Presentación P. Point del curso de Introducción a la Computación dictado por el Prof. Juan Gallo 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Introducción a la Computación Introducción a la Teoría de Conjuntos 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

“Definición” básica de conjuntos Conjunto.- Concepto fundamental en todas las ramas de las Matemáticas Definición Intuitiva: Es una lista colección ........... de entidades u objetos bien definidos grupo Objetos o entidades .- Personas, libros, números, ríos, animales, etc Elementos del conjunto Bien definido.- Es posible determinar en forma objetiva y sin ningún tipo de ambigüedad, si un elemento pertenece o no al conjunto 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Representación de Conjuntos Ejemplos Los Números 1, 3, 7, 10 Las soluciones de la ecuación x2-3x+2= 0 Las vocales de nuestro alfabeto a, e, i, o , u Las personas que habitan en la tierra * Los estudiantes Juan, Pedro y José * Los estudiantes ausentes hoy Los países Uruguay, Argentina, Brasil Las capitales de los países del MERCOSUR Los departamentos Artigas, Rivera y Paysandú Los ríos del departamento de Florida * Los 5 mejores jugadores de fútbol 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Conjuntos Notación { Representación del conjunto } Conjuntos: A, B, C, D, ...... Mayúsculas Elementos: a, b, c, d, .......... Pertenencia: c  A, b  A, d  B { Representación del conjunto } Extensiva Comprensiva 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Forma de representación Extensiva Se mencionan cada uno de los integrantes (elementos), SIN IMPORTAR EL ORDEN Relativamente pocos En la lista los elementos se mencionan UNA SOLA VEZ Nombre del conjunto = {lista de elementos separados entre sí por comas} 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Forma de Representación Extensiva A = { 1, 3, 7, 10 } 1  A B = { a, e, i, o, u } a B d  B C = { Biguá, Malvín, Defensor Sporting } Biguá  C Trouville  C D = { Uruguay, Argentina, Brasil } Uruguay  D Perú  D Malvín  A 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Forma de Representación Comprensiva Se establecen la propiedad o propiedades que cumplen todos los elementos del conjunto A = {x | x cumple la propiedad P} A = { x | P(x) } M = {x | x solución de x – 3 = 0} N = {y | y alumno que asiste este año a TDB} P = {w | w capitales de los países del Mercosur } 3  M Buenos Aires  P 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Conjunto Vacío o Nulo No existen objetos (elementos) que pertenezcan al conjunto Ejemplos: A = x | x es estudiante de Intr. a la Comp. en Don Bosco y sabe griego = Ø B = x | x solución de 2x+1= 0, y x  Enteros = Ø C = x | 2 < x y x < 3, y x  Naturales = Ø 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Conjuntos especiales Notación N = Conjunto de los números naturales ½  N, 1  N, -5  N, 10524  N, √2  N, 328  N, ¶  N Z = Conjunto de los números enteros ½  Z, 1  Z, -1  Z, √2  Z, ¶  Z, 6750  Z Q = Conjunto de los números racionales √2  Q, ½  Q, ¶  Q, R = Conjunto de los números reales ½  R, -5  R, √2  R, ¶  R, 534, 23  R, 0,33333  R 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Conjunto Universal A = {x | 1  x  5} ¿Está bien definido? ¿Cuál es la representación extensiva de A? Se debe especificar en que contexto se está definiendo A Universo del Discurso Conjunto Universal Notación: U 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Conjunto Universal Ejemplos A = {x | 1  x  5} A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {x | x es par} B = { 2, 4, 6,.......} C = {x | x es par, x  5} C = {2, 4} D = {x | x = 2*k, k  N, k  5} D = {2, 4, 6, 8, 10} U = N pares K = {x | 1  x  5} K = {2, 4} L = {x | x es impar} L = Ø M = {x | x > 16} M = {18, 20, ....} 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Diagramas de Venn Es la representación gráfica de conjuntos mediante puntos del plano El conjunto universal se representa por el interior de un rectángulo Un conjunto A definido en U, se representa por un “círculo” dentro del rectángulo 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Subconjuntos Definición Dados los conjuntos A y B  U, si para todo elemento x  B, también x  A, se dice que B es un subconjunto de A o que B  A (B contenido en A) A B x U B  A B A 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Subconjuntos Todo conjunto es subconjunto de sí mismo A  A El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto   X Cualquier conjunto A es un subconjunto de su universo U A  U 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Igualdad de Conjuntos A = B, si B  A y A  B Definición 1 A = B, si para todo elemento x  A, también x  B e inversamente si para todo elemento x  B, también x  A Definición 2 A = B, si B  A y A  B Si dos conjuntos son iguales card(A) = Card(b) Si dos conjuntos tienen cardinales iguales NO NECESARIAMENTE son iguales 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Definiciones Cardinal de un Conjunto Cantidad de elementos distintos en el conjunto Conjuntos finitos Tienen un cardinal determinado (fijo, específico) Conjuntos infinitos Contables o Numerables N = x | x = 1, 2, 3, ... D = x | x = 2*i, i N E = x | x = ...-5, -4, ...,4, 5, ... No numerables E = x | x  R, 0  x  1 F = x | x son puntos de un segmento de recta A B 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Cardinal de un Subconjunto Dados 2 conjuntos A y B  U, con card(A) y card(B) finitos Si B  A card(B) < card(A) Si B = A card (B) = card(A) 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Operaciones de Conjuntos Unión Definiciones Definición 1.- C = A  B = {x | x  A y/o x  B) U A B Definición 2.- A = {x | x cumple P1} B = {x | cumple P2} C = A  B = {x | x cumple P1 y/o x cumple P2} 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Operaciones de Conjuntos Unión Ejemplo 1 Sea A ={1, 2, 3, 4} y B={3,4,5,6} X = A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ------------ A = {a, b, c, d}, B = {a, c, g}, C = {c, g, m, n, p} A  B = {a, b, c, d, g} A  C = {a, b, c, d, g, m, n, p} B  C = {a, c, g, m, n, p} 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Operaciones de Conjuntos Unión Ejemplo 2 U = Enteros positivos menor o igual a 15 P1 = x es múltiplo de 2 P2 = x es múltiplo de 5 A = {x | x cumple P1} B = {x | x cumple P2} K = {x | x cumple P1 y/o P2} Sea K ={x | x es múltiplo de 2 y/o x es múltiplo de 5} K = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 5, 10, 15} 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Operaciones de Conjuntos Unión Ejemplo 3 U = Enteros positivos menor o igual a 15 P1 = x es múltiplo de 2 P2 = x es múltiplo de 3 A = {x | x cumple P1} B = {x | x cumple P2} Sea A ={x | x es múltiplo de 2 y/o x es múltiplo de 3} A = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 3, 6, 9, 12, 15} = { 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15} 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Operaciones de Conjuntos Intersección Def. 1 - C = A  B = {z | z  A ^ z  B} Def. 2 – A = {x | x  U, x cumple la propiedad P1} B = {y | y  U, y cumple la propiedad P2} C = A  B = {z | z  U, z cumple P1 y P2 simultáneamente} U A B P2 P1 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Operaciones de Conjuntos Intersección Ejemplos U = N, Sea A ={1, 2, 3, 4} y B={3,4,5,6} X = A  B = {3, 4} ------------ U = {u : u  alfabeto español} A = {a, b, c, d}, B = {a, c, g}, C = {c, g, m, n, p} A  B = {a,c} A  C = {c} B  C = {c, g} 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Los conjuntos A y B son disjuntos Conjuntos disjuntos Def. 1 - C = A  B = {z | z  A  z  B} =  Def. 2 - A = {x | x  U, x cumple la propiedad P1} B = {y | y  U, y cumple la propiedad P2} C = A  B = {z | z cumple P1 y P2 simultáneamente}=  Los conjuntos A y B son disjuntos U A B 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Conjuntos disjuntos Ejemplos A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {a, e, i, o , u} A  B =  ------------------------------------------------------------------ A = {x | x es estudiante de Intr. a la Comp.} B = {x | x sabe griego} A = {x | x es un número impar} B = {x | x es un número divisible entre 2} 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Operaciones de Conjuntos Unión Aplicación Unión asociada a procedimiento de Altas Antig. alumnos = {x | x  D.B hace 1 o más años} Nuevos alumnos = {x | x  D.B por 1ra. vez en este año} Alumnos actuales = Antig. alumnos  Nuevos alumnos = {x | x  D.B hace 1 o más años y/o x  D.B por 1ra. vez en este año} U Nuevos Antig. Antig. Alum. Nuevos Alum =  Correcto ? 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Operaciones de Conjuntos Intersección Aplicación C = A  B = {z | zU, z cumple P1  z cumple P2} Intersección asociada a procedimiento de búsqueda por dos condiciones (o más) Se desea determinar de los Alumnos actuales aquéllos que viven en Tacuarembó y tienen menos de 18 años C = {x | x nació en Tacuarembó  x tiene  18 años} U Tbó.  18 años 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Operaciones de Conjuntos Complemento A = {x : x  U, x cumple la propiedad P1} A’ o Ac = {x | x  U, xA} U A AC 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Operaciones de Conjuntos Complemento Ejemplos U = {x : x  N, x  10} K = {2, 4, 6, 8}, L = {1, 2, 3, 4}, M = {3, 4, 5, 6, 8} KC = {1, 3, 5, 7, 9, 10} LC = {5, 6, 7, 8, 9, 10} MC = {1, 2, 7, 9, 10} 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Operaciones de Conjuntos Diferencia Def. 1.- C = A \ B = {x | x  A ^ x  B} Def. 2.- A = {x | x cumple la propiedad P1} B = {y | y cumple la propiedad P2} C = {z | z cumple P1 ^ z no cumple P2} A U B 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Operaciones de Conjuntos Diferencia A = {1, 2, 3, 4}, B={2, 4, 6, 8}, C = {3, 4, 5, 6} A\B = A-B ={1, 3} C\A = C-A ={5, 6} B\C = B-C ={2, 8} B\A = B-A ={6, 8} B\B = B-B =  22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Diferencia simétrica entre dos conjuntos A  B = AB = {x : x  A o x B, x  A B} A  B = A B = (A  B) \ (A  B) A U B 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Diferencia simétrica entre dos conjuntos Ejemplos B = {3, 4, 5, 6, 7} C = {7, 8, 9} A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 3, 4, 5, 6, 7} = {1, 2, 6, 7} A  C = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 } B  C = {3, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9} = {3, 4, 5, 6, 8, 9} C  B = {7, 8, 9, 3, 4, 5, 6, 7} = {8, 9, 3, 4, 5, 6} 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Conjunto Potencia de un Conjunto Es el conjunto formado por todos los subconjuntos de ese conjunto A = {a, b, c} Card(A) = 3 Potencia(A) = {, {a}, {b}, {c}, {a,b} {a,c} {b, c} {a, b, c}} Card(Pot(A)) = 8 = 23 B = {1,2} Card(B) = 2 Pot(B) = {, {1}, {2}, {1, 2}} Card(Pot(B)) = 4 = 22 C={x} Card(C) = 1 Pot(C) = {, {x}} Card(Pot(C)) = 21 Si Card(A) = k Card(Pot(A)) = 2k 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Proposiciones, afirmaciones declaraciones, premisas Es una frase declarativa que es verdadera o falsa Ejemplos: Diego es alto Hoy llueve Margarita es rubia Hoy es 15 de junio del 2004 Las rosas que están sobre la mesa son todas rojas Roberto estudia todas las mañanas 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Proposiciones, afirmaciones declaraciones, premisas No son afirmaciones: ¿Es temprano? (interrogación) ¡Qué hermoso día! (exclamación) Por favor mande el informe (solicitud) Levántate y haz tus ejercicios (mandato) 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Proposiciones, afirmaciones, declaraciones o premisas Las afirmaciones solamente pueden tener dos valores, Verdadero o Falso Existen afirmaciones compuestas que están formadas por más de una afirmación simple y conectores Conjunción:  Disyunción:  Negación:   22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Conjunción Dos afirmaciones cualesquiera pueden combinarse mediante la palabra “y” Ejemp: Hoy está lloviendo y Hoy hace frío Representemos cada afirmación simple con las letras: p, q, r, ..... p = Hoy está lloviendo q = Hoy hace frío Hoy está lloviendo y hoy hace frío = p  q 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Valores de la proposición Conjunción p q p q Verdadero Verdadero Verdadero Verdadero Falso Falso Falso Verdadero Falso Falso Falso Falso 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Valores de la proposición Conjunción p q p q París está en Francia 2+2=4 V París está en Francia 2+2=5 F París está en Italia 2+2=4 F París está en Italia 2+2=5 F 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Valores de la proposición Conjunción p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Analogía entre Conjunción e Intersección A  B = {x : x  A  x B} ---------------------------------- A = {x : x cumple p} B = {x : x cumple q} A  B = {x : x cumple p  q} 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Disyunción Dos afirmaciones cualesquiera pueden combinarse mediante la palabra “o” Ejemp: Está lloviendo o Hace frío Se simboliza p  q Se lee p o q 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Valores de la proposición Disyunción p q p  q Verdadero Verdadero Verdadero Verdadero Falso Verdadero Falso Verdadero Verdadero Falso Falso Falso 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Valores de la proposición Disyunción p q p  q París está en Francia 2+2=4 V París está en Francia 2+2=5 V París está en Italia 2+2=4 V París está en Italia 2+2=5 F 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Valores de la proposición Disyunción p q p  q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Analogía entre Disyunción y Unión A  B = {x : x  A  x B} ---------------------------------- A = {x : x cumple p} B = {x : x cumple q} A  B = {x : x cumplen p  q} 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Negación Dada una afirmación p cualquiera, otra afirmación llamada la negación de p, puede formarse escribiendo “es falso que...” antes de p o si es posible insertando en p la palabra “no” Ejemp. p = Está lloviendo ~ p =  p = p’= Es falso que está lloviendo ~ p =  p = p’ = No está lloviendo 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Valores de la proposición Negación p  p Verdadero Falso Falso Verdadero ------------------------------------ Simbología p  p 1 0 0 1 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Regiones del Universo Comprensión: A = {x | P(x)} A es el conjunto de elementos x, para los cuales la proposición P es cierta Un enunciado o aseveración tiene 2 valores (cierto o falso) Un enunciado divide al Universo en dos regiones donde se cumple el enunciado donde no se cumple el enunciado U 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Regiones del Universo Un enunciado puede ser compuesto Varias aseveraciones unidas entre sí por conectivas u operadores lógicos , , ¬ (~ ) Genera varias regiones Ejemp. A = {x | P(x)  Q(x) } P U 2 3 1 Q 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Igualdad de Tablas, Expresiones, Conjuntos Aplicando tablas de pertenencia (tablas de verdad) Si se comparan sus tablas y éstas toman los mismos valores, para las mismas regiones que lo originan, los conjuntos son iguales Ejercicio.- Determinar todas las regiones que determinan 3 conjuntos 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

Igualdad de conjuntos Ejemplo: A(BC) = (AB)  (AC) Reg A B C BC A (BC) AB AC (AB)  (AC) 1 2 3 4 5 6 7 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo