ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Calidad de la información y estadística Cuando se quiere resolver de raíz un problema importante es necesario tener información sobre el mismo que permita identificar cuándo, dónde y bajo qué condiciones se da tal problema, y con qué magnitud; es decir, es necesario encontrar su regularidad estadística y sus fuentes de variabilidad. 2

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL El comportamiento de una variable observada de una población o de una muestra, puede resumirse mediante una serie de valores representativos llamados parámetros o estadísticos, según sea el caso de una población o de una muestra. Se denominan medidas de tendencia central o de centralización, a aquellos valores numéricos en torno a los cuales se agrupan, en mayor o menor medida, los valores de una variable estadística. Las tres medidas más usuales de tendencia central son: La Media aritmética La Mediana La Moda 3

MEDIA ARITMETICA Media Aritmética: Se define como el “centro de gravedad” de la distribución estadística de una variable. Sea X una variable cuantitativa donde X1, X2, ….. Xk; y f1, f2,….. fk son sus respectivos valores y frecuencias, entonces a la media aritmética de X la denotaremos por si se trata de una muestra ó µ si se analiza una población, luego:

CALCULO DE LA MEDIA ARITMETICA Caso de una Distribución de Frecuencia de Datos No Agrupados: Ejemplo: Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de empezar a caminar:

Ubicación de la Media Aritmética CALCULO DE LA MEDIA ARITMETICA Luego: Ubicación de la Media Aritmética 12,2

CALCULO DE LA MEDIA ARITMETICA Caso de una Distribución de Frecuencia de Datos Agrupados: Ejemplo: Las alturas de los jugadores de un equipo de basquet vienen dadas por la tabla:

CALCULO DE LA MEDIA ARITMETICA Luego: 172,5 177,5 182,5 187,5 192,5 197,5 1 3 2 5 4 6 8 7 No. Jugadores Estatura (cm)

OBSERVACIONES SOBRE LA MEDIA ARITMETICA La media se puede hallar sólo para variables cuantitativas. La media es independiente de las amplitudes de los intervalos. La media es muy sensible a las puntuaciones extremas. La media no se puede calcular si hay un intervalo o clase abierto (con una amplitud indeterminada) La media es un estadístico “suficiente” porque usa toda la información de la muestra. Valores Extremos La Media pierde Representatividad

MEDIANA Mediana Se define como el valor de la variable que divide la distribución en dos partes iguales. Es decir, el 50% de los datos es menor o igual a él y el restante 50% es mayor o igual a él. Se denota Me El 50% de los primeros datos de la distribución son ≤ Me El restante 50% datos de ≥ Me Me

CALCULO DE LA MEDIANA Caso de una Distribución de Frecuencia de Datos No Agrupados: Procedimiento: Ordenar las observaciones en orden creciente o decreciente. Calcular j = (n + 1)/2 Si “j” es un número entero: Me = Xj Si “j” no es un entero, Me = (xi + xk) / 2 donde “i” es el entero de “j” y k = i + 1 El mismo procedimiento expresado de otro modo: Si el número de observaciones es impar, la mediana es el valor que ocupa el lugar central. Si el número es par, la mediana es la media de los dos valores centrales.

CALCULO DE LA MEDIANA Ejemplo: Caso del pediatra En este caso j= (n+1)/2 = (50+1)/2 =25,5 Luego, i = 25 y k = 26, entonces: X25 = 12 meses , x26 = 12 meses Me = (x25 + x26)/2= 12 meses Vemos que efectivamente hay 25 (50%) valores ≤ a 12 y 25 (50%) ≥ a 12. Importante: la fórmula no nos proporciona el valor de la Me, sino el número de caso en donde está la Me.

CALCULO DE LA MEDIANA Si organizamos la serie de datos anterior denotando la posición que ocupa cada observación tenemos: X 9, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, ….. 11, 12, 12,…12, 12,……50 Posición: 1ª, 2ª, 3ª, 4ª, 5ª, 6ª, 7ª, 8ª,……,14ª, 15ª,16ª,…25ª,26ª,..50ª 9 10 11 12 13 14 15 2 6 4 10 8 12 16 14 No.Niños Me Meses

OBSERVACIONES ACERCA DE LA MEDIANA La mediana no está influenciada por los valores extremos ya que su determinación se apoya en los valores centrales de la variable Su uso es apropiado ante distribuciones asimétricas No es un estadístico “suficiente” ya que no aprovecha toda la información de la muestra, pero es un parámetro bueno para representar el valor típico de una población. Valores Extremos La Media pierde Representatividad Me

Mo = Xj si y solo si fj = Max { fi, i=1, 2, 3,…..k} MODA Moda Se define como el valor de la variable que más se repite, es decir, el valor de la variable que tenga frecuencia máxima. Se denota con Mo Mo = Xj si y solo si fj = Max { fi, i=1, 2, 3,…..k} Hablaremos de una distribución bimodal de los datos, cuando encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia absoluta máxima. Una distribución trimodal de los datos es en la que encontramos tres modas. Si todas las variables tienen la misma frecuencia diremos que no hay moda.

CALCULO DE LA MODA Caso de una Distribución de Frecuencia de Datos No Agrupados: Procedimiento: Determinar la frecuencia máxima, fmax, la moda será igual al valor de la variable asociado a dicha frecuencia. Ejemplo: En este caso fmax = 16, por lo tanto, Mo = 12 meses

OBSERVACIONES ACERCA DE LA MODA La moda se puede determinar en todos los tipos de mediciones (nominal, ordinal, de intervalos, y relativa). La moda tiene la ventaja de no ser afectada por valores extremos. Al igual que la mediana, puede ser calculada en distribuciones con intervalos abiertos. En muchas series de datos no hay moda porque ningún valor aparece más de una vez. No es un estadístico aceptable porque pueda variar ampliamente de una muestra a otra.

COMENTARIOS SOBRE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL La media es una medida solamente aplicable a mediciones por intervalos o de razón. La mediana es una medida de posición propia de los niveles de medición ordinal, por intervalos y de razón. No tiene sentido con variables nominales. La moda se utiliza con cualquier nivel de medición. Generalmente, la media aritmética es la mejor medida de posición en el caso de datos muestrales por ser el valor más estable de las tres medidas de posición. La mediana es, por lo general, una buena medida de posición para la descripción de datos de una población.

Distribución Normal μ La distribución Normal está representada gráficamente por la Curva Normal o Campana de Gauss, con valores repartidos en forma de campana. Esta distribución presenta un numeroso grupo de valores de la variable en torno a la media, disminuyendo la proporción de casos al alejarnos de ella por la derecha y por la izquierda, siendo los extremos poco comunes 99.73 %

ASIMETRÍA En distribuciones totalmente simétricas, la media, la mediana y la moda coinciden, localizándose en un mismo valor. Asimetría hacia la izquierda o negativa Asimetría hacia la derecha o positiva Simetría

Distribución Normal inteligencia genio Poco inteligente Común de la gente: Inteligencia media Una gran cantidad de los fenómenos del comportamiento humano se manifiestan de la siguiente forma: la mayoría de las observaciones se concentran al centro de la distribución y en los extremos encontramos sólo algunas observaciones. 99.73 %

Características de la distribución Normal Es unimodal, una sola moda. Es simétrica: la mitad de la curva es exactamente igual a la otra mitad. La media, la mediana y la moda coinciden en el mismo punto. Media Mediana Moda

Dispersión La dispersión muestra la disparidad que existe entre los valores que toma la variable. Si es elevada, las medidas de posición pueden resultar poco representativas, al ser una muestra poco homogénea para esa variable. Si el grupo es más homogéneo la dispersión es baja, entonces la representatividad de las medidas de posición mejora.

Medidas de dispersión Las medidas de tendencia central son valores en una distribución y las medidas de la variabilidad son intervalos, designan distancias o un número de unidades en la escala de medición. Sólo pueden obtenerse con variables de escala de intervalo o de razón en las que puede valorarse el grado de representatividad de medidas de posición como la media.

Recorrido Es la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable:

Recorrido VENTAJAS Cálculo sencillo DESVENTAJAS Sólo tiene en cuenta dos valores de la serie. Le afecta la existencia de valores extremos. No se refiere a ninguna medida de posición central por lo que no sirve para valorar representatividad de alguna de ellas.

Desviacion Standard Para una población: Para una muestra: Cuando se refiere a la población se representa por σ y si se refiere a la muestra se representa como s

CALCULO DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR Meses (x) Niños (f) (xi-μ)2 (xi-μ)2 fi 9 1 10,24 10 4 4,84 19,36 11 1,44 12,96 12 16 0,04 0,64 13 7,04 14 8 3,24 25,92 15 7,84 50 84 μ = 12,2 meses n = 50

CALCULO DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR Meses (x) Niños (f) xi2 xi2 fi 9 1 81 10 4 100 400 11 121 1089 12 16 144 2304 13 169 1859 14 8 196 1568 15 225 50 7526 μ = 12,2 meses n = 50

DESIGUALDAD DE CHEBYSHEV En el intervalo está al menos el 75% de los datos de la muestra. En el intervalo está al menos el 89% de los datos de la muestra.

DISTRIBUCIÓN NORMAL Y DESVIACION STANDARD -σ -σ -σ μ σ σ σ 68.27 % 95.45 % 99.73 %