Probabilidades

Introducción a la Probabilidad Medida numérica de certidumbre. Escala entre 0 y 1 Mecanismo para tomar decisiones de eventos futuros. 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1 2 3 4 5 Probabilidad de Ocurrencia

Enfoques conceptuales Enfoque clásico Enfoque de frecuencias relativas

Enfoque clásico Este enfoque se basa en el supuesto de que cada resultado es igualmente probable. Dado el enfoque es determinar valores de probabilidad antes de que sean observados cualesquiera eventos muestrales. Ejemplo:

Enfoque de Frecuencias Relativas Esta probabilidad se determina con base en la proporción de veces en las que ocurre un resultado favorable en cierto número de observaciones o experimentos. También conocido como enfoque empírico.

Expresión de la probabilidad La probabilidad de un evento se expresa como “P”, así P(A) denota la probabilidad que ocurra A. El menor valor de un enunciado de probabilidad es cero (0) y el mayo uno (1). 0<=P(A)<=1

Expresión de la probabilidad Se expresa: Probailidad de Ocurrencia = P(A) Probailidad de no ocurrencia = P(A’) Por tanto: P(A) + P(A’) = 1 A A’

Distribuciones Discretas de Probabilidades

Variable Aleatoria Es una descripción numérica del resultado de un experimento. Se dividen en: Variable aleatoria discreta: cantidad finita de valores. Ejemplo: Sexo de los clientes. Variable aleatoria continua: cantidad infinita de valores: Ejemplo: Ingresos de los clientes.

Ejemplos de Variables Aleatorias Edad Provincia en la que reside en cliente Ingresos familiares Educación Porcentaje terminado de los manuales de riesgo Cantidad de clientes que visitan el banco por día

Distribuciones discretas de probabilidades f(x) Probabilidad puntual Función uniforme de probabilidades .40 .30 .20 .10 1 2 3 4 5 x Cantidad de créditos colocados por día

Distribución binomial Distribución discreta de probabilidades sobre eventos binomiales Propiedades de los eventos binomiales Consiste en una sucesión de n intentos idénticos Solo dos posibles resultados, éxito o fracaso. La probabilidad de éxito es p, y de fracaso 1-p Independencia sobre los resultados Los resultados acumulativos me arrojan probabilidades de obtener el resultado o menos.

Aplicatividad Permite extrapolar el comportamiento de variables aleatorias discretas (éxito o fracaso) Ejemplo: Probabilidad de Default o no Default Determinar el número observaciones necesarias para alcanzar los objetivos planteados.

Ejercicio El Banco de Crecimiento se dedica a financiar proyectos de inversión en proyectos inmobiliarios, según datos históricos el 70% de los proyectos financiados son exitosos. Bajo un nuevo producto estudian 100 clientes que han solicitado financiamiento. Cuál es la probabilidad de que los 100 proyectos sean exitosos. Cuál es la probabilidad de que los 100 fracasen. Determine cuantos proyectos serán exitosos con un 95% probabilidad. Según análisis financiero se requiere al menos 80 proyectos operando, cual es la probabilidad de alcanzar 80 o más proyectos exitosos.

Función de Probabilidad binomial Ejemplo Factorial de 4 = 4*3*2*1

Distribución binomial en Excel

Distribución binomial con Minitap Digite en C1 el número de exitos posibles según n Paso 1: Seleccione “Calc” Paso 2: Seleccione “Probability distributions” Paso 2: Seleccione “Binomial” Ejemplo

Distribución de probabilidades de Poisson Se utiliza para estimar la cantidad de sucesos u ocurrencias en determinado intervalo de tiempo o espacio Propiedades: La probabilidad de una ocurrencia es igual en dos intervalos cualesquiera de igual longitud La ocurrencia o no en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o no en cualquier otro intervalo.

Función de probabilidades de Poisson

Aplicatividad Determinar la probabilidad de ocurrencias en un determinado período de tiempo, especial para riesgo operativo. Ejemplo: Probabilidad de incidentes con el sistema informático por año. Llegadas de clientes a ventanilla por día Cualquier evento en intervalos de tiempo.

Ejercicio Suponga que como parte de sus funciones como encargado de la unidad de riesgo se le ha solicitado determinar la probabilidad de ocurrencia de caídas en el sistema informático. Según datos históricos mensualmente ocurren 10 incidentes. La Administración desea conocer la probabilidad de reducir los incidentes a 2. Determine la probabilidad de lograrlo.

Poisson con Excel Función: =Poisson(….)

Poisson con Minitap

Distribución Continuas de Probabilidades

Distribución Normal de Probabilidades Distribución más utilizada Características Cada distribución tiene su propia media y desviación estándar Simétrica media=moda=mediana Media puede ser cualquier valor numérico. σ=5 -10 10 σ=10 μ

Función de densidad normal de probabilidad

Distribución Estandarizada de Probabilidades Media = Cero Desviación estándar = 1 Se utiliza la letra z para identificarla Facilita el proceso de análisis de datos al estandarizarlos bajo una misma densidad Conversión a la distribución normal

Distribución estandarizada Área bajo la curva Es igual a 1

Distribución Normal con Excel Funciones: =DISTR.NORM(...) =DISTR.NORM.ESTAND.INV(...) =NORMALIZACION()

Ejemplo Promedio= 36.500 Desviación=5.000 Calcule: Probabilidad de que x sea mayor de 40.000 X menor en un 10% de los casos

Regresión lineal simple

Modelo de regresión lineal simple Permite establecer la relación que existe entre dos variables. Variable Dependiente Constante Beta Sensibilidad Variable Independiente Error

Modelo de regresión Lineal simple E(y) X La pendiente B1 es cero La pendiente B1 es positiva La pendiente B1 es negativa Bo

Método de los cuadros mínimos También llamado mínimos cuadrados Utilizado para determinar Bo y B1 que minimizan la suma de los cuadrados de las desviaciones entre los valores observados.

Análisis de datos Mínimos cuadrados Suma de cuadrados debido al error (SSE): determina el cuadrado de los errores entre el dato y la estimación con la línea de regresión. Suma de cuadrados debido a la regresión (SSR): Cuadrado promedio del error (MSE)

SSE Suma de cuadrados debido al error (SSE): determina el cuadrado de los errores entre el dato y la estimación con la línea de regresión. E(y) X 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Σ 2 2 2 Según datos utilizados

SST Suma total de cuadrados: suma de los cuadrados de los errores entre la observación dependiente y el promedio de la variable dependiente. E(y) X 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Media de y Σ 2 2 2 Según datos utilizados

SSR SSR= SST-SSE E(y) X SSE SST SSR Media de y

SST / SSR / SSE Estimadores que permiten determinar la bondad del ajuste para la ecuación de regresión. SSE = 0 ajuste perfecto Relación por tanto entre SSR y SST sería unitaria.

SST / SSR / SSE E(y) X Estimadores que permiten determinar la bondad del ajuste para la ecuación de regresión. SSE = 0 ajuste perfecto Relación por tanto entre SSR y SST sería unitaria. SSE SST SSR SST

Coeficiente de determinación R2 Permite establecer numéricamente el ajuste entre las variables R2 cercano a cero significa que “y” no se explica a partir del compramiento de “x” R2 cercanos o iguales a 1 que y se explica por el comportamiento de “x”

Coeficiente de determinación R2 E(y) X Estimadores que permiten determinar la bondad del ajuste para la ecuación de regresión. SSE = 0 ajuste perfecto Relación por tanto entre SSR y SST sería unitaria. SSE SST SST SSR SSR Tendiente a cero SST SST

Análisis de datos mínimos cuadrados Regression Analysis: Ingresos Mensuales versus Población The regression equation is Ingresos Mensuales = 60.0 + 5.00 Población Predictor Coef SE Coef T P Constant 60.000 9.226 6.50 0.000 Población 5.0000 0.5803 8.62 0.000 S = 13.8293 R-Sq = 90.3% R-Sq(adj) = 89.1% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 1 14200 14200 74.25 0.000 Residual Error 8 1530 191 Total 9 15730 Ingresos Mensuales = 60.0 + 5.00 Población Predictor Coef SE Coef T P Constant 60.000 9.226 6.50 0.000 Población 5.0000 0.5803 8.62 0.000 S = 13.8293 R-Sq = 90.3% R-Sq(adj) = 89.1% Source DF SS MS F P Regression 1 14200 14200 74.25 0.000 Residual Error 8 1530 191 Total 9 15730

Ejercicio Según datos contenidos en el “Regresión linea 2.mtw” evalúe la información y responda las siguientes preguntas: ¿Existe relación entre las variables? ¿Cual es la línea de regresión? ¿Qué tipo de asociación existe o positiva, negativa? ¿Cual es el factor de sensibilidad de la variable independiente sobre la variable dependiente?

Ejercicio Regression Analysis: Morosidad versus Tasa de Desempleo Abierto The regression equation is Morosidad = - 1013292 + 220312 Tasa de Desempleo Abierto Predictor Coef SE Coef T P Constant -1013292 129493 -7.83 0.000 Tasa de Desempleo Abierto 220312 24524 8.98 0.000 S = 12157.7 R-Sq = 89.0% R-Sq(adj) = 87.9% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 1 11928828666 11928828666 80.70 0.000 Residual Error 10 1478096331 147809633 Total 11 13406924998

Uso de la Regresión La relación está basada exclusivamente en los datos analizados. Gráfico Debe existir juicio del analista para determinar efecto de causa y efecto Establecimiento de supuestos entorno al modelo De ser posible fundamentación teórica

Coeficiente de determinación R2 E(y) X Relación Real Línea de Regresión Estimada Mínimo Máximo

Uso de la Regresión La relación está basada exclusivamente en los datos analizados. Gráfico Debe existir juicio del analista para determinar efecto de causa y efecto Establecimiento de supuestos entorno al modelo De ser posible fundamentación teórica

Uso de la Regresión Uso de un intervalo de confianza para determinar la probabilidad de que la variable dependiente se comporte según la variable independiente. Predicted Values for New Observations New Obs Fit SE Fit 95% CI 95% PI 1 198422 6471 (184004, 212839) (167735, 229109) Intervalo media de las observaciones Intervalo puntual

Coeficiente de determinación R2 E(y) X Línea de Regresión Estimada