia débilmente dominada para el jugador i si existe otra s’i tal que Ui(s’i,s-i) Ui(si,s-i), s-i S-i En ese caso decimos que s’i domina débilmente a si El jugador no usará si
Estrategias débilmente dominante DEFINICIÓN Dado un juego G={{1,...,n}; S1,...,Sn; U1,...,Un}. s’i es una estrategia débil dominante para el jugador i si Ui(s’i,s-i) Ui(si,s-i), si Si s-i S-i Nos da paso a una nueva solución...
Equilibrio en estrategias débilmente dominantes EEDD SOLUCIÓN: Equilibrio en estrategias débilmente dominantes EEDD (si*,s-i*) es un EEDD si y sólo si Ui(si*,s-i) ≥ Ui(si,s-i), si si* Si, s-i S-i, i Es decir si y sólo si (si*,s-i*) son estrategias débilmente dominantes
Ejemplo 11: EEDD múltiple JUG 2 L R 1 1 L 1 JUG 1 R 1 .
Propiedades del EEDD De existir, puede ser múltiple (Ejemplo 11) Puede que no exista Ejemplo 5 con k > 2 Ejemplo 10 ampliado a más estrategias Ejemplo 1 Batalla de los sexos Ejemplo 2 Juego de las monedas Ejemplo 3 Sigue siendo muy restrictivo y por tanto impreciso (aunque menos que EEED). EEED (si existe) implica EEDD (Ejemplo4, 5 k<2, 9) EEDD (si existe) no implica EEED (Ejemplo 10) No obstante, requiere muy poca información.
Principios de dominación III (III) Principio de eliminación iterativa estricta Un jugador nunca juega estrategias estrictamente dominadas Todos los jugadores lo saben Se pueden eliminar Da lugar a un nuevo concepto de equilibrio más general que el EEED, pero con una racionalidad aceptable...
Solución: Equilibrio por eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas EEIEED El orden de eliminación no influye en el resultado Si existe, es único Es más general que EEED, pero no que EEDD
Ejemplo 12: no EEED ni EEDD, pero si EEIEED JUG 2 I C D 2 1 A 1 1 JUG 1 3 1 B 2 .
Ejemplo 13: no EEED ni EEDD, pero si EEIEED JUG 2 I D 2 100 A 4 JUG 1 40 B 20 8 .
4. Dilema de los presos EEED y EEIEED JUG 2 CA CO 2 4 CA 2 JUG 1 1 CO 4 1 .
Ejemplo 10: EEDD y no EEIEED JUG 2 t1 t2 t3 1 -1 s1 1 2 3 JUG 1 s2 2 4 6 .
Principios de dominación IV (IV) Principio de eliminación iterativa débil Un jugador nunca juega estrategias débilmente dominadas Todos los jugadores lo saben Se pueden eliminar (todas las existentes en cada fase) Da lugar a un nuevo concepto de equilibrio más general todos los anteriores, pero con una racionalidad dudosa...
Solución: Equilibrio por eliminación iterativa de estrategias débilmente dominadas EEIEDD El orden de eliminación si influye en el resultado (para evitarlo quitamos todas las estrategias débilmente dominadas en cada fase) Puede ser múltiple Es más general que EEED, EEDD y que EEIEED
Ejemplo 14: no EEED ni EEDD, ni EEIEED, pero si EEIEDD JUG 2 A B 5 4 A 2 3 JUG 1 3 3 B 3 .
Práctica: soluciona el siguiente ejemplo 15 con los conceptos de equilibrio vistos. JUG 1 H T O 1 -1 3 H -1 1 1 JUG 2 -1 1 2 T 1 -1 1 .
Práctica: soluciona el siguiente ejemplo 16 con los conceptos de equilibrio vistos. JUG 2 I M D 1 -2 U 10 5 4 JUG 1 1 -1 D 10 5 1 .
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