TRABAJO DE METODOS CUANTITATIVOS EJERCICIOS DE MODELOS MATEMATICOS Profesor: Rojas Gallo Alumnos: Sección 3-39

PROGRAMACIÓN LINEAL Es un enfoque de solución de problemas elaborado para ayudar a tomar decisiones. Es un modelo matemático con una función objetivo lineal, un conjunto de restricciones lineales variables no negativas. En el ambiente de negocios actual, pueden encontrarse gran cantidad de aplicaciones.

PROBLEMA 1 – FORMULACION DE P.L CON 2 VARIABLES RMC es una pequeña empresa que fabrica una variedad de productos basados en sustancias químicas. En un proceso de producción particular, se emplean tres materias primas para producir dos productos: un aditivo para combustible y una base para solvente. El aditivo para combustible se vende a compañías petroleras y se usa en la producción de gasolina y combustibles relacionados. La base para solvente se vende a una variedad de empresas químicas y se emplea en productos para limpieza en el hogar e industriales. Las tres materias primas se mezclan para fabricar el aditivo para combustible y la base para el solvente, tal como se muestra a continuación: PRODUCTO Aditivo combustible Base para solvente Material 1 0.4 0.5 Material 2 0.2 Material 3 0.6 0.3

PROBLEMA 1 – FORMULACION DE P.L Ésta nos muestra que una tonelada de aditivo para combustible es una mezcla de 0.4 toneladas del material 1 y 0.6 toneladas del material 3. Una tonelada de la base para solvente es una mezcla de 0.5 toneladas del material 1, 0.2 toneladas del material 2 y 0.3 toneladas del material 3. La producción de RMC esta restringida por una disponibilidad limitada de las tres materias primas. Para el periodo de producción actual, RMC tiene disponibles las siguientes cantidades de materia prima: Material Cantidad Disponible de Producción 1 20 toneladas 2 5 toneladas 3 21 toneladas

PROBLEMA 1 – FORMULACION DE P.L Debido a los desechos y a la naturaleza del proceso de producción, los materiales que no se lleguen a usar en una corrida de producción no se pueden almacenar para las subsiguientes, son inútiles y deben desecharse. El departamento de contabilidad analizó las cifras de producción, asignó todos los costos relevantes y llegó a precios que, para ambos productos, producirían una contribución a la utilidad de $ 40 por cada tonelada de aditivo para combustible producida y $ 30 para cada tonelada producida de base para solvente. Ahora usaremos la programación lineal para determinar la cantidad de aditivo para combustible y la cantidad de base para solvente para producir a fin de maximizar la contribución a la ganancia total.

RESOLUCION Definición de Variables X =Cantidad de toneladas para aditivo para combustible por producir. Y =Cantidad de toneladas para aditivo para solvente por producir

RESOLUCION Material 1 <= 20 Material 2 <= 5 Material 3 <= 21 0.4X+0.5Y <= 20 0.2Y <= 5 0.6X+0.3Y <= 21 

LA PROGRAMACION LINEAL ES: F.O MAX(i) = 40X + 30Y S.a 0.4X+0.5Y <= 20 …Ecuación 1 0.2Y <= 5 …………Ecuación 2 0.6X+0.3Y <= 21… Ecuación 3 C.N.N X>= 0 Y>= 0

METODO GRAFICO PROBLEMA 2 Definición: El método gráfico se utiliza para la solución de problemas de PL, representando geométricamente a las restricciones, condiciones técnicas y el objetivo. El modelo se puede resolver en forma gráfica si sólo tiene dos variables. Para modelos con tres o más variables, el método gráfico es impráctico o imposible. Cuando los ejes son relacionados con las variables del problema, el método es llamado método gráfico en actividad. Cuando se relacionan las restricciones tecnológicas se denomina método gráfico en recursos.

METODO GRAFICO Resolución de P.L Del EJERCICIO 1 anterior: PLANTEAMIENTO Paso 1: Se igualan las restricciones 0.4X+0.5Y = 20 …Ecuación 1 0.2S = 5 …………Ecuación 2 0.6X+0.3Y = 21… Ecuación 3 Paso 2 Se grafican las ecuaciones, se puede hacer escogiendo un conjunto de números que nos permitan dibujar la línea para la ecuación 1

METODO GRAFICO - PLANTEAMIENTO En ecuación 1 Si X=0 entonces 0.5Y = 20 Y = 20/0.5 Y = 40 En ecuación 1 Si Y=0 entonces 0.4X = 20 X = 20/0.4 X = 50 Y X 50 X Y 40

METODO GRAFICO X Y 25 X Y 70 35 Y = 5/0.2 Y = 25 Si X=0 entonces En ecuación 2 En ecuación 3 Si X=0 entonces 0.3Y = 21 Y = 21/0.3 Y = 70 X Y 25 X Y 70 35

METODO GRAFICO Con estos puntos obtendremos la siguiente gráfica.

FORMULACION DE P.L - PROBLEMA3 Problema 1: INVERTIR EN LA BOLSA Un banco trata de determinar su portafolio de inversiones para el próximo año. Actualmente dispone de US $ 500,000 para invertir en 4 posibilidades: Bonos X, y bonos Y, por el periodo de un año. Un máximo de 10.500 $ puede ser invertido en bonos X, y un máximo de 10.000 $ en bonos Y. La inversión en la bolsa X conlleva un riesgo considerable por lo que se determina no invertir más de un cuarto de la inversión total. La cantidad invertida en la bolsa Y debe ser al menos tres veces la cantidad invertida en la bolsa X. Además, la inversora requiere que la inversión en bonos sea al menos tan grande como la mitad de la inversión en las bolsas. Los retornos netos anuales se estiman según se muestra en la siguiente tabla: BOLSA X BOLSA Y 20% 10% 9% 11% ¿Cuál es la forma óptima de realizar la inversión para conseguir las máximas ganancias?

RESOLUCION 1.Definicion de Variables: X: inversión en bolsa X Y: inversión en bolsa Y Z: inversión en bonos X W: inversión en bonos Y MAX(i); es el objetivo Disponemos de 500,000 dólares para invertir en bolsa NOS PIDEN LA MAXIMIZACION DE LAS GANANCIAS X + Y + Z + W ≤ 500,000

RESOLUCION Un máximo de 12.500 $ puede ser invertido en bonos X Z ≤ 10500 Un máximo de 10.000 $ para ser invertido en bonos Y W ≤ 10000 La cantidad invertida en la bolsa Y debe ser al menos tres veces la cantidad invertida en la bolsa X 3·X - Y ≤ 0

LA PROGRAMACION LINEAL ES: I. F.O: MAX(i) = 0.2·X + 0.1·Y + 0.09·Z + 0.11·W II. S.a: X + Y + Z + W ≤ 500,000 – Inversión X≤ 12500 - Inversión en Bonos X Z≤ 10500 - Inversión en Bonos X W ≤ 10000 - Inversión en Bonos Y 3·X - Y ≤ 0 – Inversión en Bolsa Y debe ser al menos 3 veces Bolsa X III. C.N.N: X ≥ 0 Y ≥ 0 Z ≥ 0 W ≥ 0

ANEXOS-VIDEOS www.youtube.com/watch?v=9dqsSGKNIew tu.tv/videos/metodo-grafico_3 www.youtube.com/watch?v=f4XFp4fwskY